线性代数研究型综合型应用型题目.doc

《线性代数与空间解析几何》
研究型、应用型、综合型题目
1.一般的数字可看作零维数组，向量可看作一维数组，矩阵可看作二维数组，那么三维数组能作为一个代数概念来看待吗？其相应运算如何定义？变换如何执行？有何应用？
提醒：可参照矩阵的运算作相应的定义。

2. 类似于行列式的定义我们定义新的代数概念如下：
一阶：
二阶：
三阶：
………………………………
类似地可对n阶的情况给出定义。请问这一个新的代数概念，其性质如何？有何应用？
提醒：可类比行列式的性质作相应的讨论。

3. 设方阵定义其中为元素在矩阵A中的余子式，试问有什么性质？
提醒：可类比随着矩阵作出讨论。

4.任意给定一个2阶实矩阵, 能否找出所有与A可互换相乘的矩阵? 假如给定的矩阵是实对称矩阵, 结论如何?
提醒：（1）根据可互换条件AB=BA作讨论；
（2）考虑A的特性值与相似对角化, 将一般矩阵问题转化为对角矩阵来讨论.

5.设n阶矩阵A的各行各列都只有一个元素是1或-1，其余均为0。是否存在正整数k，使得Ak=I ？若是，请给出你的证明；若否，请举出反例。
提醒：先观测二、三阶矩阵的情况；对一般矩阵，可考察A2，A3 …的元素特点，找到与A的关系。

6. 矩阵乘法是线性代数中的基本算法之一。对两个n阶矩阵其乘积计算往往需要次乘法和次加法，很长时间以来人们对此深信不疑。然而，1969 年Strassen通过对矩阵乘积元素之间的关系分析，构造出了一种只需次乘法的矩阵相乘运算。其原理是一方面将阶的矩阵和进行2X2分块：

然后采用如下7次矩阵乘法和18次矩阵加法：
，；，；
，；.

在上述计算中，对各子块递归使用该Strassen算法，最后获得矩阵。请仔细分析一下上述过程，获得新型的矩阵乘法计算方案，使得计算总量更少。
提醒：运用分块和递归技术，并对数据进行合理划分。

7. 设A是n×n矩阵，则A可逆的充足必要条件是存在常数项不为0的多项式g(x)，使得g(A)=0。
提醒：运用A的特性多项式证明。

8.矩阵的Kronecker积是一种新的矩阵运算，在信号传输预解决，自动控制，规划理论，图像解决等工程领域中有着广泛的应用。其定义如下：
定义：设则

称为矩阵与的Kronecker积（或称直积，张量积）。
试证明Kronecker积满足下面的几个性质：
1） ；;
2） ;
3） ;
4） ;
5） ;
提醒：根据Kronecker积的定义和分块矩阵的乘法证明。

9.设阶矩阵，其中表达的第i列。定义算符

试通过Kronecker积的定义和该算符将矩阵方程转换成线性方程组的形式，其中，
提醒：运用Kronecker积和向量化算符将原方程转换为：

从而将原矩阵方程转换为线性方程组，方便求解。

10.对于同型矩阵，定义一种乘法运算，使得任意都有

并按照第一题的形式尽也许给出这种矩阵运算的性质。
提醒：验证Hadamard积互换律，分派率，结合律，推导其转置运算，逆运算等性质。

11.(Cayley-Hamilton定理) 若是的特性值，证明

若可逆，通过该式写出的表达式。
提醒：运用随着矩阵的性质及的特性多项式。

12. 行随机矩阵是指矩阵的行和均等于1的非负矩阵，列随机矩阵是指列和等于1的非负矩阵，而同时满足这两个条件的非负矩阵就是双随机矩阵。请尝试给出随机矩阵的性质和应用。

13.（LU分解）设A是矩阵，我们可以通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵。由此证明：A可以分解为（或）。其中L是一个对角线元素全为1的下三角矩阵，U是阶梯形矩阵，P是一个m阶置换矩阵（单位矩阵通过若干次行互换得到的矩阵）。
提醒：（1）运用矩阵初等变换与初等矩阵的关系；
（2）对矩阵的阶数用数学归纳法。

