均值不等式应用和例题解析教案省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

均均 值 不不 等等 式式基本不等式基本不等式均值均值不等式及应用不等式及应用第1页均值定理：均值定理：当且仅当当且仅当a=b时，式中等号成立。时，式中等号成立。两个正实数两个正实数算术平均值大于算术平均值大于或等于它或等于它几何平均值几何平均值称为它们称为它们几何平均数几何平均数称为正数称为正数a、b算术平均数算术平均数第2页上述推导表达了数学中由普通到特殊思想上述推导表达了数学中由普通到特殊思想第3页*问题问题：*均值不等式给出了两个正实数算术平均数与几何平均数关系，这个不等式能否推广呢？比如，对于3个正数，会有怎样不等式成立呢？(前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式)类比思想应用类比思想应用定理定理3 三元均值不等式：三元均值不等式：a、b、c N*当且仅当当且仅当a=b=c时，式中等号成立。时，式中等号成立。语言表述：语言表述：三个正实数算术平均值大于或等于三个正实数算术平均值大于或等于它几何平均值它几何平均值第4页同理三元均值不等式也可由同理三元均值不等式也可由 换元得换元得到，到，只要证实以下不等式成立：只要证实以下不等式成立：证实证实：第5页第6页1、四个均值不等式链平方平均数平方平均数 算数平均数算数平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数2、正数a1,a2,an(多元均值不等式)第7页第8页三、均值不等式应用三、均值不等式应用 用不等式证实不等式用不等式证实不等式当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用a、b代换两数（有积定直接用均值不等式）代换两数（有积定直接用均值不等式）第9页第10页当一个两项之积与另一个两项之积积是个常数直接用均值不等当一个两项之积与另一个两项之积积是个常数直接用均值不等式式a、b代换每项内两数，再用不等式两边相乘基本定理来解代换每项内两数，再用不等式两边相乘基本定理来解（积积定值直接用）（积积定值直接用）第11页直接用三元均值不等直接用三元均值不等式来解式来解第12页练习练习4：已知已知:a,b,c均为正数均为正数,求证求证:第13页二项之积为一个常数直接用二项之积为一个常数直接用均值不等式均值不等式a、b代换即可代换即可.第14页技巧技巧（结构法），当不等式左边含有元数时，我们采取结结构法），当不等式左边含有元数时，我们采取结构不等式来证实，再不等式两边相乘或相加原理求解。构不等式来证实，再不等式两边相乘或相加原理求解。由基本不等式推出几个惯用结构不等式：由基本不等式推出几个惯用结构不等式：带常数不等式带常数不等式两边乘上两边乘上a或或b都能够结构带都能够结构带元数不等式元数不等式第15页证实证实：因为因为所以：两边相加所以：两边相加利用带元数结构不等式，利用带元数结构不等式，结构出不等式左边各项所结构出不等式左边各项所带元数，再利用不等式两带元数，再利用不等式两边相乘或相加求解。边相乘或相加求解。第16页不等式分母和右边不等式分母和右边交换，结构不等式交换，结构不等式相加相加第17页用求差法证实例用求差法证实例4：求差法惯用来证实不等式，普通需配求差法惯用来证实不等式，普通需配项化为平方差连加形式，因为项化为平方差连加形式，因为abc都都大于大于0，这种式子最终都大于，这种式子最终都大于0。第18页求最值求最值两个两个正数正数积为积为常数常数时，它们和有最小值；时，它们和有最小值；两个两个正数正数和为和为常数常数时，它们积有最大值。时，它们积有最大值。均值不等式均值不等式 即：积定和最小，和定积最大，可用于即：积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。最值求解。