数值计算方法数学与信息科学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数值计算方法 数学与信息科学系数学与信息科学系 汪远征汪远征第1页绪 言1.1 为何要学习数值分析1.2 怎样学习数值分析1.3 数值分析研究对象与特点第2页绪 言1.1 1.1 为何要学习数值分析为何要学习数值分析现实世界问题能够归结为各种各样数学问题现实世界问题能够归结为各种各样数学问题 方程求根问题方程求根问题 解线性方程组问题解线性方程组问题 定积分问题定积分问题 常微分方程初值问题常微分方程初值问题等等等等第3页1.方程求根问题在在科科学学计计算算中中常常要要碰碰到到求求解解各各种种方方程程，对对于于高高次次代代数数方方程程，由由代代数数基基本本定定理理知知多多项项式式根根个个数数和和方方程程阶阶相相同同，但但对对超超越越方方程程就就复复杂杂多多，假假如如有有解解，其其解解可可能能是是一一个个或或几几个个，也也可可能是无穷多个。比如：能是无穷多个。比如：高次代数方程高次代数方程 x5 3x7=0超越方程超越方程 e-x cosx=0看似简单，但难求其准确解。看似简单，但难求其准确解。第4页2.解线性方程组问题由由线线性性代代数数知知识识可可知知：当当线线性性方方程程组组Ax=b系系数数矩矩阵阵A非非奇奇异异(即即detA0)时时，方方程程组组有有唯唯一一解解，可可用用克克莱莱默默法法则则求求解解，但但它它只只适适合合于于n很很小小情情况况，而而完完全全不不适适合合于于高高次次方方程程组。组。如如用用克克莱莱默默法法则则求求解解一一个个n阶阶方方程程组组，要要算算n+1个个n阶阶行行列列式式值值，总总共共需需要要n!(n-1)(n+1)次次乘乘法法。当当n充充分分大大时时，计计算量是相当惊人：算量是相当惊人：一一个个20阶阶不不算算太太大大方方程程组组，大大约约要要做做1021次次乘乘法法，这这项项计计算算即即使使每每秒秒1万万亿亿次次浮浮点点数数乘乘法法计计算算计计算算机机去去做做，也也要要连连续续工工作作万万亿亿年年才才能能完完成成。当当然然这这是是完完全全没没有有实实际际意意义义，故故需要寻找有效算法需要寻找有效算法第5页3.定积分问题由由微微积积分分知知识识知知，定定积积分分计计算算能能够够使使用用牛牛顿顿莱莱布布尼尼兹兹公式：公式：其中其中F(x)为被积函数为被积函数f(x)原函数。原函数。为何要进行数值积分？为何要进行数值积分？第6页原因之一：许多形式上很简单函数，比如原因之一：许多形式上很简单函数，比如等，它们原函数不能用初等函数表示成有限形式。等，它们原函数不能用初等函数表示成有限形式。原原因因之之二二：有有些些被被积积函函数数原原函函数数过过于于复复杂杂，计计算算不不便便。比比如如一个原函数是一个原函数是第7页原因之三：原因之三：f(x)以离散数据点形式给出：以离散数据点形式给出：xix0 x1xnyi=f(xi)y0y1yn第8页4.常微分方程初值问题对对一一些些经经典典微微分分方方程程，如如可可分分离离变变量量方方程程、一一阶阶线线性性方方程程等等，有有可可能能找找出出它它们们普普通通解解表表示示式式，然然后后用用初初始始条条件件确确定定表表示示式式中中任任意意常常数数，这这么么即即能能确确定定解解。不不过过对对于于常常微微分分方方程初值问题：程初值问题：则无法求出普通解则无法求出普通解第9页1.2 1.2 怎样学习数值分析怎样学习数值分析1.1.注意掌握各种方法基本原理注意掌握各种方法基本原理2.2.注意各种方法结构手法注意各种方法结构手法3.3.重视各种方法误差分析重视各种方法误差分析4.4.做一定量习题做一定量习题5.5.注意与实际问题相联络注意与实际问题相联络第10页1.3 1.3 数值分析研究对象与特点数值分析研究对象与特点1.数值分析研究对象数数值值分分析析实实质质上上是是以以数数学学问问题题为为研研究究对对象象，不不像像纯纯数数学学那那样样只只研研究究数数学学本本身身理理论论，而而是是把把理理论论与与计计算算紧紧密密结结合合，着着重研究数学问题数值方法及理论。