14.运用矩阵的LU分解给出线性方程组的较为简便的求解方法。设A为4阶方阵，且，请给出方程组解的公式。
提醒 化为两个容易求解的（三角形）方程组，逐层代入求解。

15.求所有满足的三阶方阵。
提醒 易得不等式，再分情况讨论。

16.设A是矩阵，则以A的列向量拟定的平行四边形的面积等于|detA|；设A是矩阵，则以A的列向量拟定的平行六面体的体积等于|detA|。
提醒 先讨论对角形行列式，一般情况化为对角形。

17.行列式的定义有两种常用的方式：一种用排列的“逆序数”方式，一种用按行展开的“归纳法”方式，请探求两种方式的等价性，并给出你的证明。
提醒：可对行列式的阶数用归纳法。

18.关于矩阵行列式的计算有很多常用方法，例如：化三角形法、按行（列）展开法、递推法、拆元法以及运用线性代数方程组的解、运用方阵特性值与行列式的关系等等。请试着对其归纳总结，举例说明各种方法的合用情况并比较其优劣。

19. 已知：

(2)若，其中互不相等，令，则，。
试运用上面两个结果推导下面行列式的计算公式：
.
提醒：

20.设(1)由数生成的范德蒙矩阵记为，即
；
(2)设,令，，则矩阵称为由实数生成的等幂和矩阵. 试证明：
(1)
(2)实数仅有个互异的充要条件是
提醒：（1）运用矩阵乘积的定义容易得到证明；
（2）运用结果（1）以及即可得到证明。

21. 矩阵分块是解决阶数较高的矩阵时常用的方法。我们把各子块当作数同样解决，从而把高阶矩阵转换为了较低阶的矩阵，以问题得到了简化。分块矩阵的初等变换在线性代数中有非常广泛的应用。请参照教材中对一般矩阵初变换的概念给出分块矩阵初等变换的定义，并讨论分块矩阵的初等变换与初等矩阵的关系。

22. 运用分块矩阵初等变换的性质，证明下列等式：
（1） （2）.
提醒：运用初等变换与初等矩阵的关系，再取行列式。

23.运用分块矩阵的初等变换，证明下列等式：
（1）；
（2）；
（3）.

24.设为阶分块矩阵，可逆, , 证明：
（1）;
（2）.
提醒 用初等变换把化为块对角矩阵,再计算。

25. 设为阶方阵, , 且, 若, 求证: .
提醒：考察是否为0。

26. 我们知道，若阶方阵满足，则。试猜想，若阶方阵满足，则会满足如何的不等式？请给出你的证明。
提醒 对矩阵的个数作归纳。

27. 向量的数量积(内积)和向量积(外积)是线性代数中的重要概念，在理论与应用上都有及其重要的意义。教材中也给出了混合积的计算。请结合这些概念，给出三向量外积的计算公式，并试从几何空间中对其意义进行解释。
28. 设空间两条异面直线L1，L2分别为：
，.
L1与L2的距离的计算可以有多种不同的方法。
(1) 试给出空间两条异面直线距离公式的各种形式及简略证明；
（2）结合《微积分》中所学的函数最值问题，以及《线性代数》中所学的知识，如Crammer法则等，给出其它的计算方法。
提醒：可将该距离视为某平行四边形的高或某平行六面体的高，也可将该距离视为满足一定条件的点到直线的距离或两点间的距离。

29. 线性方程组当时方程组无解。若需求出方程组的一个近似解，其最佳的方法就是求x使Ax尽也许的接近b，即使尽也许小（最优解）。试给出你的一个求解方法，并给出证明。
提醒： (1) 在欧氏空间中, 考虑取得最小值的等价叙述;
(2) 考虑方程组与之间的关系.

30.矩阵的秩与向量组的秩有何异同？试讨论它们的区别与联系。
提醒：从两者的定义与性质方面作考虑。

31. 矩阵的等价与向量组的等价有何异同？试讨论它们的区别与联系。
提醒：同上题。

32.设，根据特性值定义证明：的特性值均满足对某个k： 即 其中
提醒：对进行不等式的放缩。

33. 设A是矩阵, B是矩阵，试讨论AB的特性值与BA的特性值的关系。
提醒：（1）从两矩阵的特性多项式是否相等作考虑；
（2）从两矩阵是否相似作考虑。

34. 试证：矩阵任一特性值的几何重数不超过其代数重数。
提醒：将相应的特性向量扩展为空间的一组基，以该组基为矩阵对原矩阵作相似变换，再运用相似矩阵有相同的特性多项式可得。

