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数学建模竞赛数学建模竞赛1第1页 评价是人类社会中一项经常性、极主要认识活动，是决议中基础性工作。在实际问题处理过程中，经常碰到相关综合评价问题，如医疗质量综合评价问题和环境质量综合评价等。它是依据一个复杂系统同时受到各种原因影响特点，在综合考查多个相关原因时，依据多个相关指标对复杂系统进行总评价方法 综合评价方法及应用综合评价方法及应用综合评价关键点：（1）有多个评价指标，这些指标是可测量或可量化；（2）有一个或多个评价对象，这些对象能够是人、单位、方案、标书科研结果等；2第2页 （3）依据多指标信息计算一个综合指标，把多维空间问题简化为一维空间问题中处理，能够依据综合指标值大小对评价对象优劣程度进行排序。综合评价普通步骤 1依据评价目标选择恰当评价指标，这些指标含有很好代表性、区分性强，而且往往能够测量，筛选评价指标主要依据专业知识，即依据相关专业理论和实践，来分析各评价指标对结果影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区分能力又相互独立指标组成评价指标体系。2依据评价目标，确定诸评价指标在对某事物评价中相对主要性，或各指标权重；3合理确定各单个指标评价等级及其界限；3第3页 4依据评价目标，数据特征，选择适当综合评价方法，并依据已掌握历史资料，建立综合评价模型；5确定多指标综合评价等级数量界限，在对同类事物综合评价应用实践中，对选取评价模型进行考查，并不停修改补充，使之含有一定科学性、实用性与先进性，然后推广应用。当前，综合评价有许多不一样方法，如综合指数法、TOPSIS法、层次分析法、RSR法、含糊综合评价法、灰色系统法等，这些方法各具特色，各有利弊，因为受多方面原因影响，怎样使评价法更为准确和科学，是人们不停研究课题。下面仅介绍综合评价TOPSIS法、RSR法和层次分析法基本原理及简单应用。4第4页 比如：试依据下数据，怎样对某市人民医院9597年医疗质量进行综合评价，即哪年医疗质量高？某市人民医院9597年医疗数据年度床位周转次数床位周转率（%）平均住院日出入院诊疗符合率（%）手术前后诊疗符合率（%）三日确诊率（%）治愈好转率（%）病死率（%）危重病人抢救成功率（%）院内感染率（%）199520.97113.8118.7399.4299.8097.2896.082.5794.534.60199621.41116.1218.3999.3299.1497.0095.652.7295.325.99199719.13102.8517.4499.4999.1196.2096.502.0296.224.795第5页1 TOPSIS法（迫近理想解排序法）法（迫近理想解排序法）Topsis法是系统工程中有限方案多目标决议分析一个惯用方法。是基于归一化后原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案距离，取得各评价对象与最优方案相对靠近程度，以此作为评价优劣依据。1.1 基本原理基本原理 TOPSIS法是Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution缩写，即迫近于理想解技术，它是一个多目标决议方法。方法基本思绪是定义决议问题理想解和负理想解，然后在可行方案中找到一个方案，使其距理想解距离最近，而距负理想解距离最远。6第6页 理想解普通是构想最好方案，它所对应各个属性最少到达各个方案中最好值；负理想解是假定最坏方案，其对应各个属性最少不优于各个方案中最劣值。方案排队决议规则，是把实际可行解和理想解与负理想解作比较，若某个可行解最靠近理想解，同时又最远离负理想解，则此解是方案集满意解。1.2 距离测度距离测度采取相对靠近测度。设决议问题有m个目标，n个可行解；并设该问题规范化加权目标理想解是Z*，其中那么用欧几里得范数作为距离测度，则从任意可行解到距离为：7第7页式中，Zij为第j个目标对第i个方案（解）规范化加权值。