塑性力学05球对称与轴对称问题幻灯片.ppt

塑性力学051 第五章第五章 球对称和轴对称的弹塑性问题球对称和轴对称的弹塑性问题5-1 理想弹塑性材料的厚壁球壳理想弹塑性材料的厚壁球壳 问题的描述与分析问题的描述与分析问题问题:内径为内径为 ,外径为外径为 球球,受受内压力内压力 ,求弹塑性极限荷载求弹塑性极限荷载.分析分析:很显然它的应力和位移很显然它的应力和位移场是球对称的场是球对称的,采用球坐标采用球坐标.应力场应力场:应变为应变为显然显然这就是说这就是说,在加载过程中在加载过程中 应力和应变主方向是重合的应力和应变主方向是重合的,并保持并保持不变不变,那么加载是简单加载那么加载是简单加载,适用全量理论适用全量理论.2 球对称问题的平衡方程球对称问题的平衡方程,应变连续方程和边界条件应变连续方程和边界条件平衡方程为平衡方程为(不考虑体力不考虑体力):应变分量为应变分量为这里这里 是径向位移是径向位移.它们应满足应变连续性方程它们应满足应变连续性方程边界条件为边界条件为1.弹性状态弹性状态 首先建立位移表示的平衡方程首先建立位移表示的平衡方程.球体处于弹性状态球体处于弹性状态,根据广义根据广义Hooke定律定律然后用应变表示应力得到然后用应变表示应力得到:3把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程:解这个方程得解这个方程得利用边界条件得到利用边界条件得到最后得到位移解为最后得到位移解为:4可以得到应力分量可以得到应力分量 求弹性极限压力求弹性极限压力.根据球壳的屈服条件根据球壳的屈服条件(例例2-3)即即将上面的应力分量代入屈服条件得将上面的应力分量代入屈服条件得从上式可以看出在球壳内壁最先屈服从上式可以看出在球壳内壁最先屈服,令令 得到弹性得到弹性极限压力极限压力:从上式可以看出从上式可以看出,当当 时时,这说明如果使这说明如果使球壳处于弹性工作状态球壳处于弹性工作状态,那么无论壁厚增加多少也不能提那么无论壁厚增加多少也不能提高它的承载能力高它的承载能力.52.弹塑性状态弹塑性状态当压力当压力 时时,球壳内壁开始屈球壳内壁开始屈服并向外扩展到半径服并向外扩展到半径 处处,如果材如果材料是理想弹塑性料是理想弹塑性,在塑性区应力仍在塑性区应力仍要满足平衡条件要满足平衡条件,此时考虑到屈服此时考虑到屈服条件条件 ,因此有因此有积分得到积分得到根据边界条件根据边界条件得到积分常数得到积分常数得到塑性区的应力为得到塑性区的应力为弹性区的应力把前面的弹性弹性区的应力把前面的弹性解中的解中的 即可即可6考虑到在交界面处考虑到在交界面处 要连续要连续,所以得到所以得到 和和 的关系式的关系式.3.塑性极限状态塑性极限状态.上式令上式令 ,球壳全部进入塑性得到塑性球壳全部进入塑性得到塑性极限压力为极限压力为 此时塑性区的应力为此时塑性区的应力为75-2 棒材的拉拔加工棒材的拉拔加工1)问题说明见图问题说明见图2)假定条件假定条件 理想弹塑性理想弹塑性无摩擦无摩擦,接触面接触面是主平面是主平面 塑性变形向塑性变形向o点径点径向流动向流动,并且稳定并且稳定.3)可以看成球壳的一部分可以看成球壳的一部分,全部进入塑性状态全部进入塑性状态,可以利用上面解可以利用上面解球壳的思路球壳的思路.平衡方程不变平衡方程不变.