在求最值时必须强调三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可第19页注意：注意：”一正二定三相等一正二定三相等”是指利用均值不等式是指利用均值不等式 证实或求最值必证实或求最值必 须强调三个特殊要求：须强调三个特殊要求：（1）一正）一正：各项都为正数（：各项都为正数（a、b0，由，由ab做成两项也需做成两项也需0）（2）二定：）二定：两项积两项积为定值，和有最小值为定值，和有最小值 两项和两项和为定值，积有最大值为定值，积有最大值（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式）三相等：求最值时一定要考虑不等式是是 否否能取能取“”，取值是否在已知区间内，不然，取值是否在已知区间内，不然会出现错误会出现错误注：用不等式证实和求最值是必须每步验证是注：用不等式证实和求最值是必须每步验证是否符合否符合第20页ab9a+b6解：解：第21页例例6、（、（1）一个矩形面积为）一个矩形面积为100m2，问这，问这个矩形长、宽各为多少时，矩形周长最短个矩形长、宽各为多少时，矩形周长最短？最短周长是多少？最短周长是多少？（2）已知矩形周长为）已知矩形周长为36m，问这个矩形，问这个矩形长宽各是多少时，它面积最大？最大面积长宽各是多少时，它面积最大？最大面积是多少？是多少？第22页解：设矩形长为解：设矩形长为a,宽为宽为b 则则S=ab=100，L=2（a+b）因为因为a+b =20 当且仅当当且仅当a=b=10,a+b=20 所以所以L 40，当，当a=10,b=10时时L最短，为最短，为40.解：设矩形长为解：设矩形长为a,宽为宽为b 则则S=ab，L=2（a+b）=36 因为因为a+b=18 当且仅当当且仅当a=b=9,axb=81 所以所以S 81，当，当a=9,b=9时时S最大，为最大，为81.例例6解：解：第23页利用均值不等式求函数最值步骤利用均值不等式求函数最值步骤:练习练习1)1)若若x0,f(x)=x0,f(x)=最小值为最小值为_;_;此时此时x=_.x=_.解解:因为因为x0 x0,若若x x 0)单调性单调性.5/2(x=0)三不等，改用三不等，改用“单调性单调性”变形变形:第33页 第34页第35页例例 1 1:解解:结构三结构三个数相个数相 加等于加等于定值定值.用三元均值不等式用三元均值不等式求最值求最值第36页第37页A、6B、C、9D、12（）C第38页例例13 求函数 最小值第39页小结：小结：利用均值不等式利用均值不等式求最值时注意：求最值时注意：2、不能直接利用定理时、不能直接利用定理时，注意拆项、配注意拆项、配项凑定值技巧项凑定值技巧1、一正、二定、三相等；、一正、二定、三相等；缺一不可缺一不可（拆项时常拆成两个相同项）（拆项时常拆成两个相同项）。第40页 阅读下题各种解法是否正确，若有错，阅读下题各种解法是否正确，若有错，指出有错误地方。指出有错误地方。五、错五、错题辨析题辨析因为二不定因为二不定第41页 当且仅当当且仅当即即:时取时取“=”号号正解正解即此时即此时第42页 2、求函数 最小值下面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由甲：由 知 ，则 (错解原因错解原因是是1/x=2/x无法无法解等号解等号取不到取不到)(错解原因是错解原因是不满足积定不满足积定)第43页丙：结构三个结构三个数相数相 乘乘等于定值等于定值.注：拆项注：拆项时普通拆时普通拆成二个相成二个相同项同项一正一正二定二定三相等三相等第44页2.若若x0,当当x=时时,函数函数 有最有最 值值 .3.若若x4,函数函数 当当x=时时,函数有最函数有最 值是值是 .1.若若x0,当当x=时时,函数函数 最小值是最小值是 .2/3小小125大大-6第45页4.已知已知 ,则则 最大值为最大值为 ,此时此时x=.5.若若 ,当当x=时时,y=x(5 2x)有最大值有最大值 .6.若若x0,则则 最大值为最大值为 .3/41/25/425/8第46页六、一题多解六、一题多解第47页第48页第49页第50页第51页第52页方法讲解：方法讲解：第53页方法讲解：方法讲解：第54页方法讲解：方法讲解：第55页方法讲解：方法讲解：第56页方法讲解：方法讲解：第57页方法讲解：方法讲解：第58页方法讲解：方法讲解：第59页方法讲解：方法讲解：第60页方法讲解：方法讲解：第61页方法讲解：方法讲解：第62页第63页