重研究数学问题数值方法及理论。数数值值分分析析是是计计算算数数学学一一个个主主要要部部分分，计计算算数数学学是是数数学学科科学学一一个个分分支支，它它研研究究用用计计算算机机求求解解各各种种数数学学问问题题数数值值计计算算方方法及其理论与软件实现。法及其理论与软件实现。第11页2.数值分析特点数值分析含有特点，概括起来有四点。数值分析含有特点，概括起来有四点。(1)(1)面面向向计计算算机机，要要依依据据计计算算机机特特点点提提供供实实际际可可行行有有效效算算法法。即即算算法法只只能能包包含含加加、减减、乘乘、除除运运算算和和逻逻辑辑运运算算，是是计算机能直接处理。计算机能直接处理。(2)(2)有有可可靠靠理理论论分分析析，能能任任意意迫迫近近并并到到达达精精度度要要求求，对对近近似似算算法法要要确确保保收收敛敛性性和和数数值值稳稳定定性性，还还要要对对误误差差进进行行分分析析。这都建立在对应数学理论基础上。这都建立在对应数学理论基础上。第12页2.数值分析特点数值分析含有特点，概括起来有四点。数值分析含有特点，概括起来有四点。(3)(3)要要有有好好计计算算复复杂杂性性，时时间间复复杂杂性性好好是是指指节节约约时时间间，空空间间复复杂杂性性好好是是指指节节约约存存放放量量，这这也也是是建建立立算算法法要要研研究究问问题题，它关系到算法能否在计算机上实现。它关系到算法能否在计算机上实现。(4)(4)要要有有数数值值试试验验，即即任任何何一一个个算算法法除除了了从从理理论论上上要要满满足足上述三点外，还要经过数值试验证实是行之有效。上述三点外，还要经过数值试验证实是行之有效。第13页1.4 1.4 数值分析研究基本概念数值分析研究基本概念1.数学模型实际问题经抽象、简化而产生一组解析表示式或原始数据。实际问题经抽象、简化而产生一组解析表示式或原始数据。第14页2.数值问题输入数据与输出数据之间函数关系一个确定而无歧义描述。输入数据与输出数据之间函数关系一个确定而无歧义描述。例：求二次方程例：求二次方程ax2+bx+c=0根，可算作一个数值问题。根，可算作一个数值问题。注：数学模型并不都是数值问题，如：常微分方程：注：数学模型并不都是数值问题，如：常微分方程：就不是一个数值问题，其解为函数就不是一个数值问题，其解为函数y=x2+3x。要要将将常常微微分分方方程程求求解解问问题题变变成成数数值值问问题题，需需要要进进行行“离离散散化化”：将将求求函函数数转转换换为为求求函函数数值值：y(x1)，y(x2)，y(xn)，0 x1 x2xn=a.第15页3.数值方法求求解解数数值值问问题题计计算算机机上上能能够够执执行行系系列列计计算算公公式式。计计算算机机上上可执行计算公式有：四则运算、逻辑运算、标准函数。可执行计算公式有：四则运算、逻辑运算、标准函数。注：计算公式不都属于数值方法，如积分、求极限运算等。注：计算公式不都属于数值方法，如积分、求极限运算等。第16页4.数值算法指指有有步步骤骤地地完完成成解解数数值值问问题题过过程程，数数值值方方法法是是它它前前提提和和基基础，它是数值方法详细化。具备以下四个特征：础，它是数值方法详细化。具备以下四个特征：(1)(1)目标性：给出输入数据和输出数据明确要求与要求。目标性：给出输入数据和输出数据明确要求与要求。(2)(2)确确定定性性：必必须须准准确确地地给给出出每每一一步步操操作作定定义义，不不允允许许有有歧义。歧义。(3)(3)可执行性：每个操作都是能够执行。可执行性：每个操作都是能够执行。(4)(4)有穷性：必须在有限步内能够结束。有穷性：必须在有限步内能够结束。第17页5.算法设计目标(1)(1)寻寻找找能能到到达达“数数值值问问题题”要要求求计计算算精精度度数数值值方方法法可靠性可靠性(2)(2)提升计算速度和降低存放空间提升计算速度和降低存放空间计算复杂性好计算复杂性好(3)(3)为程序设计做好准备为程序设计做好准备第18页