资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最合适的是（）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.51
4.04
7.51
12.03
18.01
A. B.
C. D.
2．已知集合
A. B.
C. D.
3．设集合，则是
A. B.
C. D.有限集
4．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
6．为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（）
分档
户年用水量
综合用水单价/（元）
第一阶梯
（含）
第二阶梯
（含）
第三阶梯
以上
A. B.
C. D.
7．锐角三角形的内角、满足：，则有（）
A. B.
C. D.
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
9．设函数，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．若是圆上动点,则点到直线距离的最大值
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知集合，，则集合中元素的个数为__________
12．已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________.
13．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是
A. B. C. D.
14．函数的单调递增区间是_________
15．设，，则的取值范围是______.
16．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且
求函数的定义域；
求满足实数x的取值范围
18．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点.
（1）证明:平面;
（2）求三棱锥的体积.
19． “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年：当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.
（1）当时，求关于的函数解析式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
20．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各选1名，求选出的两名教师性别相同的概率
（2）若从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的概率
21．已知集合
（1）当时，求；
（2）若“”是“”充分条件，求实数a的取值范围
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，逐一判断，选择与实际数据接近的函数得选项.
【详解】解：由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，
对于A，函数是线性增加的函数，与表中的数据增加趋势不符合，故A不正确；
对于C，函数，当，与表中数据7.5的误差很大，不符合要求，故C不正确；
对于D，函数，当，与表中数据4.04的误差很大，不符合要求，故D不正确；
对于B，当，与表中数据1.51接近，
当，与表中数据4.04接近，
当，与表中数据7.51接近，
所以，B选项的函数是最接近实际的一个函数，
故选：B
2、D
【解析】由已知，所以
考点：集合的运算
3、C
【解析】根据二次函数和指数函数的图象和性质，分别求出两集合中函数的值域，求出两集合的交集即可
【详解】由集合S中的函数y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；
由集合T中的函数y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，则S∩T＝S
故选C
【点睛】本题属于求函数值域，考查了交集的求法，属于基础题
4、B
【解析】因为与夹角为锐角，所以cos<,>>0，且与不共线，由得，k>－2且，故选B
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量夹角公式
点评：基础题，由夹角为锐角，可得到k得到不等式，应注意夹角为0°时，夹角的余弦值也大于0.
5、D
【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】依题意得.
故选：D.
6、B
【解析】设户年用水量为，年缴纳税费为元，根据题意求出的解析式，再利用分段函数的解析式可求出结果.
【详解】设户年用水量为，年缴纳的税费为元，
则，即，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，解得，
所以艾世宗一家年共用水.
故选：B
7、C
【解析】根据三角恒等变换及诱导公式化简变形即可.
【详解】将，变形为则
，又，故，
即，，
因为内角、都为锐角，则，故，即
，，所以.
故选：C.
8、D
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】因为，，，
所以，
故选：D
9、D
【解析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可
【详解】解：函数的图象如图：
满足，
可得或，
解得
故选：D
10、C
【解析】圆的圆心为(0,3)，半径为1.
是圆上动点,则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径即可.
又直线恒过定点，所以.
所以点到直线距离的最大值为4+1=5.
故选C.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】依题意，故，即元素个数为个.
12、
【解析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】如图所示：根据函数的图象
得，所以．结合函数图象，
易知当时在上取得最大值，所以
又，所以，
再结合，可得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
13、D
【解析】由于函数为奇函数，且在上单调递增，结合函数的图象可知该函数的半周期大于或等于，所以，所以选择D
考点：三角函数的图象与性质
14、
【解析】设 ，或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数单调递增区间是.
15、
【解析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围
【详解】，，所以，
所以
，
，，，
故答案为：
16、
【解析】将函数转化为方程，作出的图像，结合图像分析即可.
【详解】令得，
作出的函数图像，如图，
因为有4个零点，
所以直线与的图像有4个交点，
所以.
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】由题意可得，，解不等式可求；由已知可得，结合a的范围，进行分类讨论求解x的范围
【详解】（1）由题意可得，，
解可得，，
函数的定义域为，
由，
可得，
时，，
解可得，，
时，，
解可得，
【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域及利用对数函数单调性求解对数不等式，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题
18、（1）证明见解析（2）
【解析】（1）连接,设,连接EF,EO,利用中位线和正方体的性质证明四边形是平行四边形,进而可证平面；
（2）由平面可得点F,到平面的距离相等,则,进而求得三棱锥的体积即可
【详解】（1）证明：连接,设,连接EF,EO,
因为E,F分别是棱的中点,所以,,
因为正方体,所以,,
所以,,
所以四边形是平行四边形,
所以,
又平面,平面,
所以平面
（2）由（1）可得点F,到平面的距离相等,
所以,
又三棱锥的高为棱长,即,
,
所以.
所以
【点睛】本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积,考查转化思想
19、（1）；（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为千克/立方米.
【解析】（1）由题意：当时，．当时，设，在，是减函数，由已知得，能求出函数
（2）依题意并由（1），，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果
【详解】解：（1）由题意：当时，
当时，设，显然在，减函数，
由已知得，
解得，，
故函数
（2）依题意并由（1）得，
当时，为增函数，
且
当时，，
所以，当时，的最大值为12.5
当养殖密度为10尾立方米时，
鱼年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克立方米
【点睛】(1)很多实际问题中，变量间关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值
20、（1）（2）
【解析】（1）利用古典概型概率公式可知
（2）从报名的6名教师中任选2名，求选出的两名教师来自同一学校的情况为，则
21、（1）；
（2）或.
【解析】(1)解一元二次不等式化简集合B，把代入，利用补集、交集的定义直接计算作答.
(2)由给定条件可得，再借助集合的包含关系列式计算作答.
【小问1详解】
当时，，解不等式得：或，
则或，有，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，或，因“”是“”的充分条件，则，
显然，，因此，或，解得或，
所以实数a取值范围是或.
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