同理，设为问题规范化加权目标负理想解，则任意可行解到负理想解之间距离为：那么，某一可行解对于理想解相对靠近度定义为：0Ci 1,i=1，n ，8第8页0Ci 1,i=1，n ，于是，若是理想解，则对应Ci=1；若是负理想解，则对应Ci=0。愈靠近理想解，Ci愈靠近于1；反之，愈靠近负理想解，Ci愈靠近于0。那么，能够对Ci进行排队，以求出满意解。1.3 TOPSIS法计算步骤法计算步骤 第一步：设某一决议问题，其决议矩阵为A.由A能够组成规范化决议矩阵Z，其元素为Zij，且有式中，fij 由决议矩阵给出。9第9页第二步：结构规范化加权决议矩阵Z，其元素Zij Zij=Wj Zij i=1，n；j=1，m Wj为第j个目标权。第三步：确定理想解和负理想解。假如决议矩阵Z中元素Zij值越大表示方案越好，则 第四步：计算每个方案到理想点距离Si和到负理想点距离 。第五步：按式 计算Ci，并按每个方案相对靠近度Ci 大小排序，找出满意解。10第10页 多目标综合评价排序方法较多，各有其应用价值。在很多评价方法中，TOPSIS法对原始数据信息利用最为充分，其结果能准确反应各评价方案之间差距，TOPSIS对数据分布及样本含量，指标多少没有严格限制，数据计算亦简单易行。不但适合小样本资料，也适合用于多评价对象、多指标大样本资料。利用TOPSIS法进行综合评价，可得出良好可比性评价排序结果。11第11页1.4应用实例应用实例1、TOPSIS法在医疗质量综合评价中应用 试依据表8.1数据，采取Topsis法对某市人民医院19951997年医疗质量进行综合评价。表8.1 某市人民医院19951997年医疗质量年度床位周转次数床位周转率（%）平均住院日出入院诊疗符合率（%）手术前后诊疗符合率（%）三日确诊率（%）治愈好转率（%）病死率（%）危重病人抢救成功率（%）院内感染率（%）199520.97113.8118.7399.4299.8097.2896.082.5794.534.60199621.41116.1218.3999.3299.1497.0095.652.7295.325.99199719.13102.8517.4499.4999.1196.2096.502.0296.224.79 在原始数据指标中，平均住院日、病死率、院内感染率三个指标数值越低越好，这三个指标称为低优指标；其它指标数值越高越好，称为高优指标。是低优指标可转化为高优指标，其方法为是绝对数低优指标 可使用倒数法（），是相对数低优指标 ，可使用差值法（）。这里，平均住院日采取倒数转化，病死率、院内感染率采取差值转化。12第12页转化后数据见表8.2。表8.2 转化指标值年度床位周转次数床位周转率（%）平均住院日出入院诊疗符合率（%）手术前后诊疗符合率（%）三日确诊率（%）治愈好转率（%）病死率（%）危重病人抢救成功率（%）院内感染率（%）199520.97113.815.3499.4299.8097.2896.0897.4394.5395.40199621.41116.125.4499.3299.1497.0095.6597.2895.3294.01199719.13102.855.7399.4999.1196.2096.5097.9896.2295.21依据表8.2数据，利用公式 进行归一化处理，得归一化矩阵值，如表8.3。比如计算1995年床位周转次数归一化值，13第13页表8.3 归一化矩阵值年度床位周转次数床位周转率平均住院日出入院诊疗符合率手术前后诊疗符合率三日确诊率治愈好转率病死率危重病人抢救成功率院内感染率19950.5900.5920.5600.5770.5800.5800.5770.5770.5720.58119960.6020.6040.5700.5770.5760.5780.5750.5760.5770.57219970.5380.5350.6010.5780.5760.5740.5800.5800.5830.579由式（8.7）和式（8.8）得最优方案和最劣方案：14第14页由式（8.10）、（8.11）和式（8.1）、（8.2）计算各年度 和 ，见表8.4。比如计算1997年和其余各年依次类推。由式（8.3）计算各年度，见表8.4。