35. 试证：实对称矩阵任一特性值的几何重数都等于其代数重数。
提醒：同上题；运用对称性。

36.设矩阵A与B相似或协议，你能用矩阵的初等变换给出由A计算B的方法吗？若能请给出你的有效方法。
提醒：运用矩阵相似或协议的定义结合初等变换与初等矩阵的关系作思考。

37.方阵在无零特性值时，因而为满秩矩阵，即。但已知零特性值的代数重数，却无法运用它拟定矩阵的秩，或在已知矩阵秩时也无法拟定零特性值的代数重数。试就矩阵零特性值代数重数与矩阵的秩之间的关系做出些讨论。
提醒：（1）从矩阵的秩与线性方程组解的关系方面做些讨论；
（2）根据矩阵的特性多项式的展开式作些讨论。

38.
提醒：探求A的特性值与特性向量。

39.
提醒：考察A的特性值以及相应的线性无关特性向量的个数。

40. 设A为正定矩阵，则
（1），这里是A的n-1阶顺序主子式；
（2）
提醒：设，易得。

41. 设阶矩阵正定, 证明：
(1) ,,正定;
(2) , 正定.
提醒：（1）运用正定矩阵的定义；
（2）用协议变换把化为块对角矩阵, 再讨论.

42.设A，B，C为三角形的三内角，则对任意实数x，y，z，有

提醒：运用二次型的半正定性。

43.设半正定矩阵，其中为方阵，则。
提醒：作协议变换将A化为块对角形。

44.设单位圆的坐标向量为, 为阶正定矩阵，且, 则认为坐标的点构成什么图形? 写出其标准方程。
提醒：作正交变换化为标准型。

45. (1)设是矩阵,且，, 列举矩阵的性质;
(2) 令,,,求向量,并分析向量与的位置关系;
(3) 令,,,求向量,并分析向量与的位置关系;
(4) 对于任意为向量,讨论向量与的位置关系。
提醒：由正交变换的几何意义作讨论。

46. 设是n阶可逆矩阵，则的列向量组可用Schmidt正交化方法化为与之等价的单位正交向量组。有此方法可得到矩阵的正交分解，即，其中是正交矩阵， 是上三角矩阵。
（1）请给出矩阵正交分解的严格证明；
（2）运用正交分解给出计算的方法，并用C语言编程予以实现.；分析这一算法与通常的初等行变换求逆算法的优劣。

47. 我们知道，在二维空间中，旋转可以用一个单一的角定义。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转角的矩阵是。能否类似考察三维向量空间中的旋转矩阵，并给出其在曲线、曲面理论中的应用。

48. 旋转曲面是平常生活、工程技术中常见的图形。它可以看作由一条空间曲线（称为旋转曲面的母线）绕某一定直线（称为旋转曲面的轴）旋转一周而得到。课堂教学中，仅给出了坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得到的旋转曲面，未涉及到更一般的空间曲线绕空间直线旋转的情况。对旋转曲面而言，母线上任一点的轨迹为中心在轴上的圆，它所在的平面与轴垂直。这样，旋转曲面又可看作是“中心在轴上移动且与母线相交的平行圆所生成的”，能否以此为思绪，根据平行圆的方程给出一般的旋转曲面方程的求法。
提醒：运用上面平行圆的思想以及空间空间曲线的方程、与轴垂直的条件列一个方程组，由方程组化简解得旋转曲面方程。

49.设100只昆虫分布在有四个格子的密闭盒子内，格子间有如图所示通道。每个格子的60%昆虫通过通道每分钟离开本来的格子，均匀的进入和它相连的格子。若1分钟后四个格子昆虫数量分别为12, 25,26和37，初始状态各个格子多少只？

提醒：建立线性方程组求解。

50.考察氨水氧化为二氧化碳的化学反映，反映式为:

求出表述此系统所需的最少独立化学反映式.
提醒：运用线性相关性划去多余的方程.

