资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（）
A.的定义域为 B.的值域为
C.为偶函数 D.为减函数
2．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
3．若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是
A.函数在区间内有零点
B.函数在区间或内有零点
C.函数在区间内无零点
D.函数在区间内无零点
4．若点和都在直线上，又点和点，则
A.点和都不直线上 B.点和都在直线上
C.点直线上且不在直线上 D.点不在直线上且在直线上
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P，则点P的坐标为
A. ，
B. ，
C. ，
D.
6．若，则（）
A. B.
C. D.
7．函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
8．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A. B.
C. D.
9．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据：，）
A.4011 B.3438
C.2865 D.2292
10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）
A. B.6
C. D.7
11．已知函数的定义域与值域均为，则（）
A. B.
C. D.1
12．函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．函数 (且)恒过的定点坐标为_____，若直线经过点且，则的最小值为___________.
14．若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.
15．若，，则=______；_______
16．已知角的终边过点，则__________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上解析式；
（2）若与有3个交点，求实数的取值范围.
18．已知集合，
（1）当时，求集合；
（2）若，“”是“”的充分条件，求实数的取值范围
19．如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为.
（1）求函数的解析式，并求；
（2）若，求的值.
20．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
21．设，其中
（1）当时，求函数的图像与直线交点的坐标；
（2）若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；
（3）若函数在上不具有单调性，求a的取值范围
22．（1）已知求的值
（2）已知，且为第四象限角，求的值.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；
故选：C
2、D
【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，
所以，所以，故选D
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围
3、D
【解析】有题意可知，函数唯一的一个零点应在区间内，所以函数在区间内无零点
考点：函数的零点个数问题
4、B
【解析】由题意得：，
易得点满足
由方程组得，两式相加得，即点 在直线上，
故选B.
5、D
【解析】直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标
【详解】设，由任意角的三角函数的定义得，
，
点P的坐标为
故选D
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题
6、A
【解析】利用作为分段点进行比较，从而确定正确答案.
【详解】，
所以.
故选：A
7、B
【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合，所以的零点有2个，选B.
8、C
【解析】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.
9、A
【解析】由已知条件可得，两边同时取以2为底的对数，化简计算可求得答案
【详解】因为碳14的质量是原来的至，所以，
两边同时取以2为底的对数得，
所以，所以，
则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.
故选：A.
10、D
【解析】先求出，再求出即得解.
【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则
由题设，当时，，则
因为为奇函数，所以.
故选：D
11、A
【解析】根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】解：∵的解集为，
∴方程的解为或4，
则，，，
∴，
又因函数的值域为，
∴，∴.
故选：A.
12、D
【解析】由图像知A="1," ,,
得，则图像向右
移个单位后得到的图像解析式为，故选D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ①. ②.
【解析】根据对数函数过定点得过定点，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：函数 (且)由函数(且)向上平移1个单位得到，函数(且)过定点，
所以函数过定点，即，
所以，
因为，所以
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为
故答案为：；
14、
【解析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，
所以在区间上单调上单调递减，且，
所以的解集为.
故答案为：
15、 ①. ②.
【解析】首先指对互化，求，再求；第二问利用指数运算，对数，化简求值.
【详解】，，
所以；
,，
所以
故答案为：；
16、
【解析】∵角的终边过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴cos=
故答案为
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可
（2）与图象交点有3个，画出图象观察，求得实数的取值范围
【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以.
所以.
综上：.
（2）图象如下图所示：
单调增区间： 单调减区间：.
因为方程有三个不同的解，
由图象可知， ，即
18、（1）
（2）
【解析】（1）先化简集合A，由解得集合，然后利用并集运算求解.
（2）根据“”是“”的充分条件，转化为求解.
【小问1详解】
由得：，即，
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
由“”是“”的充分条件，则，
则，
实数的取值范围是.
19、（1），；（2）.
【解析】（1）由三角函数的定义得到，进而代入计算；
（2）由已知得，将所求利用诱导公式转化即得.
【详解】解：（1）因为，
所以，
由三角函数定义，得.
所以.
（2）因为，所以，
所以
.
【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想.
已知求时要将已知中角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.
20、（1）；（2）0.
【解析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】（1）
；
（2）
21、（1），
（2）
（3）
【解析】（1）联立方程直接计算；
（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解；
（3）根据二次函数单调性可得参数范围.
【小问1详解】
当时，，
联立方程，解得：或，
即交点坐标为和.
【小问2详解】
由有两个不相等的正数零点，
得方程有两个不等的正实根，，
即，解得；
【小问3详解】
函数在上单调递增，在上单调递减；
又函数在上不具有单调性，
所以，即.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）由诱导公式得，进而由，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含的式子，从而得解
（2）由，结合角的范围可得解.
【详解】（1）由，得，
所以，
.
（2），
所以，
又为第四象限角，所以，
所以.
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