基于深度学习的两分量BEC中量子相变点的识别.pdf

第41卷第2 期2024年4月J.At.Mol.Phys.,2024,41:026009(6pp)基于深度学习的两分量BEC中量子相变点的识别原子与分子物理学报JOURNAL OF ATOMIC AND MOLECULAR PHYSICSVol.41 No.2Apr.2024梅万利，徐余军1，2（1.华南农业大学电子工程学院，广州510 6 42；2.华南农业大学基础实验与实践训练中心，广州510 6 42）摘要：识别物质的相变是物理学研究中一个重要问题。本文采用了一种混淆标签方案的卷积神经网络算法来识别两分量玻色一爱因斯坦凝聚(BEC)中量子相变点，通过计算神经网络输出的准确率,得到W型性能曲线，此性能曲线中间的极大值对应着量子相变的临界点，研究结果表明，深度学习得到的量子相变点与解析计算值吻合度较高此混淆标签方案的深度学习研究方法可以应用到存在两种相的相变体系：关键词：量子相变；BEC；深度学习；卷积神经网络中图分类号：0 411.2Identification of quantum phase transition point in two-componentBose-Einstein condensates based on deep learning文献标识码：AD0I:10.19855/j.1000-0364.2024.026009MEI Wan-Lil,XU Jun.2(1.College of Electronic Engineering,South China Agricultural University,Guangzhou 510642,China;2.Experimental Basis and Practical Training Center,South China Agricultural University,Guangzhou 510642,China)Abstract:Recognizing the phase transition of matter is an important problem in physics research.Convolutionalneural network algorithm of confusion label scheme is used to identify quantum phase transition point of two-component Bose-Einstein condensates(BEC)in this paper.By calculating the output accuracy of neural net-work,the W-shape performance curve is obtained.The maximum value in the middle of W-shape perform-ance curve corresponds to the critical point of quantum phase transition.The research results show that the criti-cal point obtained by deep learning is consistent with the analytic calculation results.The deep learning methodof confusion label scheme can be applied to the phase transition system of existing two phases.Key words:Quantum phase transition;BEC;Deep learning;Convolutional neural network信息量会随着系统尺寸呈指数增加，而机器学习1 引 言在处理大量数据时表现优异。研究人员将机器学机器学习尤其是深度学习算法发展迅速，以习算法引人到解决量子物理问题中1-10)，如用深其强大的特征提取和函数拟合能力广泛应用于语度神经网络求解薛定调方程，利用监督学习的音识别，机器视觉，图像识别等工程领域深度卷积神经网络代替虚时演化过程求解 Gross-Pi-学习算法的基本思想就是用大量的数据来训练模taevski（G P)方程生成BEC 的基态12 此外，深型，用训练后的模型处理新数据近年来，深度度学习也被用来研究量子相变，量子相变是指系学习在物理、化学、生物、医药等自然科学研究统在绝对零度下产生的一种相变，传统识别相变中也有着重要的作用的方法是通过分析系统的对称性或者分析低能态目前量子物理面临的困难包含待处理系统的的集体自由度来确定序参量，并利用它们来标记收稿日期：2 0 2 2-10-0 9基金项目：国家自然科学基金（117 0 5155）；广东省自然科学基金（2 0 17 A030313025）作者简介：梅万利（1999一），男，湖北武汉人，华南农业大学电子工程学院硕士研究生，主要从事机器学习在相变中应用方面的研究通讯作者：徐军.E-mail：x u j u n s c a u.e d u.c n026009-1第41卷物质的相，而计算序参量来判断相变需要较大的计算量，也需要研究者有先验知识来构造一个合适的序参量：在相变领域有用混淆标签方案搭配前馈神经网络识别伊辛模型相变点13，利用无监督的机器学习算法揭示超固体和超流体之间的相分离区域14，利用机器学习无监督学习与有监督学习相结合，识别J1-J2反铁磁海森堡自旋系统的相变点15。利用卷积神经网络和有限尺寸标度来提取无序Hofstadter模型的临界指数，展示了求解临界指数时神经网络新方法与传统数值解析方法的差异性及可靠性16.上述研究表明深度学习可以有效的识别量子相变点，可以通过选择序参量作为参数输人网络，以此找到相变点，这种方法较为直观，缺点是仍需要大量计算得到序参量，对于未知系统也需要先知道哪些是相关的序参数：人们也可以直接将哈密顿量的基态输人到网络中，并通过设定某个参数为作为量子相变点而混淆真实相，给输人数据每次不同的混淆标签方案，最后评估网络的性能，通过大量的训练，让神经网络自已提取特征并找到量子相变点。