1、第第14章章 弹弹簧簧 第第7章章 动量矩定理动量矩定理 7.1 7.1 质点系动量矩定理与动量矩守恒定律质点系动量矩定理与动量矩守恒定律质点系动量矩定理与动量矩守恒定律质点系动量矩定理与动量矩守恒定律 7.1.1 7.1.1 质点系动量矩质点系动量矩质点系动量矩质点系动量矩 7.1.2 7.1.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理质点系动量矩定理质点系动量矩定理 7.1.3 7.1.3 动量矩守恒定律动量矩守恒定律动量矩守恒定律动量矩守恒定律 7.1.4 7.1.4 动量矩定理与动量矩守恒定律应用举例动量矩定理与动量矩守恒定律应用举例动量矩定理与动量矩守恒定律应用举例动量矩定理与动量矩守恒定
2、律应用举例 7.2 7.2 刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动 7.2.1 7.2.1 刚体对轴转动惯量刚体对轴转动惯量刚体对轴转动惯量刚体对轴转动惯量 7.2.2 7.2.2 定轴转动刚体动量矩定轴转动刚体动量矩定轴转动刚体动量矩定轴转动刚体动量矩 7.2.3 7.2.3 定轴转动刚体运动微分方程定轴转动刚体运动微分方程定轴转动刚体运动微分方程定轴转动刚体运动微分方程 7.3 相对于质心动量矩定理及刚体平面运动微相对于质心动量矩定理及刚体平面运动微 分方分方程程 7.3.1 7.3.1 相对于质心动量矩定理相对于质心动量矩定理相对于质心动量矩定理相对于质心动量矩定理 7.3.2
3、 7.3.2 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 7.3.3 7.3.3 应用举例应用举例应用举例应用举例 7.3.4 结论与讨论结论与讨论 本章习题本章习题本章习题本章习题第1页 7.1.1 7.1.1 质点系动量矩质点系动量矩质点系动量矩质点系动量矩 假定质点系有n个质点,任取一固定点O.设第i个质点质量为m,速度为v，则质点i动量为mv,对点O矢径为r。如图7.1所表示，质点i对O点动量矩L,定义为：则质点系对O点动量矩L为 (7-1)动量对于动量矩在经过该点任一 轴上投影等于动量对该轴动量矩，即 (7-2)式中 动量矩单位为 7.1 7.1
4、 质点系动量矩定理与动量矩守恒定律质点系动量矩定理与动量矩守恒定律质点系动量矩定理与动量矩守恒定律质点系动量矩定理与动量矩守恒定律第2页 7.1.2 7.1.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理质点系动量矩定理质点系动量矩定理已知任一质点动量定理微分式 ,在两边分别用矢径r叉乘得 因为则将式(7-3)求和得(7-4)(7-3)因为式(7-4)为一矢量表示式，能够向任意轴进行投影，得到投影式。即质点系对某一固定点(轴)动量矩对时间一阶导数，等于作用在质点系上全部外力(因为内力成对出现，所以这里无须考虑内力作用)对同一点(轴)矩矢量和。这就是质点系动量矩定理。第3页 在静力学中，已经介绍了力矩平衡
5、概念，作为矢量动量矩是否也含有这么特征呢？回答是必定。将动量矩定理表示式(7-4)经变换得 (7-5)即质点系对某一固定点(轴)动量矩在任一时间内增量，等于作用在质点系上全部外力在同一时间内对同一点(轴)冲量矩矢量和。和动量守恒定律一样，对方程(7-4)，假如 ，则有 也就是说，假如作用在质点系上全部外力对某一固定点(轴)力矩平衡，则质点系对该点(轴)动量矩保持不变。这就是质点系动量矩守恒定律。7.1.3 7.1.3 动量矩守恒定律动量矩守恒定律动量矩守恒定律动量矩守恒定律第4页 【例7.1】如图7.2所表示，试用动量矩定理导出单摆(数学摆)运动微分方程。解：把单摆看成一个在圆弧上运动质点A，
6、设其质量为m，摆线长l。又设在任一瞬时质点A含有速度v，摆线OA与铅垂线夹角是 。经过悬点O而垂直于运动平面固定轴 z 作为矩轴，对此轴应用动量矩定理有 因为动量矩和力矩分别为 从而可得 化简即得单摆运动微分方程 7.1.4 7.1.4 动量矩定理与动量矩守恒定律应用举例动量矩定理与动量矩守恒定律应用举例动量矩定理与动量矩守恒定律应用举例动量矩定理与动量矩守恒定律应用举例第5页 【例7.2】如图7.3所表示，无外力矩作用半径为R，质量为m0圆柱形自旋卫星绕对称轴旋转，质量均为m两个质点沿径向对称地向外伸展，与旋转轴距离x不停增大。连系卫星与质点变长度杆质量不计，设质点自卫星表面出发时卫星初始角
