偏微分方程专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

偏微分方程偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)1浙江大学数学系第1页参考书目参考书目工程技术中偏微分方程，工程技术中偏微分方程，潘祖梁，浙江大学出版社。潘祖梁，浙江大学出版社。数学物理方程，数学物理方程，王明新，清华大学出版社。王明新，清华大学出版社。2浙江大学数学系第2页一一.偏微分方程基本概念偏微分方程基本概念自变量未知函数偏微分方程普通形式3浙江大学数学系第3页PDE阶PDE解 古典解广义解一些概念是指这么一个函数，它本身以及它偏导数在所考虑区域上连续，同时用满足方程。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE4浙江大学数学系第4页线性线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性。线性PDE中全部具同一最高阶数偏导数组成部分，称为线性方程主部主部。半线性半线性PDE：拟线性拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数系数仅为自变量函数。PDE中对所含未知函数及其各阶导数全体都是线性。5浙江大学数学系第5页举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：6浙江大学数学系第6页举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：7浙江大学数学系第7页5.不易找出其通解，但还是能够找出一些特解任意解析函数 实部和虚部均满足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）8浙江大学数学系第8页7.拟线性拟线性PDE8.拟线性拟线性PDE9.半线性半线性PDE10.半线性半线性PDE11.非线性非线性PDE9浙江大学数学系第9页举例举例(多元函数多元函数)拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程10浙江大学数学系第10页二二.定解问题适定性定解问题适定性定解问题PDE定解条件初值条件边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题11浙江大学数学系第11页经典定解问题举例经典定解问题举例波动方程初值问题（一维）12浙江大学数学系第12页经典定解问题举例经典定解问题举例热传导方程初值问题（一维）13浙江大学数学系第13页经典定解问题举例经典定解问题举例二维调和方程边值问题边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）14浙江大学数学系第14页经典定解问题举例经典定解问题举例热传导方程初、边值问题15浙江大学数学系第15页何为适定性？何为适定性？存在性存在性唯一性唯一性连续依赖性（稳定性）连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域一定要求下，它解在已知度量某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定，就称定解问题在对应函数类中为适定适定。16浙江大学数学系第16页三三.物理模型与定解问题导出物理模型与定解问题导出 波动方程导出 热传导方程导出17浙江大学数学系第17页弦振动方程与定解问题 一长为一长为L柔软均匀细弦，拉紧后，当它受柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直外力作用时，开始作微小横到与平衡位置垂直外力作用时，开始作微小横振动。振动。假设这运动发生在同一平面内且与方向假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间改变垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间改变规律。规律。弦上各点作往返运动主要原因在于弦张力作用，弦在运动过程中各点位移、加速度和张力都在不停改变，但它们遵照物理运动规律。由此能够建立弦上各点位移函数所满足微分方程。18浙江大学数学系第18页取弦平衡位置为OX轴，运动平面为XOUOUXPQL在时刻 t，弦线在 x 点位移为 u(x,t)OUXPQ此为上图中PQ放大图示19浙江大学数学系第19页假设弦线是均匀，弦作微小振动，故可认为即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。所以依据Hooke定律，弦上各点张力 T 大小与时间 t 无关。再因为弦是柔软，弦上各点张力 T 方向正是弦切线方向。20浙江大学数学系第20页依据牛顿第二运动定律，(*1)(*2)OUXPQ21浙江大学数学系第21页(*1)这表明张力大小与 x 也无关，即常数(*2)，微分中值定理22浙江大学数学系第22页令，可得微分方程方程弦是均匀，故 为常数，记方程改写为刻划了均匀弦微小横振动普通规律。通常称为弦振弦振动方程。动方程。23浙江大学数学系第23页为了详细给出弦振动规律，除了列出它所满足方程外，因为弦开始时形状和弦上各点速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件或者边界条件已知端点位移已知在端点受到垂直于弦外力作用已知端点位移与所受外力作用一个线性组合24浙江大学数学系第24页四四.二阶线性方程分类二阶线性方程分类两个自变量情形主部目：经过自变量非奇异变换来简化方程主部，从而据此分类。非奇异（1）25浙江大学数学系第25页复合求导26浙江大学数学系第26页系数之间关系（2）（1）（3）27浙江大学数学系第27页考虑如若能找到两个相互独立解那么就作变换从而有（4）28浙江大学数学系第28页两个引理两个引理引理引理1.假设是方程特解，则关系式是常微分方程（4）（5）普通积分。引理引理2.假设是常微分方程（5）普通积分，则函数是（4）特解。29浙江大学数学系第29页 由此可知，要求方程（4）解，只须求出常微分方程（5）普通积分。定义：定义：常微分方程（5）为PDE（1）特征方程特征方程（5）积分曲线为PDE（1）特征曲线。特征曲线。（6）30浙江大学数学系第30页记定义定义方程(1)在点M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有31浙江大学数学系第31页双曲型双曲型PDE右端为两相异实函数它们普通积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程第一标准型双曲型方程第二标准型32浙江大学数学系第32页抛物型抛物型PDE由此得到普通积分为由此令，其中与独立任意函数。33浙江大学数学系第33页因为由此推出34浙江大学数学系第34页所以，方程（1）可改写为抛物型方程标准型而35浙江大学数学系第35页椭圆型椭圆型PDE右端为两相异复数由此推出两族复数积分曲线为其中36浙江大学数学系第36页由此令从而方程（1）可改写为，满足方程（4）椭圆型方程标准型37浙江大学数学系第37页总结总结（双曲型PDE）（抛物型PDE）（椭圆型PDE）或38浙江大学数学系第38页例1抛物型方程令39浙江大学数学系第39页例2双曲型方程40浙江大学数学系第40页例3Tricomi方程椭圆型双曲型41浙江大学数学系第41页42浙江大学数学系第42页课后作业：P21-22 Ex 12 （2）（4）Ex 13 （1）（3）Ex 14 （1）Ex 1643浙江大学数学系第43页例44浙江大学数学系第44页