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《数学分析选讲》A/B模拟练习题参考答案

一、 选择题：（共18题，每题3分）
1、下列命题中正确的是（ A B ）
A、若，则是的不定积分，其中为任意常数
B、若在上无界，则在上不可积
C、若在上有界，则在上可积
D、若在上可积，则在上可积
2、设，则当时，有（ B ）
A．与是等价无穷小
B．与同阶但非是等价无穷小
C．是比高阶的无穷小
D．是比低阶的无穷小
3、若为连续奇函数,则为( A )
A、奇函数 B、偶函数
C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.
4、函数在上连续是在上可积的（ A ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件.
5、若为连续奇函数,则为( B )
A、奇函数 B、偶函数
C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.
6、设 则是的（ B ）
A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点

7、设,当时,恒有,已知,.则正确的选项是( A )
A、 B、 C、 D、A和B的大小关系不定.
8、函数f(x,y) 在点连续是它在该点偏导数都存在的（ A ）
A.既非充分也非必要条件 B充分条件
C.必要条件 D.充要条件
9、极限( D )
A、 B、 C、 D、不存在.
10、部分和数列有界是正项级数收敛的( C )条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C.充分必要 D.非充分非必要
11、极限( A )
A、 B、 C、 D、不存在.
12、与的定义等价的是（ B D ）
A、 总有
B、 至多只有的有限项落在之外
C、存在自然数N，对当，有
D、存在自然数N，对有
13、曲线( D )
A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线
C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线
14、下列命题中，错误的是（ A D ）
A、若在点连续，则在既是右连续，又是左连续
B、若对在上连续，则在上连续
C、若是初等函数，其定义域为，，则
D、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在且相等
15、设 为单调数列，若存在一收敛子列，这时有（ A ）
A、　
B、不一定收敛　　
C、不一定有界
D、当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A成立
16、设在R上为一连续函数，则有（ C ）
A、当为开区间时必为开区间　
B、当为闭区间时必为闭区间
C、当为开区间时必为开区间　
D、以上A,B,C都不一定成立
17、下列命题中错误的是（ Ａ Ｃ ）
A、若，级数收敛，则收敛；
B、若，级数收敛，则不一定收敛；
C、若是正项级数，且有则收敛；
D、若，则发散
18、设 为一正项级数，这时有（ D ）
A、若,则 收敛　　　
B、若 收敛，则
C、若 收敛，则　
D、以上A,B,C都不一定成立

二、 填空题：（共15题，每题2分）
1、设，则 2或-2
2、=
3、=
4、= 2
5、设收敛，则= 10
6、=
7、 2
8、 8
9、设，则
10、设，则
11、幂级数的收敛半径为 1
12、积分的值为 0
13、曲线与轴所围成部分的面积为 36
14、
15、= 0

三、计算题：（共15题，每题8分）
1、求.
解：
=

2、将展开成的幂级数，并指出其收敛域。
解： = =
且由 知

3、求
解：原式＝０（有界量乘以无穷小量）

4、求
解：令，原式＝
5、求
解：原式＝

6、求极限
解：

7、设 , 求
解：当时，；

8、设，其中为何值时，在x=0处可导，为什么，并求。
解：
，故要使存在，必须
又
要使有导数存在,必须b=0.
综上可知,当A=b=0,为任意常数时，在x=0处可导，且

9、计算下列第一型曲面积分：其中为
解: 由平面构成:

10、
解：

11、
解：由洛必达（L’Hospital）法则得

12、
解：

13、
解:

14、
解:

15、
解:

四、证明题（共17题，共156分）
1、（6分）设函数在上连续，在内可导，且。试证：如果，则方程在内仅有一个实根。
证明：因为在上连续，在内可导，，
于是由零点存在定理知，至少存在一点使得，又，
因此知在上为严格格单调增加的，
故方程在内仅有一个实根。

2、（10分）指出函数的不连续点，并判定不连续点的类型.
解： 的不连续点为
又

而在点没有定义，于是知为的第一类不连续点；
为的第二类不连续点；为的第三类不连续点。

3、（10分）设在上连续，在内可导，，又，证明在内有.
证明：由于
又在上连续，在内可导，，由拉格朗日中值定理知，使得，从而在内有

4、（12分）设
（1）证明在（0，0）点连续
（2）求
（3）证明在（0，0）点可微
解：（1）令则

故在（0，0）点连续。
（2）

（3）由于

即在（0，0）点可微.

5、（6分）设在严格单调递减，存在，
且试证明.
证明：令，则由题意有

6、(10分) 设为可微函数.求，其中（1）
解：将已知等式两边对x求导得
（2）
将x=0代入(1)式解得，再将x=0代入（2）得

7、(10分)在-1<x<1有意义，证明
证明：令，则

，即（1）
将x=0代入（1）
但
8、(10分)求幂级数的收敛域。
解：由于，则R=2，即当时其绝对收敛
又当x+1=2，即x=1时，原级数为发散
当，即时，原级数为收敛
故原级数的收敛域为

9、（7分）证明：当时，.
证明：设，则在连续. 则在单调增加。
则对任意有，
即

10、（10分）设在上可微，且满足 (1)求证：在(0,1)内至少存在一点，使.
证明：由(1)式及积分中值定理知，存在，使
(2)
令,则由(2)式及假设可知在上满足罗尔定理的条件，故存在使

11、(10分) 求的收敛域，并求其和函数.
解：设，则由及都发散，
可知的收敛域为(1,-1).
再由于

12、(10分)设 试证明：在x=0处连续.
证明：

则

因此在x=0处连续.

13、（6分）证明由积分确定的连续函数零点定理：设在上连续，若，则，使得.
证明：用反证法. 若对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必，使得.

14、（10分）设在上连续,且满足.试证:,使得.
证明：取变换,则,已知积分等式变为
.
注意到时,也有,因而在上连续,于是
.
由此可得,使得.

15、（12分）设在上连续,在内可导,且,记,(1)求;(2)求证:,使得;
解：(1) ;
(2) 因为,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,,使得,即;

16、（7分）设，试证数列存在极限，并求此极限。
证明：由知，。
假设，则，由归纳法知为单调下降数列，又显然有，所以有下界。由单调有界原理知，数列收敛，所以可令，对两边取极限得，解得,故

17、（10分）设，证明：在处可微；在处不可微。
证明：因为，所以函数在处可导，由可导与可微的关系知在处可微；
又当时，，
而极限不存在，故在处不可导，由可导与可微的关系知在处不可微。