2014年考研数学二真题与解析.doc

2014年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知
所以的可能取值范围是，应该选（B）．
2．下列曲线有渐近线的是
（A） （B）（C） （D）
【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线
应该选（C）
3．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
（A）当时， （B）当时，
（C）当时， （D）当时，
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然就是联接两点的直线方程．故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令

，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）
4．曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）
【详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径．
本题中，所以，，
对应于的点处，所以，曲率半径．
应该选（C）
5．设函数，若，则（ ）
（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　
【详解】注意（1），（2）．
由于．所以可知，，
．
6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）．
（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；
（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
【详解】 在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．
所以应该选（A）．
7．行列式等于
（A） （B）　　（C） （D）
【详解】

应该选（B）．
8．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量线性无关，则
（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．

而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． ．
【详解】．
10．设为周期为4的可导奇函数，且，则 ．
【详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．
11．设是由方程确定的函数，则 ．
【详解】设，，当时，，，，所以．
12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 ．
【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，，，则在点处的切线方程为，即
13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 ．

【详解】质心坐标．
14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是 ．
【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
【详解】

16．（本题满分10分）
已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．
【详解】
解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，
即．
令，得，且可知；

当时，可解得，，函数取得极大值；
当时，可解得，，函数取得极小值．
17．（本题满分10分）
设平面区域．计算
【详解】由对称性可得

18．（本题满分10分）
设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．
【详解】
设，则，
;
；

由条件，
可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
其中为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为．

故非齐次方程通解为．
将初始条件代入，可得．
所以的表达式为．
19．（本题满分10分）
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
（1） ；
（2） ．
【详解】
（1）证明：因为，所以．
即．
（2）令，
则可知，且，
因为且单调增加，
所以．从而
，
也是在单调增加，则，即得到
．
20．（本题满分11分）
设函数，定义函数列
，，
设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．
【详解】

，，
利用数学归纳法可得
，
．
21．（本题满分11分）
已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．
【详解】
由于函数满足，所以，其中为待定的连续函数．
又因为，从而可知，
得到．
令，可得．且当时，．
曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为

22．（本题满分11分）
设，E为三阶单位矩阵．
（1） 求方程组的一个基础解系；
（2） 求满足的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

，
得到方程组同解方程组

得到的一个基础解系．
（2）显然B矩阵是一个矩阵，设
对矩阵进行进行初等行变换如下：

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
，，，
即满足的所有矩阵为

其中为任意常数．
23．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．
【详解】证明：设 ，．
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
，
所以A的个特征值为；
而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；

所以B的个特征值也为；

对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且
从而可知阶矩阵与相似．

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