屈服条件的形式不同屈服条件的形式不同,因为在拉拔因为在拉拔情况情况,屈服条件为屈服条件为 代入平代入平衡方程得到衡方程得到8解这个方程得到解这个方程得到:由进口截面处的边界条件由进口截面处的边界条件 得积分常数为得积分常数为解得应力分量为解得应力分量为4)求解出口截面的求解出口截面的拉拔应力拉拔应力为为那么拉拔力为那么拉拔力为5)定义截面减缩率为定义截面减缩率为可以求得拉拔时可以求得拉拔时最最大减缩率大减缩率.因为材料是理想弹塑性因为材料是理想弹塑性,出口截面处的拉拔应力不能超过屈出口截面处的拉拔应力不能超过屈服应力服应力,所以有所以有这样得到这样得到那么最大减缩率为那么最大减缩率为95-3 理想弹塑性材料的厚壁圆筒理想弹塑性材料的厚壁圆筒问题的描述问题的描述:分析内径为分析内径为 ,外径为外径为 的厚壁圆筒的厚壁圆筒,在其内表面受在其内表面受内压为内压为 .假定是不可压缩的理想弹塑性材料假定是不可压缩的理想弹塑性材料,并限定为平面应并限定为平面应变问题变问题.取柱坐标取柱坐标,使使 轴与筒轴线重合轴与筒轴线重合.1)弹性状态弹性状态 弹性应力解为弹性应力解为(由于材料不可压缩由于材料不可压缩 ):那么根据那么根据Mises屈屈服条件得到弹性极服条件得到弹性极限压力为限压力为:应力强度为应力强度为即即因此可见最大应力强度发生在内壁处因此可见最大应力强度发生在内壁处.102)弹塑性状态弹塑性状态 令令 是弹塑性交界面的半径是弹塑性交界面的半径.首先我们分析一首先我们分析一下在塑性区的应力分量的关系下在塑性区的应力分量的关系.因为材料的不可压缩因为材料的不可压缩,又又因为的平面应变因为的平面应变 ,这样根据简单加载的全量理论有这样根据简单加载的全量理论有因此得到因此得到另外根据筒的受力性质知道另外根据筒的受力性质知道 是拉应力是拉应力,是压应力是压应力,所以应所以应力强度力强度根据塑性区是理想弹塑性所以根据塑性区是理想弹塑性所以Mises屈服条件有屈服条件有平面轴对称问题的平衡方程为平面轴对称问题的平衡方程为 这样由屈服条件和平衡方程得到这样由屈服条件和平衡方程得到积分得到积分得到再由边界条件再由边界条件得积分常数得积分常数11 这样得到塑性区的应力这样得到塑性区的应力:弹性区的应力弹性区的应力,可以利用弹可以利用弹性状态的解令性状态的解令 交界面应力连续得到交界面应力连续得到这是这是 和和 的关系式的关系式.3)上式令上式令 ,得到塑性极限得到塑性极限压力压力:此时塑性区应力为此时塑性区应力为:124)残余应力的计算残余应力的计算.厚壁圆筒在进入塑性状态以后厚壁圆筒在进入塑性状态以后,将内压力将内压力全部卸载全部卸载,此时卸载的荷载变换为此时卸载的荷载变换为 ,按弹性计算得到变化的应按弹性计算得到变化的应力力,这样用卸载前的应力减去这个变换应力就得到残余应力这样用卸载前的应力减去这个变换应力就得到残余应力.用用图来表示图来表示(残余应力只给出环向应力残余应力只给出环向应力)为为:从残余应力图中看出从残余应力图中看出,内壁有残余压应力内壁有残余压应力,这就是对厚壁圆筒施这就是对厚壁圆筒施加了预应力加了预应力,从而可以提高筒的压应力从而可以提高筒的压应力.这种利用预加塑性变形这种利用预加塑性变形来提高结果承载能力的技术在工程中被广泛使用来提高结果承载能力的技术在工程中被广泛使用.135)变形计算变形计算.