三偏微分方程的数值离散方法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

（三）偏微分方程数值离散方法（三）偏微分方程数值离散方法3.1 有限差分法3.2 有限体积法(有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）1第1页3.1 有限差分法3.1.1 模型方程差分迫近3.1.2 差分格式结构3.1.3 差分方程修正方程3.1.4 差分方法理论基础3.1.5 守恒型差分格式3.1.6 偏微分方程全离散方法2第2页3.1.1 模型方程差分迫近3第3页3.1.2 差分格式结构4第4页3.1.3 差分方程修正方程差分方程所准确迫近微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开方程逐步消去带时间高阶导数，只留空间导数。Warming-Hyett方法：差分方程(2)写成算子形式：5第5页3.1.3 差分方程修正方程(续)6第6页3.1.3 差分方程修正方程(续)7第7页3.1.4 差分方法理论基础相容性，稳定性，收敛性等价性定理Fourier稳定性分析8第8页3.1.4 差分方法理论基础（续）Fourier(Von Neumann)稳定性分析9第9页3.1.4 差分方法理论基础（续）Fourier(Von Neumann)稳定性分（续）称为CFL条件 (Courant,Friedrichs,Levy)10第10页3.1.5 守恒型差分格式流体力学方程组描述物理量守恒性；守恒律组：定义11第11页3.1.5 守恒型差分格式（续）守恒性质：非守恒差分格式普通没有对应于原始守恒律“离散守恒律”。12第12页3.1.5 守恒型差分格式（续）守恒型差分格式Lax-Wendroff定理：假如守恒型差分格式是和守恒律相容，且当初间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微函数，则这个收敛函数就是守恒律一个弱解。推论：守恒型差分各式收敛解能自动满足间断关系。用途:(加上熵条件）能够得到正确激波，研究中大量使用比如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式 13第13页3.1.6 偏微分方程全离散方法对差分格式普通要求：有精度、格式稳定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)主要指非定常方程时间离散 14第14页3.1.6偏微分方程全离散方法(续）两层格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式Runge-Kutta方法时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多层格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式 15第15页3.1.6.1 两层格式Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff 格式Mac Cormack格式Runge-Kutta方法16第16页3.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendroff 格式一步LW格式17第17页3.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendroff 格式两步LW格式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不包括矩阵相乘。18第18页3.1.6.1 两层格式(cont.）Mac Cormack 格式(1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上值。LW两步格式和MC各式缺点：定常解误差依赖于时间步长。19第19页Mac Cormack格式结构20第20页3.1.6.2 三层格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式21第21页第二课后阅读提醒傅德薰计算流体力学，3.1 3.3水鸿寿一维流体力学数值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.622第22页作业21.用Fourier法分析 3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式稳定性。2.分析前面3.1.6节中Mac Cormack格式是几阶精度。23第23页3.2有限体积法出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）以控制体为离散量计算体积分和面积分需要适当插值公式和积分公式(quadrature formula)适合用于任意形状网格，复杂几何形状缺点：难以结构大于二阶以上格式24第24页3.2.1 定常守恒型方程和控制体25第25页3.2.2 面积分迫近面积分用积分点值表示(quadrature)积分点值用CV值表示(interpolation)对于Simpson公式,对积分点插值需要四阶精度26第26页3.2.4 体积分迫近当被积函数为某种型函数时，能够得到准确积分，迫近精度取决于型函数精度。27第27页3.2.4 体积分迫近四阶精度：2D直角坐标网格最终一式能够四阶精度迫近3D面积分28第28页3.2.5 插值和微分积分点函数值和其法向梯度1st UDS:取上风点值29第29页插值2nd order:向积分点线性插值等价于中心差分(CDS)30第30页插值当积分点函数是线性插值时Second order 31第31页插值QUICK(quadratic upwind interpolation for convective kinematics)插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。32第32页插值高精度：N阶精度quadrture需要N-1阶多项式插值公式。界面上导数能够用插值公式微分求出。33第33页3.2.5有限体积法边界条件用边界条件替换面积分入口：通常给定对流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和对称面：通量为零边界上函数值给定：和内部CV值共同构建边界上导数34第34页FV例子35第35页3.2.6 守恒律有限体积方法 Godunov 格式36第36页37第37页3.2.6.1 Godunov方法思想38第38页一阶迎格调式(CIR格式)39第39页用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式40第40页41第41页Riemann解图示42第42页43第43页3.2.6.1 1D Euler方程组Godunov格式Godunov格式是基于积分形式方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上间断关系44第44页移动网格上积分回路45第45页移动网格上Godunov格式46第46页固定网格上Godunov格式47第47页Lagrange网格上Godunov格式48第48页Euler方程组Riemann问题解理想气体5种解49第49页50第50页二维Euler方程组Riemann问题51第51页52第52页仅是局部化1D RP53第53页第3课后阅读提醒傅德薰计算流体力学，6.3水鸿寿一维流体力学数值方法Godnov格式一节 Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.454第54页作业3傅书习题3-13.傅书习题3-12.55第55页