中考热点题型之阿氏圆.doc

阿氏圆整理

例题讲解：
例1、如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的値；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．
第28题图1
第28题图2

解：（1）把点A（4，0）代入y＝ax2＋(a＋3)x＋3，得
16a＋4(a＋3)＋3＝0．
解得a＝－．
∴抛物线的函数表达式为：y＝－x2＋x＋3．
把x＝0代入上式，得y＝3．
∴点B的坐标为（0，3）．
由A（4，0），B（0，3）可得直线AB的函数表达式为：y＝－x＋3．
（2）根据题意，得
OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，点P的坐标可表示为(m，－m 2＋m＋3)．
∴PE＝－m 2＋m＋3……………………………………………………①
∵△AEN∽△AOB，∴＝＝．∴＝＝．
∴AN＝(4－m)， NE＝(4－m)．

∵△PMN∽△AEN，且＝，
∴＝．∴PN ＝AN＝×(4－m)＝(4－m)．
∴PE＝NE＋PN＝(4－m)＋(4－m)＝(4－m)………………………...②
由①、②，得
－m 2＋m＋3＝(4－m)．
解得m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．
∴m的値为2．
（3）在（2）的条件下，m的値为2，点E（2，0），OE＝2．∴OE′＝OE＝2．
如图，取点F(0，)，连接FE′、AF．则OF＝，AF＝＝．
第28题答案图

∵＝＝，＝，且∠FOE′＝∠E′OB，∴△FOE′∽△E′OB．∴＝．∴FE′＝E′B．
∴E′A＋E′B＝E′A＋FE′≥AF＝．
∴E′A＋E′B的最小值为．

巩固练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP， 最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、

2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．

3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则的最小值为 ．

y
x
4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是 ．

5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．

图1 图2 图3
套路总结
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：
第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；
第三步：计算这两条线段长度的比；
第四步：在OD上取点M，使得；
第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．

1．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（　　）

2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．

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