吉林大学数学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解.pdf

目录2012年吉林大学432统计学专业硕士考研真题2012年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解2013年吉林大学432统计学专业硕士考研真题2013年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解2015年吉林大学432统计学专业硕士考研真题2015年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解2012年吉林大学432统计学专业硕士考研真题2012年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解一、（25分）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。（1.67）0.9225；（0.6）0.7257；（0.33）0.6293）解：由题意可知每个部件正常工作的概率为0.9，总样本数n100，用X表示正常工作的部件的数量，XB（100，0.9），则整个系统起作用的概率为P（X85）。np905且n（1p）95，根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知，所以整个系统起作用的概率为：二、（25分）1由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其概率密度为其中bm/（2kT），k为Boltzmann常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A。解：根据概率密度函数的性质可得：解得又bm/（2kT），故2研究了英格兰在1875年1951年期间，在矿山上发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的T（以日计）服从指数分布，其概率密度为：求分布函数FT（t），并求概率P50T100。解：当t0时当t0时，FT（t）0。所以分布函数为三、（25分）设某电子器件的寿命（以小时计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为其中c，（c，0）为未知参数。自一批这种器件中随机抽取n件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为x1x2xn。（1）求与c的最大似然估计；（2）求与c的矩估计。解：（1）似然函数为两边求对数得到对数似然函数为：因为lnL（，c）关于c单调递增，且当x1c时L0，当x1c时L0，所以cLx1是唯一使L达到最大的c值，即c的MLE。将lnL（，c）对求偏导并令其等于0，得到nnxnc0，由于似然函数是指数族的形式，且L的属于自然参数空间*：00，）的内点集，故的极大似然估计为Lxx1。（2）因为DTET2（ET）22，所以和c的矩估计为：四、（25分）设从均值为，方差为20的总体中，分别抽取容量为1，2的两个独立样本，X1和X2分别是两样本的均值。试证：对任意常数a，b（ab1），YaX1bX2都是的无偏估计并确定常数a，b使Y的方差Var（Y）达到最小。解：由题意可知，同理E（X2），所以有：E（Y）E（aX1bX2）aE（X1）bE（X2）ab（ab）因此，对任意常数a，b（ab1），YaX1bX2都是的无偏估计。因为两样本相互独立，所以：当an1/（n1n2），bn2/（n1n2）时，Var（Y）达到最小值。五、（25分）随机地选8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高（cm），得到如下数据。设各对数据的差DiXiYi（i1，2，8）是来自正态总体（D，D2）的样本，D，D2均未知，问是否可以认为早晨的身高要比晚上的身高要高？（取0.05，t0.05（7）1.8946）解：整理数据得到下表：第一步：提出假设：H0：D0；H0：D0第二步：计算D的均值和方差：D（01321212）/81.25第三步：构造检验统计量第四步：当原假设成立时，根据样本数据计算检验统计量的值为T2.76；第五步：做出决策：当0.05时，t0.051.8946，因为T2.761.8946，所以拒绝原假设，认为早晨的身高比晚上的身高要高。六、（25分）假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为yixii，i1，nE（i）0，Var（i）2，诸观测者相互独立。（1）写出，2的最小二乘估计；（2）对给定的x0，其对应的因变量均值的估计为y0，求Var（y0）。解：（1）根据最小二乘法，使（yiyi）2（yixi）2最小。令Q（yiyi）2根据微积分的极值定理，对Q求相应于的偏导数，并令其等于0，便可求出，即由于随机项i不可观测，只能从i的估计残差ei出发，对总体方差2进行估计。可证2的OLS为（2）对给定的x0，其对应的因变量均值的估计为y0，y0的方差为：用最小二乘法计算得到2013年吉林大学432统计学专业硕士考研真题2013年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解一、（20分）1设A，B为两个随机事件，P（A）P（B）1/3，P（A|B）1/6，求条件概率P（A|B）。解：由已知得P（AB）P（A|B）P（B）1/18，P（AB）P（A）P（B）P（AB）2/31/1811/18，P（B）1P（B）11/32/3，所以：2设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）等于多少？解：由题意可知P（AB）1/9，P（AB）P（A）P（AB）P（BA）P（B）P（BA），即P（A）P（B）。因为P（AB）1P（AB）1/9，所以P（AB）8/9。又因为A、B相互独立，所以P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）2P（A）（P（A）28/9，且0P（A）1，解得P（A）2/3。二、（20分）袋内有a只白球，b只黑球，把球随机的一只只抽出来，求第k次抽出的一只球是黑球的概率。（要求写出分析过程）。解：本题的求解思路可转化为：将a只白球和b只黑球放进ab个小盒子里，求第k个小盒子放黑球的概率。每个小盒子放一只球，一共有（ab）！种放法，若第k个小盒子放黑球，那么一共有Cb1（ab1）！种方法，因此第k次抽出一只球是黑球的概率为：三、（20分）设二维随机（，）的联合分布密度为试求D（），D（），Cov（，）。