中南大学高等工程数学试题.doc

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数,且有和, 则方程在上的解存在唯一，对 任意为初值由迭代公式产生的序列一定收敛于方程在上的解，且有误差估计式；2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；3求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ；4已知函数过点，设函数是的三次样条插值函数，则满足的三个条件（1）在每个子区间（i=1，2，n）上是不高于三次的多项式；（2）S（x），S（x），S（x）在上连续；（3）满足插值条件S（xi）=yi（i=1，2，n）；5随机变量为样本，是样本均值，则 N（3，0.4）；6正交表中各字母代表的含义为 L表示正交表，N表示试验次数，n、m表示因子水平数，p、q表示试验至多可以安排因素的个数 ；7线性方程组其系数矩阵满足 A=LU，且分解唯一 时，可对进行解，选主元素的Gauss消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第步消元的主元akk为8取步长，用Euler法解的公式为 。二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。 微型车中级车高级车资源可用量钢材（吨）1.522.56000（吨）人工（小时）30405055000（小时）利润234解：设微型车生产了x1辆，中级车生产了x2辆，高级车生产了x3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件： 钢材：1.5x1+2x2+2.5x36000 人工：30x1+40x2+50x355000生产数量：x11500 x21200 x31000从而问题的数学模型为：Max c1x1+c2x2+c3三、（本题10分）已知的数据如表：0 1 2 5-5 3 0 6用Newton插值法求的三次插值多项式，计算的近似值，给出误差估计式。解：xiF(xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0-513820-3-11/25625/427/20612.56.54.5/4-0.025-0.2292因此，而四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为并假设，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下：方差来源平方和自由度样本方差F值组间SSA662336.286组内SSE63125.25总和SST12914 (1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取，） 解：（1）见表中红色部分（2） 设H0：1=2=3=i选取统计量，由于显著性水平未给出，设=0.05，查表得，因为F=6.286，所以拒绝H0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解六、 （本题10分）试确定求积公式 中的待定系数，使其代数精度尽量高。解：将分别代入式中得，因此得七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用AB、AC、BC，如何用正交表安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。表 两列间交互作用表列号(列号) 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y的作用都显著是，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对y作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。（2） 如果因子A放在第1列，因子B放第2列，则AB放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，AC和BC应分别放在第5列和第6列。表头设计如下：列号1234567因子ABABCACBC八、（本题14分）设方程组为 （1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛；（2）取，用Gauss-Seidel迭代法计算两步迭代值，；（3）取，估计用Jacobi迭代求解与准确解的误差。解：（1）将原矩阵变换为如下：，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。（2） 由GS迭代公式得：，又由于，因此经两步迭代后得，（3） 由Jacobi迭代公式得：因此中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1） 对方程，写出其Newton迭代公式 ，使得由迭代公式产生的序列可以2阶收敛于方程的唯一正根；解：由牛顿迭代公式得 因其存在2重跟，故需对其进行修正得 （2）在上，设与等价，则当满足 (x)于a,b一阶导数存在， 当xa,b时，有(x)a,b 和 |g(x)|L1，xa,b时，由（）产生的序列收敛于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：则：= ，= ，解= ；解：， ，,因此,（4）已知 ，则： =6 ； =6 ； 4+6+5=15 。（5）已知在区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足 在每个子区间上不高于三次的多项式 ， S(x），S（x），S（x）在上连续 ， 满足插值条件；（6）设有线性回归模型，其中 且相互独立，写出参数的最小二乘估计， 。解：，因此得，故（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 向后回归法、向前回归法、逐步回归法 。（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： 截断误差 ， 舍入误差 ， 观测误差 。二、（本题8分）已知的数据如表：-2 0 2 6 0 4 -2 10试求三次Newton插值多项式，求的近似值，并给出相应的误差估计式。xF(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商-200422-2-3-5/4610319/325-0.2187510.218752.406250.281250因此而三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：解：将约束条件加上松弛变量x3，剩余变量x4和人工变量x5后得到一个有基可行解的典型方程如下： 相应的目标函数为列出初始单纯形表，并进行迭代得：基变量CBXBX1X2X3X4X53400-MX304211002X5-M11-0.50-111Zj-M0.5M0M-M-M-30.5M-40M0X3020212-21X1311-0.50-11Zj3-1.50-330-5.50-33+MX241010.51-1X131.5100.25-0.50.53Zj342.752.5-2.5002.752.5-2.5+M这时的检验数已全部非负。得最优解；人工变量X5=0，去掉人工变量部分，得原线性规划问题的最优解为，最优值8.5四、 （本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B两道工序加工，A工序在设备或上完成，B工序在，三种设备上完成。已知产品甲可在A，B任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在设备上加工；产品丙只能在与设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。设备产品设备有效台时设备加工费（元/小时）甲乙丙51060000.057912100000.036840000.0641170000.11740000.05原料费（元/件）0.250.350.50售价（元/件）1.252.002.80（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。