7、速度为 。试计算卫星自旋角速度 改变规律。解：卫星系统对旋转轴动量矩L为 令 ，为动量矩初始值。因为卫星系统不受外力矩作用，依据 动量矩守恒定律得 解得 由上面结果能够看出，自旋卫星角速度伴随质点向外移动而不停降低 第6页 刚体转动惯量是刚体转动惯性量度，它等于刚体内各质点质量与质点到定轴z垂直距离平方乘积之和，转动惯量用字母J表示即 由式(7-6)能够看出，转动惯量国际单位制中单位为；刚体转动惯量大小不但与其质量大小相关，而且与刚体内质量分布情况相关。在工程中，往往要依据工程实际需要确定某个工件或零件转动惯量，如蛤蟆夯、冲床、粉碎机械和手机振动等装置偏心轮。只有了解了这些装置转动惯量，才能对
8、这一工作机械有更深入了解和把握。由此可见，怎样测定刚体转动惯量就是一件非常主要工作。在工程实际当中，普通采取计算方法和试验方法确定刚体对轴转动惯量。7.2 7.2 刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动 7.2.1 7.2.1 刚体对轴转动惯量刚体对轴转动惯量刚体对轴转动惯量刚体对轴转动惯量 (7-6)第7页 （1）如图7.4所表示，均质细直杆对z轴转动惯量。设杆长为l，质量为m，取杆上一微段 ，则此杆对z轴转动惯量为 (2)如图7.5所表示，均质细圆环对过圆心z轴转动惯量。设圆环半径为R，质量为m，因为圆环到其中心轴距离都等于半径R，所以圆环对于中心轴z转动惯量为 1.简单形状刚体
9、转动惯量计算第8页(3)如图7.6所表示，均质薄圆盘对过圆心z轴转动惯量。设薄圆盘半径为R，质量为m，如图所表示将薄圆盘分为无数同心圆环，则薄圆盘对中心轴z转动惯量为 第9页 仔细观察物体转动惯量能够看出，对于均质物体，其转动惯量与质量m比值仅与物体几何形状和尺寸相关，如均质细直杆、细圆环、薄圆盘比值分别为 由此可见，质量均匀几何形状相同而材料不一样物体，其转动 惯量与质量m比值是相同。令 (7-7)式中，称为定轴转动刚体回转半径(或惯性半径)。将式(7-7)经变换得 (7-8)即物体转动惯量等于该物体质量与惯性半径平方乘积。在表7-1中，已将简单几何形状物体转动惯量和惯性半径给出，以供查询
10、2.定轴转动刚体回转半径(或惯性半径)第10页表7-1 常见均质物体转动惯量和惯性半径第11页第12页第13页第14页 定理定理 刚体对于任一轴z转动惯量，等于刚体对于经过质心并与该轴平行轴转动惯量，加上刚体质量m与两轴之间距离d平方乘积，即 3.平行轴定理(7-9)第15页 由质点系动量矩公式 ,对定轴转动刚体有 ，那么定轴转动刚体动量矩为 即 定轴转动刚体动量矩等于刚体对定轴转动惯量与其转动角速度乘积 7.2.2 7.2.2 定轴转动刚体动量矩定轴转动刚体动量矩定轴转动刚体动量矩定轴转动刚体动量矩第16页 下面介绍质点系动量矩定理应用于绕定轴转动刚体情形。如图7.7所表示，设刚体上作用有主
11、动力系 ，,，和约束反力FN1，FN2。已知刚体对z轴转动惯量为 ，转动角速度为 ，则刚体对z轴动量矩为 。若不计轴承摩擦，而又轴承约束反力FN1、FN2对z轴力矩为零 依据质点系对轴动量矩定理有 即 因为，则式(7-11)也可写为 或 式(7-12)称为绕定轴转动刚体运动微分方程，即刚体对定轴转动惯量与角加速度乘积，等于作用在刚体上主动力对该轴矩代数和。7.2.3 7.2.3 定轴转动刚体运动微分方程定轴转动刚体运动微分方程定轴转动刚体运动微分方程定轴转动刚体运动微分方程(7-12)第17页由刚体绕定轴运动微分方程可知：(1)假如作用在刚体上主动力系 对转动轴矩代数和为零，则刚体作匀速转动。
