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4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 课后篇巩固探究 A组 1.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0的( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 答案:D 2.不等式组 表示的平面区域是( ) A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形 解析:画出平面区域(如图阴影部分),该区域是等腰梯形. 答案:D 3.直线2x+y-10=0与不等式组 表示的平面区域的公共点有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 解析:如图所示,不等式组表示的平面区域为阴影部分,直线与阴影只有一个公共点(5,0). 答案:B 4.若不等式组 表示的平面区域经过四个象限,则实数λ的取值范围是( ) A.(-∞,4) B.[1,2] C.(1,4) D.(1,+∞) 答案:D 5.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是 . 解析:由题意得(3+3-a)(2-1-a)<0,解得1<a<6. 答案:(1,6) 6.若用三条直线x+2y=2,2x+y=2,x-y=3围成一个三角形,则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式(组)表示为 . 答案: 7.若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 . 解析:如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件,故a的取值范围应是5≤a<7. 答案:[5,7) 8. 导学号33194067设f(x)=x2+ax+b,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,试求点(a,b)构成的平面区域的面积. 解f(-1)=1-a+b,f(1)=1+a+b, 由 得不等式组 即 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示). 可知平面区域为矩形ABCD,|AB|= ,|BC|= , 所以所求区域面积为 =1. 9.某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如下表: 加工时间/(小时/件) 产品 总有效工时/小时 甲 乙 车间 金工 4 3 480 装配 2 5 500
列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域. 解设分别生产甲、乙两种产品x件和y件,于是满足条件 所以满足的生产条件是图中阴影部分中的整数点. B组 1.在平面直角坐标系中,若点A(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,+∞) D.(0,1) 解析:在直线方程x-2y+4=0中,令x=-2,则y=1,则点(-2,1)在直线x-2y+4=0上,又点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,由图可知,t的取值范围是t>1,故选B. 答案:B 2.若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+ 分为面积相等的两部分,则k的值是( ) A. B. C. D. 解析:不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分的△ABC. 由 得A(1,1), 又B(0,4),C , 所以S△ABC= ×1= . 设y=kx+ 与3x+y=4的交点为D(xD,yD), 则S△BCD= S△ABC= , 所以xD= ,所以yD= , 所以 =k× ,所以k= . 答案:A 3.已知点(1,2)和点(-1,3)在直线2x+ay-1=0的同一侧,则实数a的取值范围是 . 解析:因为(2a+1)(3a-3)>0, 所以a<- 或a>1. 答案: ∪(1,+∞) 4. 导学号33194068若区域A为不等式组 表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 . 解析:如图,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域. 又D(0,1),B(0,2),E ,C(-2,0). 所以S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2- . 答案: 5.以原点为圆心的圆全部在不等式组 表示的平面区域的内部,则圆的面积的最大值为 . 解析:根据条件画出平面区域如图中阴影所示,要使以原点为圆心的圆面积最大,则圆与直线x-y+2=0相切.此时半径r= ,此时圆面积为S=π( )2=2π. 答案:2π 6. 导学号33194069若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 . 解析:不等式表示的平面区域如图, 当x+y=a过A 时,表示的区域是△AOB,此时a= . 当a> 时,表示区域是三角形. 当x+y=a过B(1,0)时,表示的区域是△DOB,此时a=1;当0<a<1时,表示区域是三角形;当a<0时,不表示任何区域,当1<a< 时,表示区域是四边形. 故当0<a≤1或a≥ 时,表示的平面区域为三角形. 答案:(0,1]∪ 7.已知点P(1,-2)及其关于原点对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,求b的取值范围. 解点P(1,-2)关于原点对称点为P'(-1,2), 由题意知 解得 <b< . 故满足条件的b的取值范围为 . 8.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A需要10 min打磨,6 min着色,6 min上漆;桌子B需要5 min打磨,12 min着色,9 min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min,着色每天至多工作480 min,请列出满足生产条件的数学关系式,并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围. 解设家具厂每天生产A类桌子x张,B类桌子y张. 对于A类x张桌子需要打磨10x min,着色6x min,上漆6x min;对于B类y张桌子需要打磨5y min,着色12y min,上漆9y min. 所以题目中包含的限制条件为 上述条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点.
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