线段之和最短问题.doc

线段之和最短问题
一． 常见数学模型：
1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3. 如图，直线和的异侧两点A、B，分别在直线、上求作一点P、Q两点，
使AP+PQ+QB最小。
4. 如图，直线的同侧两点A、B，分别在直线上求作一点P、Q两点，且PQ=a，
使AP+PQ+QB最小。

5.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B使△PAB的周长最小。
6.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的
周长最小。

为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”
练习题
1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

2．如图，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD’，EE’，设护城河是东西——南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？

3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值

6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

7．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路x同侧，、到直线x的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，到直线y的距离为，请你在x旁和y旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

8．如图，在锐角△ABC中，AB = ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

9．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

10．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

参考答案
1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．
点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则
-2=-k+b 2=4k+b
解得：k = (4/5) b = - (6/5)
所以：y = (4/5)x-(6/5)
当x = 1时，y = -(2/5)
故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小

2．如图，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD’，EE’，设护城河是东西——南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？

如图，作BB’⊥a，AA’ ⊥b，且BB’ = 4，AA’ = 4，连接A’B’，交河岸于点E’，D’，分别过点E’、D’架设桥梁DD’，EE’，则ADD’E’EB是最短路线。
因为四边形ADD’A’、四边形BEE’B’都是平行四边形，所以BE = B’E’，AD = A’D’，因为A’，B’之间线段最短，所以ADD’E’EB是最短路线，又BF = 64，AF = 84，所以B’F = 60，A’F = 80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’ = 100，最短路线为108米

3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，
交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，
则OP = OP1 = OP2 = 10 且∠P1OP2 = 90°
由勾股定理得P1P2 = 10
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小
作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。
在直角△DBC'中
DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=

5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值

(1)AC = ，CE = 则AC+CE = +
(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小
连接AE，交BD于点C，则AE就是AC+CE的最小值
最小值是10
(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值
在直角△AEF中,AF = 5 EF = 12
根据勾股定理 AE = 13

（3）．求代数式（0≤x≤4）的最小值
如右图，AE的长就是这个代数式的最小值

在直角△AEF中
AF = 3 EF = 4
则AE = 5
所以，这个代数式的最小值是5

6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
析：展开图如图所示，作A点关于杯口的对称点A’。则BA’==15厘米

7．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A'，B'，连接A'B'，交x轴、y轴
于点P、Q，则四边形PABQ的周长最小
构造如图
在Rt△A'B'C中，B'C = 30+30+40 = 100，
A'C = 10 +40 =50
所以A'B' = =50

8．如图，在锐角△ABC中，AB = ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小值
在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4

9．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N = MB'+MN = MB+MN
B'N的长就是MB+MN的最小值
则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。所以AN = 1
在直角△AB'N中，根据勾股定理
B'N =

10．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

(2)①连接AC，交BD于点M，则AM+CM的值最小
②连接CE交BD于点M，则AM+BM+CM的值最小
∵AM=EN，BM=NM， ∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC
根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短
(3)过点E作CB的延长线的垂线，垂足为F
设正方形ABCD的边长为2x
则在直角△BEF中，∠EBF=30°，所以，EF=x，根据勾股定理：BF=
在直角△CEF中，根据勾股定理： CE2 = EF2 + FC2
得方程： 解得：x = 所以：2x =