由此可以在没有任何先验知识，无需的计算序参量的情况下，直接识别量子相变点，本文的研究中，采用直接把两分量BEC基态数据输人到卷积神经网络，来实现对量子相变点的识别文中第二部分介绍两分量BEC的物理模型，得到解析及数值求解的基态和相变点，方便后面与深度学习的研究结果做比较第三部分详细介绍了混淆标签方案的深度学习方法研究两分量BEC的量子相变第四部分得出了基于此方法的研究结果与分析，第五部分是结论与讨论2两分量BEC的物理模型囚禁在谐振子势中一维耦合两分量BEC,在平均场近似下，其波函数满足两耦合的Gross Pitaevkii(GP)方程如下：a4,(x,t)=-%2+Vi()+atg1(x,t)2+g12/,(x,t)2i(x,t)-242(x,t)042(x,t)1-%+(4)+atg12/4(x,t)2+g22/4,(x,t)/2,(x,t)-4i(x,t)原子与分子物理学报这里,（,t),（,t）是两分量 BEC 的波函数,V（）和Vz（x）是谐振子势阱，gi(j=1,2）为同分量内的原子碰撞相互作用，g12为不同分量间的原子碰撞相互作用，是两分量间拉曼耦合：系统总粒子数为N=J(x,t)1+,(x,t)12)dx，线性密度为p=N/L，L为系统总的尺寸长度.通常情况下，当同分量内的原子相互作用占主导地位时，即gig i 2，系统两分量的波函数表现为易混合17；而当不同分量间的原子相互作用占主导地位时，即gi2g i，表现为不易混合：在此系统中，两分量之间的拉曼耦合存在一个临界值18)hQerit=2(gi2-gg22)p/(g1+g22+2g12），当调节参数从erit变为crnt为易混合相，两分量BEC 波函数在同空间中共存；（b)=10 0 Qernt,it is miscible and the two compo-nents of BEC wave functions coexist in the same space;(b)When Q=100 erit,it is immiscibleand the two components of BEC wave function mainly occupy different spatial regions:The values ofother parameters are N=12100,L=100,g1i=g22=1,g12=2.来评估网络性能混淆标签给数据集标记的方案是在参数空间E1，,中取某个值;，并假设每次取值2 就是相变的临界点eri，参数,时，即P（易混合相对应数据集内的数据都标记为L；=O.此时，训练集和测试集内的数据标记为：Ll r(2.)=Pn,D;e data train,test,2 1/2时，输出结果L.对应P,相；p；，整个测试集内的数据标记为L；=0，网络训练只存在一种数据输出为L。=0，此时准确率为A=1同理=Q2时，准确率也为A=1，所以不同,所形成的网-20200p1/211/2X40(4)(6)第41卷络性能曲线在左右两端有着最大值当；的取值为真实的临界值erit时，网络提取数据特征后的输出与给定标签最符合，此时准确率所对应的网络性能曲线在除边界两点外有着最大值：除此三点外，在2;处于（2 i,2erit）和（2 erit，2 2）范围内，预期准确率相对较低：因此，在理想情况下，网络性能曲线将会是W型13，如图2 所示准确率A与设定的临界点Q，的关系可表示为min(2eri-2,2;-2,)122-21A二不0.80.6021图2网络输出的性能曲线为W型，中间峰值对应系统的临界点，Fig.2 Performance curve of the network output is W-shape,with the intermediate peak correspond-ing to the systems critical point.通常情况下，卷积神经网络（CNN）主要由输入层、隐含层和输出层组成，其中隐含层主要由两部分构成，一部分用来做特征提取，包括了卷积层和池化层，另一部分是用来分类的全连接层.具体工作流程如下，数据由输入层进入网络后，featurefeatureInputsmaps132x161632x16原子与分子物理学报传到卷积层，由多个卷积核提取输人数据的不同特征；然后将提取的特征数据传入池化层，对特征数据进行下采样，将维度较大的特征处理得到维度较小的特征数据；最后将数据交给全连接层，通过对特征数据融合与分类后，输出CNN的结果本文中，我们设计了一个混淆标签方案生成样本的卷积神经网络，它的结构包含一个输入层、三个卷积层、两个全连接层和一个输出层，每个卷积层包含16 个33卷积核，其卷积步长为1，,22;2ert每层卷积计算后都插人修正线性单元ReLU来引min(2;-erit,2-2,)人非线性函数第三个卷积层经过ReLU输出后Deri2,2222-2)(7)Qcrit22reaturemaps1632x16第2 期展平成一个8 192 个节点的隐藏单元，通过全连接层连接到另一个2 56 个节点的隐藏单元由于只有两种相，故将第二个全连接层连接到包含2 个节点的输出层全连接层中加人Dropout函数，Dropout率设为0.5，这一步是为了训练时让神经元以一定的概率不工作，防止参数更新过快而导致过拟合CNN的最终输出结果为输出层经过Softmax函数激活后的结果，整个系统的网络结构如图3所示我们采用此CNN在训练集上训练2000次，CNN学习率设为10-3CNN的最终损失函数为两分类的交叉熵损失函数，与全连接层权重的L2正则化函数之和，其表达式如下Loss=Losse+Z I U)/2+mnmn2562pqP其中正则化系数取值为510-，Z1u表示第l层U（权重）参数的平方和，U是mn的矩阵。Hiddenmapsunits1632x16819216512256Hiddenunits256（8）outputs2FattenConvolution3x3kemelFig.3Schematic diagram of convolutional neural network4研究结果与分析我们数值模拟方程，求解系统的基态波函数.