六重积分的应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

六、重积分应用第二十一章第二十一章 重积分重积分第1页一、区域连通性分类 设设D为平面区域为平面区域,假如假如D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成部分都属于围成部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,不然称为复连通区域不然称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD第2页一、立体体积二重积分几何意义二重积分几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积第3页例例1 计算由曲面计算由曲面及及 xoy 面所围立体面所围立体体积。体积。解解设置体在设置体在第一卦限上第一卦限上体积为体积为 V1。由立体对称性，所求立由立体对称性，所求立体体积体体积 V=4V1。立体在第一卦限部分能够看立体在第一卦限部分能够看成是一个曲顶柱体，它曲成是一个曲顶柱体，它曲顶为顶为第4页立体在第一卦限部分能够看立体在第一卦限部分能够看成是一个曲顶柱体，它曲成是一个曲顶柱体，它曲顶为顶为它底为它底为于是，于是，第5页所求立体体积所求立体体积第6页例例2 求两个圆柱面求两个圆柱面所围所围立体在第一卦限部分体积。立体在第一卦限部分体积。解解所求立体所求立体能够看成能够看成是一个曲是一个曲顶柱体，顶柱体，它曲顶为它曲顶为它底为它底为第7页它底为它底为它曲顶为它曲顶为于是，立体体积为于是，立体体积为第8页例例3 求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得（含在圆柱面内部分）立体体积。所截得（含在圆柱面内部分）立体体积。解解显然，所求立体应在第一、显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分体积而且，四个卦限部分体积是对称相等。是对称相等。所以，若设第一卦限部分体所以，若设第一卦限部分体积为积为 V1，则所求立体体积为，则所求立体体积为第9页V1 能够看成是一个曲顶柱体，能够看成是一个曲顶柱体，它曲顶为它曲顶为它底它底D 由半圆周由半圆周及及 x 轴围成。轴围成。用极坐标系表示用极坐标系表示于是，于是，第10页所求立体体积所求立体体积第11页二、曲面面积设曲面方程为：设曲面方程为：如图，如图，第12页-曲面曲面 S 面积元素面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：第13页设曲面方程为：设曲面方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面方程为：设曲面方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得第14页解解设第一卦限部分面积为设第一卦限部分面积为 A1，则由对称性，所求面积为则由对称性，所求面积为第15页极坐标系下表示：极坐标系下表示：第16页例例5 求两个圆柱面求两个圆柱面所围所围立体表面在第一卦限部分面积立体表面在第一卦限部分面积 A。解解所求表面分成所求表面分成和和，如图。，如图。第一块（第一块（）在圆柱面）在圆柱面第一块（第一块（）在圆柱面）在圆柱面由对称性，这两块曲面面积相等，即由对称性，这两块曲面面积相等，即A=A。所以，所以，A=2 A。在在 A上，曲面方程为上，曲面方程为第17页A在在 A上，曲面方程为上，曲面方程为所以，所以，A=2 A。第18页AA第19页A于是所求面积，于是所求面积，A=2 A第20页几何应用：立体体积、曲面面积几何应用：立体体积、曲面面积物理应用：重心、对质点引力物理应用：重心、对质点引力（略）（略）（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）三、小结第21页