考虑平面应变和小变形考虑平面应变和小变形,建立位移方程并求解建立位移方程并求解.因为因为又根据几何方程又根据几何方程 就可以得到就可以得到解为解为注意注意,这里推导没有涉及应力应变的关系这里推导没有涉及应力应变的关系.也就是这个解适用弹性区和塑性区也就是这个解适用弹性区和塑性区.现在根据弹性区的应力应变关系来定积分常数现在根据弹性区的应力应变关系来定积分常数B.把弹性区的把弹性区的应力分量代入应力分量代入Hooke定律定律,考虑到考虑到另外由位移得另外由位移得比较这两个式子得比较这两个式子得14 最后得到位移和应变为最后得到位移和应变为5-4 硬化材料的厚壁圆筒硬化材料的厚壁圆筒1)我们要注意与理想弹塑性材料的不同是屈服条件有什么变化我们要注意与理想弹塑性材料的不同是屈服条件有什么变化?硬化条件是什么硬化条件是什么?对于这个问题对于这个问题这个问题适用全量理论这个问题适用全量理论,由单一曲线假定由单一曲线假定 ,所以有所以有2)上一节在变形计算中结果有上一节在变形计算中结果有15它仍然适合这个问题它仍然适合这个问题,所以应变强度为所以应变强度为3)有了上面两点我们来求解硬化材料情况下的问题有了上面两点我们来求解硬化材料情况下的问题将上式从将上式从 积分积分,并并考虑到边界条件考虑到边界条件也就是也就是这里常数这里常数B可以按照内壁的可以按照内壁的半径条件半径条件 来定来定.164)如果有如果有 即即代入上式积分可得代入上式积分可得再积分再积分再把再把B代入得到应力为代入得到应力为以及以及175-5 旋转圆盘旋转圆盘.问题描述问题描述:半径为半径为 的等厚薄圆盘的等厚薄圆盘,理想弹塑性材料理想弹塑性材料,绕圆心绕圆心 等速旋转等速旋转.由于离心惯性力盘内产生应力应变由于离心惯性力盘内产生应力应变.因为盘薄认为垂直薄盘的应力因为盘薄认为垂直薄盘的应力 为零为零,可以简化平面应力问题可以简化平面应力问题,又因为轴对称又因为轴对称,所以剪力为零所以剪力为零,这样这样 和和 为主应力为主应力.主应力和位移的关系为主应力和位移的关系为 平衡方程为平衡方程为1.弹性状态弹性状态 按位移求解按位移求解,通过通过Hooke定律用位移来表示应力定律用位移来表示应力,然后再代入平衡方程得到关于位移的一个微分方程然后再代入平衡方程得到关于位移的一个微分方程该方程的解为该方程的解为:18根据半径条件来定根据半径条件来定A和和C积分常数积分常数.因为圆心的位移有限所以因为圆心的位移有限所以C必须为零必须为零,另外在圆盘的外边缘的应力另外在圆盘的外边缘的应力 ,可以确定可以确定这样就确定了弹性阶段的位移和应力这样就确定了弹性阶段的位移和应力:下面来求下面来求弹性极限转速弹性极限转速.用用Tresca条件条件,知道知道这样屈服条件为这样屈服条件为显然在圆心处显然在圆心处 最大首先屈服最大首先屈服,即即得到弹性得到弹性极限转速极限转速:192.弹塑性状态弹塑性状态 当当 时时,圆盘从圆心向外进入塑性圆盘从圆心向外进入塑性,假设假设弹塑性分界线的半径为弹塑性分界线的半径为 在在塑性区塑性区根据平衡方程根据平衡方程和屈服条件和屈服条件有有积分得到积分得到因为圆心应力有限即因为圆心应力有限即D=0.所以塑性区的应力所以塑性区的应力在弹性区在弹性区,可以看作为内径为可以看作为内径为 ,外径为外径为 的空心旋转圆盘的空心旋转圆盘.