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初中几何定理整理

章节
相关定理及推论
备注、扩展
4章直线与角
过两点有且只有一条直线

两条直线相交只有一个交点

两点之间的所有连线中，线段最短
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
同角（或等角）的补角相等

同角（或等角）的余角相等

10章相交线、平行线与平移
对顶角相等

过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
通过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线

假如两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行

同位角相等，两直线平行
平行线鉴定定理
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
平行线性质定理
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
一个图形和它通过平移后所得的图形中，连接各组相应点的线段互相平行（或在同一条直线上）且相等
平移前后的图形中，相应边互相平行（或共线）且相等
13章
三角形中的边角关系、命题与证明
三角形中任何两边的和大于第三边

三角形中任何两边的差小于第三边
根据不等式性质的推论
三角形的内角和等于180°
三角形内角和定理
直角三角形的两个锐角互余
推论1
有两个角互余的三角形是直角三角形
推论2
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
推论3
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
推论4
14章
全等三角形
全等三角形的相应边、相应角相等

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
基本领实：边角边或SAS
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
基本领实：角边角或ASA
三边分别相等的两个三角形全等
基本领实：边边边或SSS
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
角角边或AAS定理
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
“斜边、直角边”或“HL”
第15章
轴对称图形与等腰三角形
假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对相应点所连线段的垂直平分线

成对称轴的两个图形中，相应点的连线被对称轴垂直平分

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
等腰三角形的性质定理1
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
等腰三角形的性质定理2
等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°
推论

有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)

三个角都相等的三角形是等边三角形
推论1
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
推论2
在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
定理

角平分线上的点到角两边的距离相等
角平分线性质定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

18章
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和、等于斜边的平方
勾股定理（毕达哥拉斯定理）
假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
勾股逆定理

19章
四边形

19章
四边形

n边形的内角的和等于(n-2)·180°（n为不小于3的整数）
多边形内角和定理

平行四边形的对边相等
平行四边形性质定理1
平行四边形的对角相等
平行四边形性质定理2
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形性质定理3

两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形鉴定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形鉴定定理2
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形鉴定定理3
一组对边平行相等的四边形是平行四边形
平行四边形鉴定定理4

假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
平行线等分线段定理
通过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边
推论

三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半
三角形中位线定理
矩形的四个角都是直角
矩形性质定理1
矩形的对角线相等
矩形性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
推论

对角线相等的平行四边形是矩形
矩形鉴定定理1
三个角是直角的四边形是矩形
矩形鉴定定理2

菱形的四条边都相等
菱形性质定理1
菱形的对角线互相垂直
菱形性质定理2，注：每一条对角线平分一组对角
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
菱形第二面积公式
四边都相等的四边形是菱形
菱形鉴定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形鉴定定理2

正方形的四条边都相等，四个角都是直角
正方形性质定理1
正方形的对角线相等且互相垂直平分
正方形性质定理2，注：每条对角线平分一组对角

22章
相似形

22章
相似形

假如a:b=c:d,那么ad=bc（b,d≠0）
比例的基本性质
假如ad=bc,那么a:b=c:d
假如a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d（b,d≠0）
合比性质
假如a/b=c/d,那么(a-b)/b=(c-d)/d（b,d≠0）
分比性质
假如a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
等比性质
假如ad=bc,那么d:b=c:a
更比性质
把一条线段提成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值(√5-1)/2,近似值0.618 叫做黄金数

两条直线被一组平行线所截，所得的相应线段成比例
基本领实
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的相应线段成比例
推论

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似

两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形鉴定定理1
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形鉴定定理2
三边成比例的两个三角形相似
相似三角形鉴定定理3
假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例，那么这两个直角三角形相似
直角三角形相似鉴定依据
相似三角形相应高的比，相应中线的比和相应角平分线的比都等于相似比
相似三角形性质定理1
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形性质定理2
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质定理3
位似图形性质：
l 两个位似图形必然相似，位似比等于相似比
l 每一对相应点连线都相交于位似中心
l 两个位似图形相应边互相平行或共线
l 两个位似图形相应点与位似中心之间的距离之比等于位似比
l 在平面直角坐标系内，以坐标原点O为位似中心，P(x,y)同向位似点P’(kx,ky)，其反向位似点P’(-kx,-ky)（其中位似比k>0
一般地，假如一个图形上的点A1，B1，…,P1和另一个图形上的点A,B,…P分别相应，并且满足下面两点：1）直线AA1，BB1，…PP1都通过同一点O；2）OA1/OA= OB1/OB= …=OP1/OP=k.那么，这两个图形叫做位似图形，点O 叫做位似中心。
位似图形的条件：
1. 两个图形是相似图形
2. 相应点连线相交于同一点（位似中心）
3. 相应边互相平行或共线

23章
解直角三角形

在Rt△ABC中，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即：tanA=∠A的对边/∠A的邻边=BC/AC=a/b
∵0≤∠A<90°，∴tanA≥0
对于锐角来说tanA >0
坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=h/l（坡面通常写成h：l的形式）
sin30°=
cos30°=
tan30°=
sin60°=
cos60°=
tan60°=
sin45°=
cos45°=
tan45°=
坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作α，于是有i=h/l=tanα。显然，坡度（i=tanα）越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
在Rt△ABC中，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA,即：sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB=a/c。
在Rt△ABC中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA,即：cosA=∠A的邻边/斜边=AC/AB=b/c。
任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值

24章
圆

24章
圆
成中心对称的两个图形中，相应点的连线通过对称中心，且被对称中心平分。

把一个图形绕某一个定点旋转180°，假如旋转后的图形能和本来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心。

圆是定点的距离等于定长的点的集合

到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
垂径定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
圆心到弦的距离叫弦心距
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
定理
在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所相应的其余各组量都相等
推论
不在同一直线上的三个点拟定一个圆
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
定理
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等
推论1
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
推论2
圆内接四边形的对角互补，且任何一个补角都等于它的内对角
定理

圆的切线垂直于通过切点的半径
切线性质
通过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的鉴定定理
从圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角
切线长定理
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

三角形外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 三角形外心到内接三角形的三个顶点距离相等
三角形外心
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心到三角形的三边距离相等
三角形内心

三角形的三条中线交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一
三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。
外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心
正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n，
每个中心角都等于360°/n（）

C1=(n/360)*2лR=nлR/180
以n°为圆心角的弧长C1计算公式
S1=(n/360) •Лr2=(1/2) • nлR/180•R=(1/2) C1R
以n°为圆心角的扇形面积S1

直角坐标系中，A(x1,y1)和B(x2,y2)，
IABl=√【（x2-x1）2+（y2-y1）2】