比如计算1997年：15第15页表8.4 不一样年度指标值与最优值相对靠近程度及排序结果年份排序结果19950.0450.0780.634219960.0340.0950.736119970.0940.0440.3193由表8.4排序结果可知1996年医疗质量最好。16第16页 问题：某医院对护士考评有4个指标，它们分别是：业务考评成绩（）、操作考评结果（）、科内测评（）和工作量考评（）；下表8.9是某病区8名护士考评结果：待评对象（n）护士甲 86 优-100 233.9护士乙 92 良 98.2 192.9护士丙 88 良 99.1 311.1护士丁 72 良 95.5 274.9 护士戊 70 优 97.3 263.6护士己 94 优 100 182.3护士庚 84 良 91.97 220.6 护士辛 50 良 91.97 182.0试对护士进行综合评价，即给出排名和分档法。2、秩和比法、秩和比法17第17页2、秩和比法、秩和比法 秩和比法是我国统计学家田凤调教授于1988年提出一个新综合评价方法，它是利用秩和比RSR（Rank-sum ratio）进行统计分析一个方法，该法在医疗卫生等领域多指标综合评价、统计预测预报、统计质量控制等方面已得到广泛应用。秩和比是一个内涵较为丰富综合性指标，它是指行（或列）秩次平均值，是一个非参数统计量，含有01连续变量特征，近年来秩和比统计方法不停完善和充实。2.1 分析原理及步骤分析原理及步骤1、分析原理 秩和比是一个将多项指标综合成一个含有01连续变量特征统计量，也可看成0100计分。多用于现成统计资料再分析。不论所分析问题是什么，计算RSR越大越好。18第18页 为此，在编秩时要区分高优指标和低优指标，有时还要引进不分高低情况。比如，评价预期寿命、受检率、合格率等可视为高优指标；发病率、病死率、超标率为低优指标。在疗效评价中，不变率、微效率等可看作不分高低指标。指标值相同时应编以平均秩次。秩和比综合评价法基本原理是在一个n行m列矩阵中，经过秩转换，取得无量纲统计量RSR；在此基础上，利用参数统计分析概念与方法，研究RSR分布；以RSR值对评价对象优劣直接排序或分档排序，从而对评价对象作出综合评价。19第19页2、分析步骤 编秩：将n个评价对象m个评价指标列成n行m列原始数据表。编出每个指标各评价对象秩，其中高优指标从小到大编秩，低优指标从大到小编秩，同一指标数据相同者编平均秩。计算秩和比（RSR）：依据公式计算，式中i=1，2，n；最小RSR=1/n，最大RSR=1。为第i行第j列元素秩，当各评价指标权重不一样时，计算加权秩和比（WRSR），其计算公式为，Wj为第j个评价指标权重，Wj=1。20第20页 经过秩和比（RSR）值大小，就可对评价对象进行综合排序，这种利用RSR综合指标进行排序方法称为直接排序。不过在通常情况下还需要对评价对象进行分档，尤其是当评价对象很多时，如几十个或几百个评价对象，这时更需要进行分档排序，由此应首先找出RSR分布 计算概率单位（Probit）Y：将RSR（或WRSR）值由小到大排成一列，值相同作为一组，编制RSR（或WRSR）频率分布表，列出各组频数f，计算各组累计频数f；确定各组RSR（或WRSR）秩次范围R和平均秩次；计算累计频率p=/n；将百分率p转换为概率单位(Probit)Y，Y为百分率p对应标准正态离差u加5,即满足中u加5.21第21页 计算直线回归方程：以累计频率所对应概率单位Y为自变量，以RSR（或WRSR）值为因变量，计算直线回归方程，即RSR(WRSR)=a+bY。分档排序：依据标准正态离差分档，分档数目可依据试算结果灵活掌握，最正确分档应该是各档方差一致，相差含有显著性，普通分3-5档，下面是惯用分档数对应百分位数及概率单位见表8.8。由此应首先找出RSR分布。22第22页表8.8惯用分档数及对应概率单位23第23页 依据各分档情况下概率单位Probit值，按照回归方程推算所对应RSR（或WRSR）预计值对评价对象进行分档排序。详细分档数依据实际情况决定。