2018高三理科数学二轮复习跟踪强化训练16含答案.docx

跟踪强化训练(十六) 1．(2017•西安二模)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx. (1)当x∈0，π3时，求f(x)的值域； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fA2＝32，a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积． [解]　(1)由题意知，f(x)＝3sin2x＋sinxcosx ＝12sin2x－32cos2x＋32＝sin2x－π3＋32， ∵x∈0，π3，∴2x－π3∈－π3，π3， ∴sin2x－π3∈－32，32， 可得f(x)＝sin2x－π3＋32∈[0，3]． (2)∵fA2＝sinA－π3＋32＝32， ∴sinA－π3＝0， ∵A∈(0，π)，A－π3∈－π3，2π3， ∴A－π3＝0，解得A＝π3. ∵a＝4，b＋c＝5， ∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA， 可得16＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝25－3bc，解得bc＝3， ∴S△ABC＝12bcsinA＝12×3×32＝334. 2．(2017•武汉重点学校联考)已知函数f(x)＝sin5π6－2x－2sinx－π4cosx＋3π4. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若x∈π12，π3，且F(x)＝－4λf(x)－cos4x－π3的最小值是－32，求实数λ的值． [解]　(1)∵f(x)＝sin5π6－2x－2sinx－π4cosx＋3π4 ＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x ＝12cos2x＋32sin2x－cos2x ＝sin2x－π6， ∴T＝2π2＝π. 由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)． (2)F(x)＝－4λf(x)－cos4x－π3 ＝－4λsin2x－π6－1－2sin22x－π6 ＝2sin22x－π6－4λsin2x－π6－1 ＝2sin2x－π6－λ2－1－2λ2. ∵x∈π12，π3，∴0≤2x－π6≤π2， ∴0≤sin2x－π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin2x－π6＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知不相符； ②当0≤λ≤1时，当且仅当sin2x－π6＝λ时，f(x)取最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32， 解得λ＝12； ③当λ>1时，当且仅当sin2x－π6＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾． 综上所述，λ＝12. 3．(2017•石家庄一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinCsinA－sinB＝a＋ba－c. (1)求角B的大小； (2)点D满足BD→＝2BC→，且AD＝3，求2a＋c的最大值． [解]　(1)sinCsinA－sinB＝a＋ba－c，由正弦定理可得ca－b＝a＋ba－c， ∴c(a－c)＝(a－b)(a＋b)， 即a2＋c2－b2＝ac. 又a2＋c2－b2＝2accosB， ∴cosB＝12， ∵B∈(0，π)，∴B＝π3. (2)解法一：在△ABD中，由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2ac×cosπ3＝32， ∴(2a＋c)2－9＝3×2ac. ∵2ac≤2a＋c22， ∴(2a＋c)2－9≤34(2a＋c)2， 即(2a＋c)2≤36,2a＋c≤6，当且仅当2a＝c，即a＝32，c＝3时，2a＋c取得最大值，最大值为6. 解法二：在△ABD中，由正弦定理知2asin∠BAD＝csin∠ADB＝3sinπ3＝23， ∴2a＝23sin∠BAD，c＝23sin∠ADB， ∴2a＋c＝23sin∠BAD＋23sin∠ADB ＝23(sin∠BAD＋sin∠ADB) ＝23sin∠BAD＋sin2π3－∠BAD ＝632sin∠BAD＋12cos∠BAD
＝6sin∠BAD＋π6. ∵∠BAD＝0，2π3，∴∠BAD＋π6∈π6，5π6， ∴当∠BAD＋π6＝π2，即∠BAD＝π3时，2a＋c取得最大值，最大值为6. 4．(2017•贵州二模)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝π2，B＝2π3，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝2π3，EC＝7. (1)求sin∠BCE的值； (2)求CD的长． [解]　(1)在△BEC中，由正弦定理，知BEsin∠BCE＝CEsinB. ∵B＝2π3，BE＝1，CE＝7， ∴sin∠BCE＝BE•sinBCE＝327＝2114. (2)∵∠CED＝B＝2π3，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝ 1－328＝5714. ∵A＝π2，∴△AED为直角三角形，又AE＝5， ∴ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27. 在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE•DE•cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－12＝49. ∴CD＝7.

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