解：由已知得的边际密度函数为的边际密度函数为所以则同理可得四、（25分）已知随机变量（，）的分布密度为（1）求常数A；（2）求条件分布密度f（x|y），f（y|x）；（3）问，是否相互独立？解：（1）由概率密度函数的性质可知故A6。（2）的边际密度函数为的边际密度函数为所以（3）因为f（x）f（y）x（43x）y（43y）xy（1612y12x9xy）f（x，y），所以，不独立。五、（25分）设X1，X2，Xn为总体的一个样本，总体的密度函数为其中c0为已知，0为未知参数，求参数的矩估计量和极大似然估计量。解：因为所以的矩估计量为似然函数为L（）cnnc（x1x2xn）（c1）对数似然函数为lnL（）nlncncln（c1）ln（x1x2xn），x（1）因为lnL（）关于单调递增，所以LX（1）是唯一使L达到最大的值，即的MLE。六、（40分）现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，经计算得到x0.125，y45.7886，设各误差服从独立同分布的正态分布N（0，2），试回答以下问题：（1）建立y关于x的一元线性回归方程y01x；（2）写出0和1的分布；（3）求0和1的相关系数；（4）给出1的0.95置信区间；（5）在x0.15时求对应的y的0.95预测区间。解：（1）根据最小二乘法，得到一元线性回归模型的系数的估计为：所以回归方程的表达式为y84.3975x35.2389（2）0和1均服从正态分布，其中：（3）相关系数（4）1的95%的置信区间为（5）设x0为自变量x的一个特定值或给定值；E（y0）为给定x0时因变量y的平均值或期望值。当xx0时，y001x0为E（y0）的估计值。y0的95%的预测区间为：其中x00.15，y00.1584.397535.238947.8985。2015年吉林大学432统计学专业硕士考研真题2015年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解一、（15分）设随机变量X和Y都服从区间（0，1）上的均匀分布，并且二者独立，求E|XY|a（a0为常数）。解：由已知X，YU（0，1），且两者独立，所以fX（x）1，0 x1，fY（y）1，0y1，X，Y的联合密度函数为f（x，y）1，0 x1，0y1。故有：二、（20分）设X1，X2，X3是来自均匀分布U（0，）的样本，记14X（3）/3，24X（1），分别计算1和2的均值和方差。解：由已知得XU（0，），故X的概率密度函数为最大次序统计量X（3）的密度函数为最小次序统计量X（1）的密度函数为故所以E14E（X（3）/3D116D（X（3）/92/15E24E（X（1）D216D（X（1）32/5三、（25分）设总体X的概率分布列如下：P（X0）P（X2）2，P（X1）2（1），P（X3）12，其中（00.5）是未知参数，利用总体的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和最大似然估计值。解：由已知可列出X的分布列如下表所示：故EX0212（1）223（12）34。根据样本数据计算样本均值得到：x（31303123）/82所以34x2，解得的矩估计为M1/4。似然函数为：L（）22（1）2（12）25（1322）256647求导并令其等于0得到24（518142）0，因为00.5，所以解得0.17，即的极大似然估计为L0.17。四、（20分）设X1，X2，Xn是来自均匀分布U（0，）的样本，考虑检验问题：H0：3，H1：3，拒绝域取为WX（n）2.5，求检验犯第一类错误的最大值，若要使得该0.05，则n至少应取多少？解：由已知得XU（0，），故X的概率密度函数为分布函数为因此最大次序统计量X（n）的分布函数为犯第一类错误的概率为因为关于单调递减，所以当3时，取得最大值（2.5/3）n。若使0.5，则（2.5/3）n0.05，即n至少为16。五、（25分）用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示：在显著性水平0.05下对其进行方差分析，判断4种安眠药对兔子的安眠作用有无明显的差别。解：由表可知因素的水平数为4，在每种水平下做6次试验。首先提出假设：H0：1234H1：1，2，3，4不全相等计算各水平下安眠时间的均值为：x1（6.26.16.06.36.15.9）/66.1x2（6.36.56.76.67.16.4）/66.6x3（6.87.16.66.86.96.6）/66.8x4（5.46.46.26.36.05.9）/66.03计算总均值得到计算各离差平方和得到：SSESSTSSA3.87362.55421.3194综上可写出方差分析表如下：由方差分析表可知F值F0.05（3，20），所以拒绝原假设，认为4种安眠药对兔子的安眠作用有明显差别。六、（25分）在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x下腐蚀深度y的数据，求得回归方程为y0.44410.002263x，且误差方差的无偏估计为20.001452，总偏差平方和为0.1246。（1）对回归方程做显著性检验；（2）求样本相关系数；（3）若腐蚀时间x870，试给出y的0.95近似预测区间。解：（1）由已知条件可知n32，故SSE0.04356，SST0.1246，所以SSRSSTSSE0.12460.043560.08104，所以F统计量的值为：因为FF0.95（1，30）4.17，故拒绝原假设，认为模型显著。（2）样本相关系数（3）若腐蚀时间x870，则y00.44410.0022638701.5247。其0.95近似预测区间的半径为故y的0.95近似预测区间为1.52470.0747，1.52470.07471.4500，1.5994。七、（20分）考虑ARMA（2，1）模型：Xt0.8Xt10.5Xt2at0.3at1，已知Xt3，Xt2，Xt1，Xt分别为1，2，2.5，0.6，at20，分别求Xt的一步和两步预测值Xt（1）和Xt（2）。解：由已知得该ARMA（2，1）模型的表达式为：Xt0.8Xt10.5Xt2at0.3at1，因为Xt31，Xt22，Xt12.5，Xt0.6，at20，所以有：Xt0.8Xt10.5Xt2at0.3at10.82.50.52at0.3at10.6Xt10.8Xt20.5Xt3at10.3at20.820.5（1）at10.302.5解得at10.4，at0.28。因此：Xt（1）0.8Xt0.5Xt1at10.3at0.80.60.52.500.3（0.28）0.686Xt（2）0.8Xt（1）0.5Xtat20.3at10.8（0.686）0.50.60.8488本试卷可能用到的一些数据：u0.9751.96，F0.95（1，30）4.17，F0.95（3，20）3.10，ln51.6094，ln61.7918，ln202.9957。