资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．设若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数则其在区间上的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数，那么的值为（）
A.25 B.16
C.9 D.3
4．若角，均为锐角，，，则（）
A. B.
C. D.
5．sin210°·cos120°的值为（ ）
A. B.
C. D.
6．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
7．设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．已知，，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
9．16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知，，设，则所在的区间为（是自然对数的底数）（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是
A. B.
C. D.
11．将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12．若正实数满足，（为自然对数的底数），则（）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．直线,当变动时,所有直线都通过定点______.
14．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，乙以获胜的概率为______.
15．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.
16．若，其中，则的值为______
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．某公司为了解宿州市用户对其产品的满意度，从宿州市，两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到地区用户满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的用户满意度评分的频数分布表（如表1）
满意度评分
频数
2
8
14
10
6
表1
满意度评分
低于70分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
表2
（1）求图中的值，并分别求出，两地区样本用户满意度评分低于70分的频率
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级（如表2），将频率看作概率，从，两地用户中各随机抽查1名用户进行调查，求至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率.
18．已知函数（且）为奇函数.
（1）求n的值；
（2）若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明；
（3）在（2）的条件下证明：当时，.
19．已知函数.
（1）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
问题：已知函数___________，，求的值域.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
（2）若，，，求的取值范围.
20．已知角的终边上一点的坐标是，其中，求，，的值.
21．已知 cos (−α) =，sin (+β)= −，αÎ(，)，βÎ(，).
（1）求sin 2α的值；
（2）求cos (α + β )的值.
22．已知函数的定义域为.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】将分别与比较大小，即可判断得三者的大小关系.
【详解】因为，，，所以可得的大小关系为.
故选：A
2、D
【解析】为奇函数，去掉A,B；当 时,所以选D.
点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系
3、C
【解析】根据分段函数解析式求得.
【详解】因为，所以.
故选：C
4、B
【解析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.
【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则，
所以，.
故选：B
5、A
【解析】直接诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.
【详解】,
故选：A.
6、A
【解析】由圆的对称性可得过圆的圆心且直线与直线垂直，从而可求出.
【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，
故直线与直线垂直，且直线过圆心，
所以，，所以，.
故选：A
【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.
7、C
【解析】将分别看成对应函数的交点的横坐标，在同一坐标系作出函数的图像，数形结合可得答案.
【详解】在同一坐标系中分别画出，，的图象，
与的交点的横坐标为，
与的图象的交点的横坐标为，
与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出
故选：C
8、A
【解析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.
【详解】解：因为函数在上单调递减，所以；
；
因为满足，即是方程的实数根，
所以是函数的零点，
易知函数f(x)在定义域内是减函数，
因为，，
所以函数有唯一零点，即.
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.
9、A
【解析】根据指数与对数运算法则直接计算.
【详解】，
所以
故选：A.
10、B
【解析】∵在上是增函数，且，中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；
即：；或
由于实数是函数的一个零点，
当时，
当 时，
故选B
11、C
【解析】先由图象的变换求出的解析式，再由定义域求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得 的取值范围.
【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得 的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，∴周期 ，
由，则 ，
若函数在上没有零点，结合正弦函数 的图象观察
则
∴ ， ，解得，
又，解得 ，
当时，解得，当 时，，可得，
.
故选：C
【点睛】本题考查正弦型的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式求解，属于较难题.
第II卷
12、C
【解析】由指数式与对数式互化为相同形式后求解
【详解】由题意得：，，，①，
又，，
，
和是方程的根，
由于方程的根唯一，，
由①知，，
故选：C
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、 (3,1)
【解析】
将直线方程变形为,得到,解出,即可得到定点坐标.
【详解】由,得,
对于任意,式子恒成立,则有,
解出,
故答案为:(3,1).
【点睛】本题考查直线过定点问题,直线一定过两直线、的交点.
14、15
【解析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，根据相互独立事件概率公式计算可得；
【详解】解：依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，
其中发球方分别是甲、乙、甲、乙；
所以乙以获胜的概率
故答案为：
15、
【解析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.
【详解】设扇形的半径为r，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为.
故答案为：.
16、；
【解析】
因为，所以
点睛：三角函数求值三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；地区样本用户满意度评分低于70分的频率为；地区样本用户满意度评分低于70分的频率为
（2）
【解析】（1）由频率和等于1计算可求得，进而计算低于70分的频率即可得出结果.
（2）由（1）可知，记从地区随机抽取一名用户评分低于70分的事件记为，则；可以记从地区随机抽取一名用户评分低于的事件记为，则，由对立事件的概率公式计算即可得出结果.
【小问1详解】
根据地区的频率直方图可得
，解得
所以地区样本用户满意度评分低于70分的频率为
地区样本用户满意度评分低于70分的频率为
【小问2详解】
根据用样本频率可以估计总体的频率，可以记从地区随机抽取一名用户评分低于70分的事件记为，则；可以记从地区随机抽取一名用户评分低于的事件记为，则
易知事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立，记事件“至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意””为事件
所以
故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为
18、（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由奇函数的定义可得，然后可得，进而计算得出n的值；
（2）由可得，则，然后利用定义证明函数单调性即可；
（3）由（2）知，先可证得，又，可证得，最后得出结论即可.
【详解】（1）函数定义域为，且为奇函数，
所以有，即，
整理得，由条件可得，所以，即；
（2）由，得，此时，
任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，
则，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）知，函数在上单调递增，
当时，，
又，从而，
又，
而当时，，，所以，
综上，当时，.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的步骤：①取值，②作差、变形（变形主要指通分、因式分解、合并同类项等），③定号，④判断.
19、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）根据复合函数的性质即可得到的值域；
（2）令，求出其最小值，则问题转化为恒成立，进而求最小值即可.
【小问1详解】
选择①，，
令，则，故函数的值域为R，即的值域为R.
选择②，，令，则，
因为函数单调递增，所以，即的值域为.
【小问2详解】
令.
当时，，，；
当时，，，.
因为，所以的最小值为0，
所以，即.
令，则，所以，
故，即的取值范围为.
20、答案见解析
【解析】首先求出，再分和两种情况讨论，根据三角函数的定义计算可得；
详解】解：令，，
则，
①当时，
，，；
②当时，
，，；
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用可以快速得到sin 2α的值；
（2）以“组配角”去求cos (α + β )的值简单快捷.
【小问1详解】
∵，
∴，∴，
∴
【小问2详解】
，，，
则
又，，
则
故
22、（1）A（2）
【解析】(1)由函数的解析式分别令真数为正数，被开方数非负确定集合A即可；
(2)分类讨论和两种情况确定实数的取值范围即可.
【详解】（1）由，解得，
由，解得，
∴ .
（2）当时，函数在上单调递增.
∵，
∴，即.
于是.
要使，则满足，解得.
∴.
当时，函数在上单调递减.
∵，
∴，即.
于是
要使，则满足，解得与矛盾.
∴.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，集合之间的关系与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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