51.在风洞实验中，射弹的推动力取决于在不同的速度下测量到的空气阻力：
速度t（100英尺／秒） 0 2 4 6 8 10
阻力p（100磅） 0 2.90 14.8 39.6 74.3 119
求这些数据的插值多项式,并且估计射弹以750英尺／秒的速度飞行时的推动力. 使用
假如尝试使用次数小于5的多项式将会出现什么问题?试用3次多项式举例说明.
提醒：射弹的推动力与空气阻力相等。

•
•
•
•
600

500
400
100
300
300
N
D
C
B
A
N
x5
x4
x3
x2
x1
South街
Pratt街
Lombard街
Calvert街
52.下图中的交通网络给出了下午一两点钟，某城市一些单行道的交通流量（以每小时的汽车数量来度量）。试拟定网络的流量模式。

图1-2

提醒：考察每个街口的交通流量建立线性方程组。

53.一天文学家要拟定一颗小行星绕太阳运营的轨道, 他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系, 在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m）. 在5个不同的时间对小行星作了6次观测, 测得轨道上6个点的坐标数据如下表:

x1
x2
x3
x4
x5
X6
x坐标
5.764
6.286
6.759
7.168
7.408
7.714

y1
y2
y3
y4
y5
y5
y坐标
0.648
1.202
1.823
2.526
3.360
4.162
由开普勒第一定律知, 小行星轨道为一椭圆. 请建立小行星轨道的方程：
，
并拟定椭圆的焦点坐标, 长轴, 短轴的长度.
提醒：方程组无严格解，用题的方法求最优解

54.一种昆虫按周龄分为三组,第一组为幼虫(0-2周龄)不产卵；第二组为成虫(2-4周龄)，每个成虫在两周内平均产卵100个；第三组(4-6周龄)每个成虫在两周内平均产卵150个。假设每个卵的成活率为0.09；第一、二组的昆虫顺利进入下一成虫组的存活率分别为0.1与0.2。六周后昆虫自然死亡。
（1）假设开始时每个周龄的昆虫数相同，计算2周、4周、6周后三组昆虫数的分布。
（2）讨论三组昆虫数的变化趋势，各周龄组的昆虫数目变化的比例是否有一个稳定值？
（3）假如有一种除虫剂可以控制昆虫的数目，使得各组昆虫的存活率减半，问这种除虫剂是否有效。
提醒 以两周为一个时间段，建立相邻两时间段不同组类昆虫数量的关系式，求矩阵高次方幂时用相似对角化。

55.伴性基因是一种位于染色体上的基因.例如，红绿色盲基因是一种隐性的伴性基因.为给出一个描述给定的人群中色盲的数学模型，需要将人群分为两类――男性和女性.令,分别为男性与女性中有色盲基因的比例，由于男性从母亲处获得一个染色体,且不从父亲处获得染色体,所以下一代的男性中色盲的比例将和上一代的女性中具有隐性色盲基因的比例相同.由于女性从双亲处分别得到一个染色体,所以下一代女性中具有隐形基因的比例将为和的平均值,写出第代男性和女性中色盲的比例, 并分析变化趋势.
提醒：先建立相邻两代男、女色盲比例的关系式，再作讨论。求矩阵方幂时用相似对角化。

56. 出租汽车问题：某一大型城市的出租汽车公司为了方便司机在城东和城西设了A,B两营业部。假如周一A营业部有120辆出租汽车，而B营业部有150辆。记录数据表白，平均天天A营业部汽车的10%被开到B营业部 ,B营业部汽车的12%被开到了A营业部。假设所有汽车正常，试寻找一种方案使天天汽车正常流动而A营业部和B营业部的汽车数量不增不减。
提醒：与上面两题同类型。

57.某君举步上高楼,每跨一次或上一个台阶或上两个台阶,若要上个台阶,问有多少种不同的方式?
提醒：将数列的变化规律用矩阵乘法表达,可得结论.

58. 矩阵的相似对角化可帮助我们求矩阵的方幂运算。矩阵的方幂运算在很多线性递归问题中都会涉及到。例如：斐波那契数列
，，.（n1）
（1）试求二阶方阵，使得

（2）根据（1）中结果得到斐波那契数列通项公式。
（3）根据以上思想，试求解满足

且的数列和的通项公式。

59 .在上述问题（2）中若系数矩阵不能进行相似对角化，即矩阵的特性值出现了代数重数和几何重数不等的现象，那么能否对这类矩阵给出新的“对角”相似的定义？使其尽量能为求解型问题带来方便。

60. 在行列式游戏中, 游戏者1在一个空的矩阵中填入一个1, 游戏者0在某一个空位置中填入一个0, 游戏如此继续, 直到矩阵填入了5个1和4个0. 若此行列式值为0, 则游戏者0获胜, 否则游戏者1获胜. 有没有一种策略保证某一个游戏者一定获胜?
提醒: 先用一些具体尝试来拟定也许的获胜方, 运用对称性.