12、(2)假如作用在刚体上主动力系 对转动轴矩代数和为一恒量，则刚体作匀加速转动。(3)在某一时刻，刚体转动惯量越大，转动角加速度越小，反之，其转动惯量越小，转动角加速度越大。这就是说，刚体转动惯量大小表现了使刚体转动状态改变难易程度。所以，转动惯量是刚体转动惯性量度。第18页 【例7.3】如图7.8所表示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮皮带拉力为F1和F2。求滑轮角加速度 解：依据刚体绕定轴转动微分方程有 于是得 又此可见，只有当定滑轮为匀速转动(包含静止)或虽非匀速转动，但可忽略滑轮转动惯量时，跨过定滑轮皮带拉力才是相等。第19页 【例7.4】如图7.9所表示，两鼓轮固连在一起，其总
13、质量是 m，对水平转轴 O转动惯量是JO；鼓轮半径分别为r1和r2。绳端悬挂重物A和B质量分别是m1和m2，且m1 m2，绳质量不计。试求鼓轮角加速度。解：取鼓轮、重物A、B为研究对象。对鼓轮 转轴 z(垂直于图面，指向读者)应用动量矩定理，有 系统动量矩由三部分组成，等于 考虑到 ，则得 外力主矩仅由重力m1g和m2g产生，有 第20页将表示式和代入方程，即得从而求出鼓轮角加速度方向为逆时针方向。第21页【例7.5】如图7.10(a)所表示，质量为m半径为r滑轮(可视作均质圆盘)上绕有软绳，将绳一端固定于点A而令滑轮自由下落。不计绳子质量，求轮心C加速度和绳子拉力。解：如图7.10(b)所表
14、示，取滑轮和软绳组成系统为研究对象，画出受力图。滑轮运动可看作沿过点A铅垂线向下做纯滚动，滚动角速度 ，滚动角加速度 。应用质心运动定理沿铅垂轴投影，得 第22页在列写第二个方程时，能够任意选取以下方法中一个：(1)对固定轴Az动量矩定理 将 代入上式得 再代入式解得(2)对平移轴Cz动量矩定理 即 联立求解式，式，得到第23页 前面介绍了动量矩定理应用于相对于惯性参考系为固定点或轴，而对于普通动点或动轴，利用动量矩定理处理则十分复杂。然而，相对于质点系质心或经过质心动轴，动量矩定理则依然保持着简单形式。如图7.11所表示，质点系质心为C，O为一固定点，则质点系对于定点O动量矩为 对于任一质点
15、，由图能够看出 则有 显然 于是得 (7-13)7.3 相对于质心动量矩定理及刚体平面运动微相对于质心动量矩定理及刚体平面运动微 分方程分方程 7.3.1 7.3.1 相对于质心动量矩定理相对于质心动量矩定理相对于质心动量矩定理相对于质心动量矩定理第24页 式(7-13)表明，质点系对于任一点动量矩等于质点系动量对该点动量矩再加上质点系相对于质心动量矩L。将式(7-13)两边对时间t求导得 (7-14)将式(7-14)右边展开化简得 因为 于是 (7-15)式(7-15)表明：质点系相对于质心动量矩对时间一阶导数，等于作用于质点系外力(在此内力不起作用)对质心主矩，这就是质点系相对于质心动量矩
16、定理；该定理在形式上与质点系相对于固定点动量矩定理完全一样；质点系相对于质心动量矩定理，对于质心静止或运动情形都适用。第25页 由刚体运动学可知，要确定平面运动刚体位置，可用一基点和绕基点转动角度来确定。即刚体平面运动能够分解为随质心平动和绕质心转动。刚体对质心动量矩为 式中，为刚体对经过质心且与运动平面垂直轴转动惯量；为刚体转动角速度。由质心运动定理和相对于质心动量矩定理 式中，m为刚体质量；为质心加速度，为刚体角加速度。7.3.2 7.3.2 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程(7-16)第26页 则式(7-16)又可写为 (7-17)式(7-
17、17)称为刚体平面运动微分方程。应用时通常取 投影式。第27页 【例7.6】如图7.12所表示，长度为l，质量为m1均质杆OA与半径为R，质量为m2均质圆盘B在A处铰接，铰链O，A均光滑。初始时，杆OA有偏角0，轮B有角速度 (逆时针向)。求系统在重力作用下运动方程。解：(1)考虑圆盘B，依据对质心动量矩定理 (2)考虑杆轮系统，应用对固定点O动量矩定理，计算轮B动量矩时使用式 得 7.3.3 7.3.3 应用举例应用举例应用举例应用举例第28页 对上式积分代入积分常数得，微幅振动时运动规律为 (3)运动特征：圆盘转动不影响系统摆动，而系统摆动也不影响圆盘转动。【例7.7】如图7.13(a)所
