定积分的应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、第六章定积分应用第一节定积分在几何上应用第1页四、四、旋转体侧面积旋转体侧面积(补充补充)三、已知平行截面面积函数三、已知平行截面面积函数立体体积立体体积一、一、平面图形面积平面图形面积二、二、平面曲线弧长平面曲线弧长机动目录上页下页返回结束第六六章第2页一、平面图形面积一、平面图形面积1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为 A,右下列图所表示图形面积为第3页例例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形面积.解解:由得交点机动目录上页下页返回结束第4页例例2.计算抛物线与直线面积.解解:由得

2、交点所围图形为简便计算,选取 y 作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束第5页例例3.求椭圆解解:利用对称性,所围图形面积.有利用椭圆参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束第6页普通地,当曲边梯形曲边由参数方程给出时,按顺时针方向要求起点和终点参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束第7页例例4.求由摆线一拱与 x 轴所围平面图形面积.解解:机动目录上页下页返回结束第8页2.极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成曲边扇形面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积近似值为所求曲边扇形面积为机动目

3、录上页下页返回结束第9页对应从 0 变例例5.计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束到 2 所围图形面积.第10页例例6.计算心形线所围图形面积.解解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束第11页例例7.计算心形线与圆所围图形面积.解解:利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束第13页例例8.求双纽线所围图形面积.解解:利用对称性,则所求面积为思索思索:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分面积.机动目录上页下页返回结束答案答案:第14页二、

4、平面曲线弧长二、平面曲线弧长定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段最大边长 0 时,折线长度趋向于一个确定极限,此极限为曲线弧 AB 弧长,即并称此曲线弧为可求长.定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长.(证实略)机动目录上页下页返回结束则称第15页(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):所以所求弧长(P168)机动目录上页下页返回结束第16页(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):所以所求弧长机动目录上页下页返回结束第17页(3)曲线弧由极坐标方程给出:所以所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)机动目录上页下页返回

5、结束第18页例例9.两根电线杆之间电线,因为其本身重量,成悬链线.求这一段弧长.解解:机动目录上页下页返回结束下垂悬链线方程为第19页例例10.求连续曲线段解解:弧长.机动目录上页下页返回结束第20页例例11.计算摆线一拱弧长.解解:机动目录上页下页返回结束第21页例例12.求阿基米德螺线对应于 02一段弧长.解解:(P349 公式39)小结目录上页下页返回结束第22页三三、已知平行截面面积函数立体体积、已知平行截面面积函数立体体积设所给立体垂直于x 轴截面面积为A(x),则对应于小区间体积元素为所以所求立体体积为机动目录上页下页返回

6、结束上连续,第23页尤其,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成立体体积时,有机动目录上页下页返回结束第24页例例13.计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成椭球体体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束第25页方法方法2 利用椭圆参数方程则尤其当b=a 时,就得半径为a 球体体积机动目录上页下页返回结束第26页例例14.计算摆线一拱与 y0所围成图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成立体体积.解解:绕 x 轴旋转而成体积为利用对称性利用对称性机动目录上页下页返回

7、结束第27页绕 y 轴旋转而成体积为注意上下限!注注注目录上页下页返回结束第28页柱壳体积说明说明:柱面面积机动目录上页下页返回结束第30页偶函数奇奇函数机动目录上页下页返回结束第31页例例15.设在 x0 时为连续非负函数,且形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证实:证证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故第32页例例16.一平面经过半径为R 圆柱体底圆中心,并与底面交成角,解解:如图所表示取坐标系,则圆方程为垂直于x 轴截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体体积.机动目录上页下页返回结束第3

8、3页思索思索:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?怎样用定积分表示体积?提醒提醒:机动目录上页下页返回结束第34页垂直 x 轴截面是椭圆例例17.计算由曲面所围立体(椭球体)解解:它面积为所以椭球体体积为尤其当 a=b=c 时就是球体体积.机动目录上页下页返回结束体积.第35页例例18.求曲线与 x 轴围成封闭图形绕直线 y3 旋转得旋转体体积.(94 考研)解解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限机动目录上页下页返回结束第36页四、旋转体侧面积四、旋转体侧面积(补充补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到旋转曲

9、面侧面积.取侧面积元素:机动目录上页下页返回结束第37页侧面积元素线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体不是薄片侧面积S 机动目录上页下页返回结束注意注意:侧面积为第38页例例19.计算圆x 轴旋转一周所得球台侧面积 S.解解:对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球表面积公式机动目录上页下页返回结束第39页例例20.求由星形线一周所得旋转体表面积 S.解解:利用对称性绕 x 轴旋转星形线目录上页下页返回结束第40页内容小结内容小结1.平面图形面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线弧长曲线方程参数方程方程极

10、坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小机动目录上页下页返回结束第42页3.已知平行截面面面积函数立体体积旋转体体积绕 x 轴:4.旋转体侧面积侧面积元素为(注意在不一样坐标系下 ds 表示式)绕 y 轴:(柱壳法)机动目录上页下页返回结束第43页思索与练习思索与练习1.用定积分表示图中阴影部分面积 A 及边界长 s.提醒提醒:交点为弧线段部分直线段部分机动目录上页下页返回结束以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.第44页2.试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积:提醒提

11、醒:方法方法1 利用对称性机动目录上页下页返回结束旋转而成环体体积 V 及表面积 S.第45页方法方法2 用柱壳法说明说明:上式可变形为机动目录上页下页返回结束上上半圆为下下此式反应了环体微元另一个取法(如图所表示).第46页求侧面积求侧面积:利用对称性机动目录上页下页返回结束上式也可写成上上半圆为下下它也反应了环面微元另一个取法.第47页第三节目录上页下页返回结束补充题补充题:设有曲线过原点作其切线,求由此曲线、切线及 x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得到旋转体表面积.第48页备用题备用题解：解：1.求曲线所围图形面积.显然面积为同理其它.机动目录上页下页返回结束又故在区域第49页分析曲线特点2.解解:与 x 轴所围面积由图形对称性,也合于所求.为何值才能使与 x 轴围成面积等机动目录上页下页返回结束故第50页3.求曲线图形公共部分面积.解解：与所围成得所围区域面积为机动目录上页下页返回结束第51页设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体体积.提醒：提醒：选 x 为积分变量.旋转体体积为4.机动目录上页下页返回结束若选 y 为积分变量,则第52页

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