初中数学二次函数经典综合大题练习卷.doc

1、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；
（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）如图9（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元）
图①                     图②
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
3、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为．求：
（1）的坐标为                ；
（2）当为何值时，与相似？
（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．

4、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为，顶点C,D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点有　　　　　个．

5、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为何值时，与相互平分；
（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？

6、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

7、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．
(1)确定A.C.D三点的坐标；
(2)求过B.C.D三点的抛物线的解析式；
(3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M.N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．
(4)当＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．
8、如图，直线AB过点A(m,0)，B(0,n)(m>0,n>0)反比例函数的图象与AB交于C，D两点，P为双曲线一点，过P作轴于Q，轴于R，请分别按(1)(2)(3)各自的要求解答闷题。    
(1)若m+n=10，当n为何值时的面积最大?最大是多少?
(2)若，求n的值：
(3)在(2)的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少?

9、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。
（1） 如图1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。

（2）如图2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长。

（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。
10、如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．

（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：
①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．
11、OM是一堵高为2.5米的围墙的截面，小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处，经过的路线是二次函数图像的一部分，如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的E点，现以O为原点，单位长度为1，建立如图所示的平面直角坐标系，E点的坐标(3，)，点B和点E关于此二次函数的对称轴对称，若tan∠OCM=1(围墙厚度忽略不计)。 
(1)求CD所在直线的函数表达式；
(2)求B点的坐标；
(3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方?

12、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
 （1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
13、如图，抛物线交轴于A．B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C．D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A．B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

14、已知四边形是矩形，，直线分别与交与两点，为对角线上一动点（不与重合）．
（1）当点分别为的中点时，（如图1）问点在上运动时，点、、能否构成直角三角形？若能，共有几个，并在图1中画出所有满足条件的三角形．
（2）若，，为的中点，当直线移动时，始终保持，（如图2）求的面积与的长之间的函数关系式．

15、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

16、如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

17、如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交
于点C，且当=0和=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。

试卷答题纸

参考答案
1、解：（1）∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，
∴    解得：  

抛物线的解析式为：  
∵由，解得：
∴          
∵由
∴D（1,4）           
（2）∵四边形AEBF是平行四边形，
∴BF=AE．
设直线BD的解析式为：，则
∵B（0，3），D（1,4）
∴         解得：  

∴直线BD的解析式为： 
当y=0时，x=-3   ∴E（-3，0）， ∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，   ∴AE=2     ∴BF=2，
∴F的横坐标为2，  ∴y=3，   ∴F（2，3）；
（3）如图，设Q，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），
∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3 
∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA
=
=
∴S△PQA=

∴当时，S△PQA的最大面积为，
此时Q   
2、（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k •1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a •22， ，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2= x2；
（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8－x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8－x）+ x2= x2－2x+16= （x－2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，∴ 当x=8时，z的最大值是32．
3、（1）Ｃ（４，１）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．        ２分
（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）（1分）
当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，（1分）    Ｓ＝    （1分）
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，           Ｓ＝     （1分）
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，           Ｓ＝     （1分）
4、解：（1）作BF⊥y轴于F。
因为A（0，10），B（8，4）
所以FB=8，FA=6
所以
（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10秒。
又因为AB=10，10÷10=1
所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位。
（3）方法一：作PG⊥y轴于G
则PG//BF
所以，即
所以
所以
因为OQ=4+t
所以

即
因为
且
当时，S有最大值。
方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9

设所求函数关系式为

因为抛物线过点（10，28），（5，）
所以
所以
所以
因为
且
当时，S有最大值。
此时
所以点P的坐标为（）。
（4）当点P沿AB边运动时，∠OPQ由锐角→直角→钝角；当点P沿BC边运动时，∠OPQ由钝角→直角→锐角（证明略），故符合条件的点P有2个。
5、解：（1）作于点，

如图所示，则四边形为矩形．

又

在中，由勾股定理得：
（2）假设与相互平分．
由
则是平行四边形（此时在上）．
即
解得即秒时，与相互平分．
（3）①当在上，即时，
作于，则
即

=
当秒时，有最大值为
②当在上，即时，

=
易知随的增大而减小．
故当秒时，有最大值为

综上，当时，有最大值为
6、

（1）.
（2）由题意得点与点′关于轴对称，，
将′的坐标代入得，
（不合题意，舍去），.
，点到轴的距离为3.
， ，直线的解析式为，
它与轴的交点为点到轴的距离为.
.
（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，
把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，
得：
（不舍题意，舍去），，
.
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，
．
与关于原点对称，，
将点坐标代入抛物线解析式得：，
（不合题意，舍去），，．
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．
7、解：(1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0)
∴点A的坐标是(－4，0)               
由tan∠BAC＝2可得OC＝8
∴C(0，8)                            
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是(4，0)                  
(2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4)
代入点C(0，8)，解得a＝1             
∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8      
(3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M(1，3)，N(5，3)，＝4              
而抛物线的顶点为(3，－1)
当y＞3时
S＝4(y－3)＝4y－12
当－1≤y＜3时
S＝4(3－y)＝－4y＋12                     
(4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大
∴当x＝3，y＝－1时，h＝4
S＝•h＝4×4＝16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16 
8、解：(1)