这里各物理参数的取值分别为原子碰撞相互作用Convolution3x3kemel图3卷积神经网络示意图大小为g=g22=1,gi2=2，系统的尺寸大小为L=100，并采用了周期性边界条件在拉曼耦合=1，2 内均匀取10 0 0 个值，每一个的值可以得到耦合两分量BEC的波函数业i，026009-4Convolution3x3kemelFullyconnectedFullyconnected第41卷梅万利，徐军：基于深度学习的两分量BEC中量子相变点的识别第2 期SolvingEquationsSource DataFig.4 Schematic diagram of the process of deep learning to identify phase transition point2，将两分量BEC的布居差=2-,12作为数据集内的数据，L为此条数据的标签，此AdjustControl parametersTrain SetConfuseLabelLossCNNTest SetData-Label-Next2i-图4深度学习识别相变点的流程示意图1.051ModelOutputCompareW-shape curveIdentifying thecritical point时数据集可表示为：Datla=(z,L1我们采用混淆标签方案，运用TensorFlow框架来实现CNN网络模型，并使用Adam算法优化训练集的损失函数在=1，2 内均匀取31个设定的临界点2;，根据每个设定的临界点2,将数据集内的10 0 0 条数据进行打标签分类，可以得到31组数据相同而标签不同的数据集：每组数据都按4：1的比例随机分为数据集和训练集，每组数据集都包含8 0 0 条训练数据和2 0 0 条测试数据将每组的8 0 0 条训练数据作为CNN的输人，相应的标签作为CNN的输出，以此输人和输出训练CNN的模型参数，通过调节控制参数，使交叉损失函数减小：如果交叉熵损失函数收敛，则表示此网络模型已训练完成再以2 0 0 条测试集数据作为网络输人，用已训练好的模型参数处理测试集的数据，网络的输出与测试集的标签对比得到准确率。经过多组数据处理完毕得到系统的准确率曲线，即网络模型在此数据集下的性能曲线，根据此性能曲线的特征来识别量子相变的临界点，系统的整个流程如图4所示.两分量BEC耦合的取值范围为E10 0,130和Qe95，10 5，总粒子数的取值为N=12100和N=10000，通过深度学习，我们得到了此CNN模型对应的两条性能曲线，如图5（a)和(b)所示，由31个2,得到的准确率连接而成的两条曲线都呈现W型图中标注的虚线与准确率曲线的交点为W型曲线中间峰值，此时对应的;是深度学习的相变点由图5可知通过深度学习得到的相变点为Q2;=121和2;=100，与此两组参数0.95(9)0.90.850.80.750.71001.0510.950.90.850.80.750.795图5CNN模型对应的性能曲线每个点是10 次运算后的平均值，误差线是标准偏差，标注虚线所在处的Q；为深度学习的量子相变点：(a)N=12100,enit=Q,=121;(b)N=10000，c r i=2,=10 0.其他参数的取值为g11=g22=1,812=2,L=100.Fig.5The performance curves corresponding of theCNN model.Each point is the average valueafter 10 operations,the error line is standarddeviation,and;where the dotted line isquantum phase transition point of deep learn-ing.(a)N=12100,erit=,=121;(b)N=10000,er=Q2,=100.The values ofother parameters are gu1=g2=1,gi2=2,L=100.下真实的临界点i吻合度较高，深度学习的研究结果较好地符合了系统真实的量子相变点。026009-5(a)(b)96971051109899100101115120102103104105125130第41卷区别于用序参量来研究量子相变的传统方法，我们采用深度学习的方法来识别两分量BEC量子相变点，此研究中只求解了系统的基态波函数，而并不需要找到系统的序参量，进行复杂的计算与分析，采用混淆标签方案标记数据样本，对训练集进行特征提取后，训练CNN模型参数，用测试集的准确率评估网络性能并分析，此方法只需基态数据就能成功找到了量子相变的临界点：5结 论本文运用混淆标签方案来标记数据集，设计CNN来寻找耦合两分量BEC发生易混合-不易混合量子相变的临界点对于只存在两种相的系统，CNN的性能曲线呈现W型，其中间峰值对应着两相的临界点，深度学习的结果符合理论预期.研究结果表明，深度学习的研究方法在无需已知序参量和其他物理条件时，仅通过系统的基态波函数就可以找到量子相变点我们通过以寻找耦合两分量BEC中量子相变点为例，可以把运用混淆标签方案的深度学习方法推广到只存在两种相的相变系统当然，在遇到一些未知的物理问题时，也可尝试使用深度学习的方法来研究.参考文献：1Zvyagintseva D,Sigurdsson H,Kozin V K,et al.Ma-chine learning of phase transitions in nonlinear polari-ton lattices J.Commun.Phys.,2022,8:5.2Carleo G,Cirac I,Cranmer K,et al.Machine learn-ing and the physical sciences J.Rev.Mod.Phys.,2019,91:045002.3Metz F,Polo J,Weber N,et al.Deep-learning-based quantum vortex detection in atomic Bose-Ein-stein condensates J.Mach.Learn.:Sci.Technol.,2021,2:035019.4Guo S F,Chen F,Liu Q,et al.Faster state 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