解：（1）设在A1设备上生产甲x11件，乙x12件，在A2设备上生产甲x21件，乙x22件，丙x23件，在B1设备上生产甲x31件，乙x32件，在B2设备上生产甲x41件，丙x43件，在B3设备上生产甲x51件由已知条件得 （2） 因目标函数为最大值，而线性规划方程符合要求，故不需转换形式，由此得： 五、 （本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实？解：设降压效率为p，作假设H0：p80% H1：p80%由点估计，m为血压明显降低的人数，抽取的样本为大样本，因此选取统计量为，对=0.01，拒绝域。由已知得m=148，n=200,因此统计量，查表得Z0.01=2.33，从而，样本观测值未落入拒绝域中，不能拒绝H0，即生产厂家说法是真实的。六、（本题10分）设有数值求积公式，试确定，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。解：将分别代入式中得，因此A0=2.25，A1=1.5，A2=2.25将，因此代数精度为3。七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表因素秧龄 苗数 氮肥1水平2水平小苗 15万株/亩 8斤/亩大亩 25万株/亩 12斤/亩若考虑之间的交互作用，采用安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：（1） 它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。解：列表如下：1（秧龄A） A2（苗数B）3（AB）4（氮肥C）5（AC）6（BC）产量斤/亩1234567811112222112211221122221112121212121221211221122183.484.087.384.887.388.092.390.4K1iK2i339.5 358342.7354.8350.1347.4350.3347.2349.1348.4345.9351.684.87589.585.67588.787.52586.8587.57586.887.27587.186.47587.9R4.6253.0250.6750.7750.1751.425由表计算数据及直观分析可知，因子BC、A、B是重要的。显然A取水平A2，B取水平B2，而BC由B2C1：，B2C2：故C取C1水平。从而最优水平为A2B2C1。八、（本题16分）设方程组为 （1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德尔迭代法求解时都收敛；（2）写出对应的高斯塞德尔迭代格式的分量形式；（3）取初始向量，用雅可比迭代方法求准确解 的近似解，使 至少需要迭代多少次？解：（1），经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。（2）（3） 解方程组可知雅克比迭代法形式为 kX1(k)X2(k)X3(k)11.6251.33333331.620.7250.79444440.741666731.14166681.08981481.137222240.93201390.95327160.935740751.03358801.02224791.0322886中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若方程可表成，且在内有唯一根，那么满足 ，则由迭代公式产生的序列一定收敛于。（满足：,且有, ；）2. 已知二元非线性函数，该函数从X0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：）；3已知二元非线性函数，该函数从X0 出发的Newton方向为 （Newton方向为： ）；4已知在区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足 （1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间上二阶导数连续，（3）满足插值条件 ）；5设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_（0.15） ；6在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ；7取步长，解的Euler法公式为： （ ）；8对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。 合金矿石锡（%）锌（%）铅（%）镍（%）杂质（%）费用（元/吨）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。（1）设 是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下： 4分（2）上述线性规划模型的对偶形式如下： 4分三、（本题8分）已知的数据如表：0 1 3 70 0.5 2 1.5试求三次插值多项式P(x)，求的近似值，并给出相应的误差估计式。解： 用Newton插值法求的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0010.50.5320.750.25/371.50.1250.875/61.375/42418.25/7-0.37-0.245-0.033-0.000075由差商表得出的三次插值多项式为： 3分于是有 2分相应的误差估计式为： 2分四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（），观察它在100的水中溶解的NaNO的重量（g），得观察结果如下：温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1） 求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）, , , , （2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），。解：（） 4分回归函数为 4分（） ，或 2分 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的或 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：解：第一步： 化为标准型， .(2分)第二步： 列出是单纯形表， .(2分)第三步： 第一次单纯形迭代计算，.(3分)第四步： 列出是单纯形表， .(3分) 第五步： 正确写出结果，最优解(2分)六、（本题10分）试确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高。解：七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录： 药物治愈所需天数12345，7，7，7，12，84，6，6，13，4，66，4，8，5，3，97，4，6，6，3，15试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（，）解：方差来源平方和自由度样本方差F值组间（因子）10.533.50.35组内（误差）200.52010.02总和21123由于，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别八、（本题16分）设方程组为 （1）对方程组进行适当调整，使得用高斯塞德尔迭代法求解时收敛；（2）写出对应的高斯塞德尔迭代格式；（3）取初始向量，用该方法求近似解，使。解：（1）将原方程组调整为，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯塞德尔迭代法求解时收敛。 5分（2）高斯塞德尔迭代格式为 5分（2）取，用上述迭代格式计算得 1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.9999830 4 0.9999960 0.9999995 0.9999996 因，故取近似解。 6分。 6分 （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）