24第24页2.2秩和比法在对某病区护士综合评价中应用实例秩和比法在对某病区护士综合评价中应用实例 某医院对护士考评有4个指标，它们分别是：业务考评成绩（）、操作考评结果（）、科内测评（）和工作量考评（）；下表是某病区8名护士考评结果：待评对象（n）护士甲 86 优-100 233.9护士乙 92 良 98.2 192.9护士丙 88 良 99.1 311.1护士丁 72 良 95.5 274.9 护士戊 70 优 97.3 263.6护士己 94 优 100 182.3护士庚 84 良 91.97 220.6 护士辛 50 良 91.97 182.0利用秩和比综合评价法对其进行综合评价。25第25页 依据秩和比综合评价法评价步骤，第一步分别对要评价各项指标进行编秩,因为对护士考评4个指标都是高优指标，所以对要评价各项指标进行编秩如表8.10:表8.10 评价各项指标编秩待评对象（n）护士甲 86（5）优-（6）100（7.5）233.9（5）护士乙 92（7）良（3）98.2（5）192.9（3）护士丙 88（6）良（3）99.1（6）311.1（8）护士丁 72（3）良（3）95.5（3）274.9（7）护士戊 70（2）优（7.5）97.3（4）263.6（6）护士己 94（8）优（7.5）100（7.5）182.3（2）护士庚 84（4）良（3）91.97（1.5）220.6（4）护士辛 50（1）良（3）91.97（1.5）182.0（1）第二步，计算各指标秩和比（RSR）26第26页其中m为指标个数，n为分组数，RSR值即为多指标平均秩次，其值越大越优。为各指标秩次，各护士4项护理考评指标编秩及RSR值如表8.11待评对象（n）RSR 名次护士甲 86（5）优-（6）100（7.5）233.9（5）0.7344 2 护士乙 92（7）良（3）98.2（5）192.9（3）0.5313 5护士丙 88（6）良（3）99.1（6）311.1（8）0.7188 3护士丁 72（3）良（3）95.5（3）274.9（7）0.5000 6护士戊 70（2）优（7.5）97.3（4）263.6（6）0.6094 4护士己 94（8）优（7.5）100（7.5）182.3（2）0.7813 1护士庚 84（4）良（3）91.97（1.5）220.6（4）0.3906 7护士辛 50（1）良（3）91.97（1.5）182.0（1）0.2031 8 假如将8名护士进行排序，则可依据8名护士秩和比（RSR），按由大到小排列就可得到8名护士由好到差全部排序；27第27页假如要将8名护士分成几档，则还需继续进行以下工作。第三步，确定RSR分布 将各指标RSR值由小到大进行排列，计算向下累计频率，查百分数与概率单位对照表，求其所对应概率单位值,见表8.12 RSR f 累积频数 0.2031 1 1 1 12.5 3.8197 0.3906 1 2 2 25.5 4.3255 0.5000 1 3 3 37.5 4.6814 0.5313 1 4 4 50.5 5.0000 0.6094 1 5 5 62.5 5.3186 0.7188 1 6 6 75.0 5.6745 0.7344 1 7 7 87.5 6.1503 0.7813 1 8 8Y6.8663其中数据是利用预计。28第28页第四步，求回归方程：RSR=A+BY 将概率单位值Y作为自变量，秩和比RSR作为因变量,经相关和回归分析，因变量RSR与自变量概率单位值Y含有线性相关（r=0.9528）,线性回归方程为：RSR=0.1877Y-0.4232,经F检验，F=59.078,P=0.0002,这说明所求线性回归方程含有统计意义。第五步，将8名护士进行分档，分多少档依据评价对象详细要求确定，假如将8名护士分为优良差三档，依据统计学家田凤调教授提供一个分档标准，分档以下表8.13：等级 Y 分档 差 4以下 0.05，方差一致。方差分析：F=43.2921,P中差，均含有显著性意义。在本法编秩中，对于高优指标，最小指标值编为1，最大指标值编为n(此点与RSR法相同)，但其余指标值由小到大分别编为1与n之间线性递增非整秩次。所编秩次与原指标值之间存在定量线性对应关系，即原指标值被定量地转换为秩次，而不是简单等级化，从而防止了秩次化后原指标值定量信息损失。低优指标编秩方法相同，但大小方向相反。37第37页 与RSR法比较，非整秩次RSR法不足是不能直观地列出秩次，而需经过计算得出，故运算比RSR法多一步。但所增加一点运算换取更准确、更客观评价结果是值得。38第38页