1993年考研数学三真题及全面解析.doc

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) .

(2) 已知则 .
(3) 级数的和为 .
(4) 设阶方阵的秩为,则其伴随矩阵的秩为 .
(5) 设总体的方差为1,根据来自的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设则在点处 ( )
(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续
(C) 连续但不可导 (D) 可导
(2) 设为连续函数,且则等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的 ( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件
(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件
(4) 假设事件和满足,则 ( )
(A) 是必然事件 (B) .
(C) (D)

(5) 设随机变量的密度函数为,且.是的分布函数,则对任意实数,有 ( )
(A) . (B)
(C) (D)

三、(本题满分5分)
设是由方程所确定的二元函数,求.

四、(本题满分7分)
已知,求常数的值.

五、(本题满分9分)
设某产品的成本函数为需求函数为其中为成本,为需求量(即产量),为单价,都是正的常数,且,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.

六、(本题满分8分)
假设:(1) 函数满足条件和;
(2) 平行于轴的动直线与曲线和分别相交于点和;
(3) 曲线,直线与轴所围封闭图形的面积恒等于线段的长度.
求函数的表达式.

七、(本题满分6分)
假设函数在上连续,在内二阶可导,过点与的直线与曲线相交于点,其中.
证明:在内至少存在一点,使.

八、(本题满分10分)
为何值时,线性方程组

有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.

九、(本题满分9分)
设二次型

经正交变换化成,其中和是三维列向量, 是3阶正交矩阵.试求常数.

十、(本题满分8分)
设随机变量和同分布, 的概率密度为

(1) 已知事件和独立,且求常数
(2) 求的数学期望.

十一、(本题满分8分)
假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率.

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】 ,
极限 , 而 ,
所以 .
(2)【答案】
【解析】令则有 ,则
由复合函数求导法则知

(3)【答案】
【解析】利用几何级数求和公式令,即得

(4)【答案】
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于,说明中3阶子式全为0,于是的代数余子式故.
所以秩
若熟悉伴随矩阵秩的关系式

易知
注：按定义

伴随矩阵是阶矩阵,它的元素是行列式的代数余子式,是阶子式.
(5)【答案】
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
因的方差为,设的期望为,则.
当置信度为,时,有正态分布表知.因此用公式：
.
将代入上式,得到所求的置信区间为.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(C)
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当时,为有界变量,为无穷小量,则
,且
于是在处连续.故(A)(B)不正确.
又因为不存在,所以在处不可导,所以选(C).
【相关知识点】函数连续定义：如果函数在处连续,则有

.
(2)【答案】(A)
【解析】
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
.
(3)【答案】(B)
【解析】有个线性无关的特征向量.
由于当特征值时,特征向量线性无关.从而知,当有个不同特征值时,矩阵有个线性无关的特征向量,那么矩阵可以相似对角化.
因为当的特征值有重根时,矩阵仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).
(4)【答案】(D)
【解析】的充分必要条件是,即.显然四个选项中,当时,,可得.因此是的充分条件.因此选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有

随机变量的密度函数为,则,又由于,所以
,(偶函数积分的性质)
即.
于是 .

故应选(B).

三、(本题满分5分)
【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得

整理后得

由此,得.
方法二：应先求出函数对的偏导数,将两边分别对求偏导,

解之得 ,
.
故 .

四、(本题满分7分)
【解析】 ,
令,则当时,,
,
所以 .
而

,
由得,所以或

五、(本题满分9分)
【解析】(1) 利润函数为

,
对求导,并令,得,得.
因为所以,当时为利润函数的极大值点,根据题意也是利润的最大值点,所以.
(2) 因为,所以,故需求对价格的弹性为.
(3) 由得.

六、(本题满分8分)
【解析】由题设可得示意图如右.设,则,
即 .
两端求导,得,即.
由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得

由初始条件,得.因此,所求函数为.
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:
,其中为常数.

七、(本题满分6分)
【解析】因为分别在和上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在,使得

由于点在弦上,故有
从而
这表明在区间上满足罗尔定理的条件,于是存在,使得
.

八、(本题满分10分)
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,
第一行和第三行互换,再第一行分别乘以、加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以加到第三行上,有

.
(1)当且时,,方程组有唯一解,即

(2)当时, 方程组无解.
(3)当时,有.
因为,方程组有无穷多解.
取为自由变量,得方程组的特解为.

又导出组的基础解系为,所以方程组的通解为,其中为任意常数.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即.(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组)
设是矩阵,线性方程组,则
（1） 有唯一解
（2） 有无穷多解
（3） 无解
不能由的列向量线表出.

九、(本题满分9分)
【解析】经正交变换二次型的矩阵分别为.
由于是正交矩阵,有,即知矩阵的特征值是0,1,2.那么有

【相关知识点】二次型的定义：含有个变量的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)
其中,
称为元二次型,令,,则二次型可用矩阵乘法表示为

其中是对称矩阵,称为二次型的矩阵.

十、(本题满分8分)
【解析】(1)依题意,因为随机变量和同分布,则

,
又事件独立,故.
估计广义加法公式：

解以为未知量的方程 得,(因不合题意).
再依题设条件可知
.
再解以为未知量的方程:,得.
(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:

十一、(本题满分8分)
【解析】本题的关键在于理解随机变量的意义,事件表示设备在任何长为的时间内发生次故障,其概率为.
由于表示相继两次故障之间时间间隔,故当时,当时,事件与是互逆事件,并且表示在长为的时间内没有发生故障,它等价于事件.
(1)易见是只取非负值的连续型随机变量.
当时,
当时,事件与等价.于是有

因此 .
计算得知服从参数为的指数分布.
(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此
.

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