2002年考研数学二试题及答案.doc

2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）
（1）设函数在处连续，则______．
【答案】
【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若函数在处连续，则有;
解析：

在处连续即
（2）位于曲线,下方，轴上方的无界图形的面积是______．
【答案】1
【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积
【难易度】★★
【详解】解析：所求面积为．
其中，.
（3）微分方程满足初始条件，的特解是______．
【答案】

【考点】可降阶的高阶微分方程
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
可降阶的高阶微分方程,若缺，则令.
解析：方法1：将改写为，从而得.以初始条件代入，有，所以得.即，改写为.解得.再以初值代入，所以应取且.于是特解.
方法2：这是属于缺的类型.命.
原方程化为，得或
即，不满足初始条件，弃之，
由按分离变量法解之，得由初始条件可将先定出来：.于是得,解之，得.以代入，得，所以应取“+”号且.于是特解是.
（4）______．
【答案】
【考点】定积分的概念
【难易度】★★★
【详解】解析：记

所以

.
（5）矩阵的非零特征值是______．
【答案】4
【考点】矩阵的特征值的计算
【难易度】★★
【详解】解析：
故是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是(二重)）
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则＝（ ）
（A）－1． （B）0.1． （C）1． （D）0.5．
【答案】D
【考点】导数的概念、复合函数的求导法则
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
①为的线性主部；
②；
解析：在可导条件下，.

当时称为的线性主部，
现在，以
代入得，由题设它等于0.1，于是，应选（D）.
（2）设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数
【难易度】★★
【详解】解析：为的奇函数，为的偶函数，（D）正确，（A）、（C）是的奇函数，（B）可能非奇非偶.例如，均不选.
（3）设是二阶常系数微分方程满足初始条件
的特解，则当时，函数的极限 （ ）
（A）不存在． （B）等于1． （C）等于2． （D）等于3．
【答案】C
【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式
【难易度】★★
【详解】解析：方法1：
方法2：由.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有
，代入，有.
（4）设函数在内有界且可导，则（ ）
（A）当时，必有

（B）当存在时，必有
（C）当时，必有
（D）当存在时，必有
【答案】B
【考点】导数的概念
【难易度】★★★★
【详解】解析：方法1：排斥法
（A）的反例它有界，，但不存在.(C)与(D)的反例同（A）的反例.,但，（C）不成立；，（D）也不成立.（A）、（C）、（D）都不对，故选（B）．
　方法2：证明（B）正确.设存在，记为，求证.用反证法，设.若，则由保号性知，存在，当时,在区间上对用拉格朗日中值定理知,有
，从而有，与有界矛盾.类似可证若亦矛盾.
（5）设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有（ ）
（A）线性无关． （B）线性相关．
（C）线性无关． （D）线性相关．
【答案】A
【考点】向量的线性表示
【难易度】★★★
【详解】解析：方法1：对任意常数，向量组，线性无关.
用反证法，若，线性相关，因已知线性无关，故
可由线性表出.

设,因已知可由线性表出，设为代入上式，得
这和 不能由线性表出矛盾.故向量组，线性无关，
应选（A）.
方法2：用排除法
取，向量组，即，线性相关不成立，排除（B）.取，向量组，，即，线性无关不成立，排除（C）.
时，，线性相关不成立（证法与方法1类似，当时，选项（A）、（D）向量组是一样的，但结论不同，其中（A）成立，显然（D）不成立.）
排除（D）.
三、（本题满分6分）
已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程．
【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
①切线方程：
②法线方程：
解析：极坐标曲线化成直角坐标的参数方程为
即
曲线上的点对应的直角坐标为

于是得切线的直角坐标方程为，即
法线方程为即.
四、（本题满分7分）
设求函数的表达式．
【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数
【难易度】★★★
【详解】解析：
当时
当时，
所以
五、（本题满分7分）
已知函数在内可导，，且满足

求．
【考点】导数的概念、一阶线性微分方程
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
；，其中可以代表任何形式；
解析：，

从而得到
于是推得 ， 即
解此微分方程，得
改写成
再由条件，推得，于是得
六、（本题满分7分）
求微分方程的一个解，使得由曲线与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小．
【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值
【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：
解析：一阶线性微分方程，由通解公式有

由曲线与及轴围成的图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ,
令,得
又，故为的惟一极小值点，也是最小值点，
于是所求曲线为
七、（本题满分7分）
某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为，闸门矩形部分的高h应为多少（米）？

【考点】定积分的物理应用—压力
【难易度】★★★★
【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元，
因此压力微元
平板上所受的总压力为
其中以代入，计算得 .
抛物板上所受的总压力为

其中由抛物线方程知，代入，计算得 ，
由题意，即，
解之得（米）（舍去），即闸门矩形部分的高应为.
八、（本题满分8分）
设，证明数列的极限存在，并求此极限．
【考点】数列的极限
【难易度】★★★
【详解】解析：方法1：考虑
（1）

所以（当），即（当），数列有上界.
再考虑
（2）
.
所以单调增加.单调增加数列有上界，所以存在，记为
(3)由两边取极限，于是得
得或，但因且单调增，故，所以.
方法2：由知及均为正数，故
设，则

由数学归纳法知，对任意正整数有.

所以单调增，单调增加数列有上界，所以存在，记为.
再由两边命取极限，得,或，
但因且单调增加，故，所以.
九、（本题满分8分）
设，证明不等式
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑
先证左边不等式，
方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.
而 .
其中第二个不等式来自不等式（当时），这样就证明了要证明的左边.
方法2：用单调性证，将改写为并移项，命，有.
（当），
而推知当时，以代入即得证明.
再证右边不等式，用单调性证，将改写为并移项，命
有，及
所以当时，，再以代入，便得

即.
右边证毕.
十、（本题满分8分）
设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且.
证明：存在惟一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小．
【考点】无穷小的比较，洛必达法则
【难易度】★★★
【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组,

由此知，分子极限应为0，由在连续，于是推知，应有
（1）
由洛必达法则，
（2）
分子的极限为，
若不为，则式（1）应为，与原设为矛盾，故分子的极限应是，即
（3）
对（2）再用洛必达法则，

由，故应有 （4）
将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式
由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.
方法2：由佩亚诺余项泰勒公式

代入

，
上面中第二项极限为0，所以第一项中应有
由于系数行列式
由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.
十一、（本题满分6分）
已知为阶矩阵，且满足，其中是阶单位矩阵．
（1）证明：矩阵可逆；
（2）若，求矩阵．
【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若有则称互逆.
解析：（1）由题设条件
两边左乘，得
即

得证可逆（且）.
(2) 方法1：由（1）结果知

故

.
方法2：由题设条件
等式两边左乘，得
则（求过程见方法1）

.
十二、（本题满分6分）
已知阶方阵均为维列向量，其中线性无关，如果，求线性方程组的通解．
【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解
【难易度】★★★★
【详解】解析：方法1：由线性无关，及即线性相关，及知
故有解，且其通解为，其中是对应齐次方程的通解，是的一个特解,
因
故

故是的基础解系.
又
故是的一个特解，故方程组的通解为.（其中是任意常数）
方法2：令则线性非齐次方程为

已知，故

将代入上式，得

由已知线性无关，上式成立当且仅当

取自由未知量，则方程组有解

即方程组有通解
.（其中是任意常数）

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