18、表示，匀质半圆柱体质心C与圆心O1距离为e，柱体半径为R，质量为m，它可在固定平面上做无滑动滚动。求偏离平衡位置后，柱体运动微分方程和微小摆动周期。第29页解：如图7.13(b)所表示，选取柱体平衡位置与地面接触点O为原点，作定坐标系Oxy，柱体偏离平衡位置滚过 角后，质心C坐标为 对t求二阶导数得 受力如图7.13(a)所表示。注意静滑动摩擦力F 方向与A点滑动趋势相反，大小应满足物理条件 圆柱体平面运动微分方程为第30页 令 ，是柱体对质心C 回转半径。这是一组非线性微分方程。如仅研究微小摆动，如 很小，则 ,。又 、均为一阶微量，略去二阶以上微量，故可将上面微分方程组线性化为 由式，式求
19、出F，FN 后代入式得此处 ，这是线性系统自由振动微分方程。振动周期为第31页 应用动量矩定理时要注意以下几点：(1)动量矩定理主要应用于分析含有转动系统动力学问题。(2)普通情形下，应该以定点、定轴或质心(平移系)为矩心，或取矩轴；对于加速度指向质心速度瞬心，对质心(平移系)动量矩定理与对定点动量矩定理形式相同。(3)对于定轴问题，系统各部分对定轴角速度必须是同一惯性参考系中角速度，也就是绝对角速度。(4)计算动量矩以及外力矩时，都要采取相同正负号规则 右手定则。7.3.4 结论与讨论结论与讨论第32页7-1 某质点系对空间任一固定点动量矩都 完全相同，且不等于零，这种运动情况可能吗？7-2
20、 平面运动刚体，若所受外力主矢为零，刚体只能是绕质心转动吗？如所受外力对质心主矩为零，刚体只能是平动吗？7-3 试求如图7.14所表示各均质物体对转轴动量矩，设各物质量均为m。7-4 如图7.15所表示，一根不能伸长质量不计绳子绕过质量不计定滑轮，绳一端悬挂物块，另一端有一个与物块质量一样人，从静止开始沿绳子往上爬，不计摩擦力。试问物块动还是不动？为何？思索题思索题第33页7-5 如图7.16所表示，一绳子绕过定滑轮挂一重物P，轮子角加速度为，若用一大小等于重物P力F代替重物在绳子一端。轮子角加速度还为吗？为何？7-6 花样滑冰运动员，为何在做高速旋转时，将身体缩成一团，而当要停下来时则将身体
21、打开？十米跳台跳水运动员，刚离开跳台时，将身体团起来，而当要接触水面时，则要将身体打开，这又是为何？7-7 一均质圆盘，沿水平面只滚不滑，若在圆盘面内作用一力。试问力怎样作用能使地面摩擦力等于零？在什么情况下，地面摩擦力方向能与作用力相反？第34页习习 题题7-1 质量为m质点在平面Oxy内运动，其运动方程为 其中a、b和 为常量。求质点对原点O动量矩。7-2 如图7.17所表示，质量为m，长为l均质细杆AB，绕Oz匀角速度转动。杆与轴夹角为 ，求当 杆运动到Oyz平面内时，对轴x、y、z及O点动 量矩。7-3 质量为m足球在空气中飞行，其旋转角速度 与受到阻力矩M之间关系满足方程 ，R为足球
22、半径，k为常数。若足球初始角速度为 ，求经多长时间足球角速度减半。7-4 如图7.18所表示，小球A，质量为m，连接在长为l 无重杆AB上，放在盛有液体容器中。杆以初角 速度绕O1O2轴转动，小球受到与速度相反方向阻力，k为百分比常数。求经过多长时间角速度减为二分之一？第35页7-5 如图7.19所表示，质量不计杆OA以角速度 绕O轴转动，均质圆盘质量m=25kg，半径为R=200mm。求在以下情况下圆盘对O轴动量矩：(1)圆盘与杆固接在一起；(2)圆盘与杆铰接，且圆盘相对于杆以角速度 逆时针转动；(3)圆盘与杆铰接，且圆盘相对于杆以角速度 顺时针转动。7-6 如图7.20所表示，质量为m、半
23、径为R偏心轮在水平面上滚动，轮子对轴心A转动惯量为JA，质心为C，AC=e，A、B、C在一铅直线上。(1)当轮子纯滚动时，若 已知，求轮子对B点动量矩。(2)当轮子又滚又滑时，若 已知，求轮子对B点动量矩。第36页7-7 如图7.21所表示，已知电机产生转矩MO与其角速度 关系为MO=MO1(1 /)，其中MO1表示电机开启转矩，表示电机无负载时空转角速度，且MO1和 都是已知常量。又作用在飞轮上阻力矩 MF 能够认为不变。电机轴连同其上飞轮对轴O转动惯量是JO。试求当MO MF时电机开启后角 速度 随时间t 而改变规律。7-8 如图7.22所表示，小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质