所以n=5时，面积最大值是             
(2)当时，有AC=CD=DB   
过C分别作x轴，y轴的垂线可得c坐标为()             
代入得         
(3)当时，得
设解析式为得，             
所以对称轴             
因为P(x，y)在上
所以四边形PROQ的面积   
9、解：（1）∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1= ，A2B2＝，A3B3＝
设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b。
∴  解得
∴直线A1A2的解析式为。
∴CB2＝2×2－＝
∴CA2=CB2－A2B2=－2＝。
  (2)设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。
                则A1B1= ，A2B2=n2－n＋1，
                  A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。
设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b
∴
解得
∴直线A1A3的解析式为
∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋
∴CA2= CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。
          (3)当a＞0时，CA2＝a；当a＜0时，CA2＝－a
10、解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知两点的坐标分别为．设直线所对应的函数关系式为．
有解得
所以，直线所对应的函数关系式为．
（2）①点到轴距离与线段的长总相等．
因为点的坐标为，
所以，直线所对应的函数关系式为．
又因为点在直线上，
所以可设点的坐标为．
过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．

因为点在直线上，所以有．
因为纸板为平行移动，故有，即．
又，所以．
法一：故，
从而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
从而总有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故点坐标为．
设直线所对应的函数关系式为，
则有解得
所以，直线所对的函数关系式为．
将点的坐标代入，可得．解得．
而，从而总有．
②由①知，点的坐标为，点的坐标为．

．
当时，有最大值，最大值为．
取最大值时点的坐标为．
11、解：(1)∵OM=2.5，tan∠OCM=1，
        ∴∠OCM=，OC=OM=2.5。
        ∴C(2.5，0)，M(0，2.5)。
    设CD的解析式为y=kx+2.5 (k≠o)，
       2.5k+2.5=0，
       k= 一1。
    ∴y= ―x+2.5。      
  (2)∵B、E关于对称轴对称，∴B(x，)。 
    又∵B在y=一x+2.5上，∴x= 一l。
    ∴B(―1，)。
  (3)抛物线y=经过B(一1，)，E(3，)，
∴

    ∴y=，
    令y=o，则=0，解得或。
  所以沙包距围墙的距离为6米。
12、（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A
    ∴点A的坐标为（4，0）
    ∵抛物线经过O、A两点

 解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
    ∴点A的坐标为（4，0）
    ∵抛物线经过O、A两点
    ∴抛物线的对称轴为直线

（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA
    ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
    又由（1）知抛物线的解析式为
    ∴点D的坐标为（）
    ①当时，

    如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
    ∴点D'与点D也关于x轴对称
    ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切
    ∴点O为切点        ∴D'O⊥OD
    ∴∠DOA＝∠D'OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形      
∴点D的纵坐标为-2

    ∴抛物线的解析式为
    ②当时，
    同理可得：
    抛物线的解析式为
    综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或
（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
    设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①     当点P在抛物线上时（如图2）

    ∵点B是⊙D的优弧上的一点

    过点P作PE⊥x轴于点E

    由解得：（舍去）
    ∴点P的坐标为
    ②当点P在抛物线上时（如图3）

    同理可得，
    由解得：（舍去）
    ∴点P的坐标为
    综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：
    或
二、计算题

13、解：（1）令

抛物线向右平移2个单位得抛物线,
.
抛物线为
即。
（2）存在。
令
抛物线是向右平移2个单位得到的，
在上，且
又.
四边形为平行四边形。
同理，上的点满足
四边形为平行四边形
,,即为所求。
（3）设点P关于原点得对称点

且
将点Q得横坐标代入，
得
点Q不在抛物线上。
14、解：（1）能，共有4个．
　　点位置如图所示：

（2）在矩形中
　　　　，，．
　　　　∵S△ABC =BC・AB，
　　　　．
　　　，．
　　　在中
　　　，
　　　∴△BEF ∽ △BAC．
　　　．
　　　．
　　　．
　　　，，
　　　∴S△AEP = S△CPF =CP・FC・sin∠ACB．
　　　，
　　　．

15、解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．
抛物线过原点，
．
．
抛物线的解析式为，
即．
（2）如图1，当四边形是平行四边形时，
．
由，
得，，
，．
点的横坐标为．
将代入，
得，
；
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．・・・・・
（3）如图2，由抛物线的对称性可知：
，．
若与相似，
必须有．
设交抛物线的对称轴于点，
显然，
直线的解析式为．
由，得，．
．
过作轴，
在中，，，
．
．．
与不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．
16、解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3.                  
∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) .              
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
  过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
  则BG⊥直线x=2，BG=4.
  在Rt△BGC中，BC=.
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5. 
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），
∴ BD=DE.
即D是BE的中点.            
（3）存在.                 
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得  .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
∵ 动点P的坐标为(x，)，
∴ x-1=.  
解得 ，.    ∴ ，.
∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).
17、解：（1）∵当和时，的值相等，∴，
∴，∴
将代入，得，
将代入，得
∴设抛物线的解析式为
将点代入，得，解得．
∴抛物线，即
（2）设直线OM的解析式为，将点M代入，得，
∴
则点P,,而,．
=
的取值范围为：＜≤
（3）随着点的运动，四边形的面积有最大值．
   从图像可看出，随着点由→运动，的面积与的面积在不断增大,即不断变大，当然点运动到点时，最值
   此时时，点在线段的中点上
  因而．
  当时，,∥,∴四边形是平行四边形．
（4）随着点的运动，存在，能满足
   设点，，． 由勾股定理，得．
   ∵,∴，＜，（不合题意）
   ∴当时，