此时在此时在 处已经屈服有处已经屈服有:径向应力要连续有径向应力要连续有:此时在此时在 处的边界条件为处的边界条件为:20另外在前面弹性状态分析时我们已经解得弹性位移解为另外在前面弹性状态分析时我们已经解得弹性位移解为这样可以求得应力分量这样可以求得应力分量,它们包括它们包括 待定常数待定常数,由上面三由上面三个边界条件就可以确定它们个边界条件就可以确定它们.最后可以得到弹塑性状态时的弹最后可以得到弹塑性状态时的弹性区的应力和转速性区的应力和转速.下面给出转速下面给出转速3.塑性极限阶段塑性极限阶段当当 时时,整个圆盘进入塑性状态整个圆盘进入塑性状态.我们在上式令我们在上式令 即即得到塑性极限转速得到塑性极限转速215-6 圆板的轴对称弯曲圆板的轴对称弯曲1.基本方程基本方程问题描述问题描述:轴对称荷载轴对称荷载作用下圆板的弯曲问题作用下圆板的弯曲问题.材料为连续弹塑性材料为连续弹塑性.采采用圆柱坐标用圆柱坐标,具体尺寸具体尺寸见图见图.板的变形仍保留板的变形仍保留Kirchhoff假设假设,又由于又由于对称性对称性板的挠度板的挠度 只是只是 的函数的函数,有有因此得因此得考虑圆板的一个微小单元考虑圆板的一个微小单元,由平衡条件可以得到两个平衡方程由平衡条件可以得到两个平衡方程:22即即2.极限条件极限条件 当板进入屈服时当板进入屈服时,其应力分量的值沿其应力分量的值沿z向不变向不变,并且并且中面上下应力分量的符号相反中面上下应力分量的符号相反,因此有因此有考虑考虑Mises屈服条件屈服条件(忽略忽略 对屈服的影响对屈服的影响)那么就有那么就有:其中其中这是用广义力表示轴对称圆板弯曲的这是用广义力表示轴对称圆板弯曲的Mises屈服条件屈服条件.23如果用如果用Tresca条件可能比较方便条件可能比较方便.不考虑不考虑 的影响的影响,Tresca条件条件可以写成可以写成也可以证明它也可以证明它的广义力的表的广义力的表达式为达式为:下面举例说明求下面举例说明求塑性极限荷载塑性极限荷载.例题例题5-1周边简支周边简支,半径为半径为 承受均匀荷载的圆板承受均匀荷载的圆板.求塑性求塑性极限荷载和速度场极限荷载和速度场.弯矩的最大值在原点处弯矩的最大值在原点处,并且并且 ,显然显然,根据根据Tresca条件条件,首先在原点屈服首先在原点屈服,考虑考虑弯矩都大于零弯矩都大于零,在塑性极限在塑性极限状态它在图中的状态它在图中的A点点.在周边在周边,相当于图中的相当于图中的B点点.因此可以设想板的屈服过程是沿因此可以设想板的屈服过程是沿AB线进行线进行.24根据分析这个问题的根据分析这个问题的Tresca条件为条件为根据平衡方程可得根据平衡方程可得其解为其解为考虑在原点处考虑在原点处 有限有限,所以所以 .又考虑到边界条件又考虑到边界条件 就得到均布荷载的简支圆板的就得到均布荷载的简支圆板的塑性极限荷载塑性极限荷载:关于板的塑性变形问题关于板的塑性变形问题:按流动法则按流动法则,对于对于AB边有边有故有故有25此方程也可用速率表示此方程也可用速率表示它的解为它的解为由由 ,得得 ,所以上式变为所以上式变为这里这里 是是 处处 的值的值,它是不确定的它是不确定的,因为在塑性极因为在塑性极限状态时限状态时,板的变形是不受限制的板的变形是不受限制的,其变形形状如图其变形形状如图.26