24、量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统角速度为 。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成 角时系统角速度 。第37页7-9 如图7.23所表示，传动轴和转动惯量分别为J1和J2，传动比 ，R1，R2分别为轮，半径。今在轴上作用主动力矩M1，轴上有阻力力矩M2，转向如图所表示。设各处摩擦忽略不计，求轴角加速度。7-10 如图7.24所表示，匀质细杆AB 质量为m，长度2l，放在铅直面内，两端分别沿光滑铅直墙壁和光滑水平地面滑动。假设杆初位置与墙成交角 ，初角速度等于零；试求杆沿铅直墙壁下滑时角速度 和角加速度 以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成角度 1。第38页7-11 如图7.25所表示，高炉
25、上运输矿料卷扬机。半径为 R 卷筒可绕水平轴O转动，它关于转轴O转动惯量为 J。沿倾角为斜轨被提升重物A重W。作用在卷筒上主动转矩为M。设绳重和摩擦均可不计。试求重物加速度。7-12 如图7.26所表示，均质圆盘，质量为m，半径为R，不计轴承摩擦，图示位置时，OB 处于水平。现将绳子 BD 突然切断，求：该瞬间轴承O处反力。第39页7-13 如图7.27所表示系统。均质圆轮为A，质量为m1，半径为r1，以角速度 绕轴A 转动；均质圆轮为B，质量为m2，半径为r2，绕轴B转动。初始静止；现将轮A放置在轮B上，问自A轮放在B轮 上到两轮间无相对滑动为止，需用多少时间。设两轮间 摩擦因数为 ，略去轴
26、承摩擦和杆OA质量。7-14 如图7.28所表示，匀质圆柱质量是m，半径是r，从静止开始沿倾角是固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱静摩擦因数是 。试求圆柱质心C加速度，以及确保圆柱滚动而不滑动条件。第40页7-15 如图7.29所表示，质量为m匀质圆柱体，其中部绕一质量不计细绳。圆柱体轴心C由静止开始降落了高度h，求此时圆心C速度和细绳拉力。7-16 如图7.30所表示，均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R圆弧上往复滚动。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C运动规律。第41页7-17 如图7.31所表示，半径为r，质量为m均质圆轮沿水平直线滚动。设轮惯性半径为 ，
27、作用于圆轮力偶矩为M。求轮心加速度。假如圆轮对地面静滑动摩擦系数为 ，问力偶矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑动。7-18 如图7.32所表示，起重装置由匀质鼓轮D(半径为R，重量为W1)及均质梁AB(长度为l=4R，重量为W2=W1)组成。鼓轮经过电动机C(质量不计)安装在梁中点，被提升重物E重量为 。电动机通电后驱动力矩为M，求重物E上升加速度a及支座A，B约束力FNA及FNB。第42页7-19 均质圆柱质量为m=50 kg，对质心C回转半径为 ，从位置A以初速 ，沿粗糙面无滑动滚下，如图7.33所表示。设斜面与水平成30角，圆柱半径r=0.75 m。当圆柱滚到最低位置B时，求轨道对它正压力。7-20 如图7.34所表示，板质量为m1，受水平力F作用，沿水平面运动，板与平面间摩擦因数为f。在板上放一质量为m2均质实心圆柱，此圆柱对板只滚而不滑动。求板加速度。第43页7-21 重物A质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量固定滑轮D并绕在鼓轮B上，如图7.35所表示。因为重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道只滚不滑。设鼓轮半径为r，轮C半径为R，二者固连在一起，总质量为 ，对于其水平轴O回转半径为 。求重物A加速度。第44页
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