曲线积分与曲面积分习题及答案.doc

第十章 曲线积分与曲面积分

(A)
1．计算，其中为连接及两点的连直线段。
2．计算，其中为圆周。
3．计算，其中为曲线，，。
4．计算，其中为圆周，直线及轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。
5．计算，其中为内摆线，在第一象限内的一段弧。
6．计算，其中为螺线，，。
7．计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧。
8．计算，其中是从点到点的直线段。
9．计算，其中是从点到点的一段直线。
10．计算，其中为摆线，的一拱(对应于由从0变到的一段弧)：
11．计算，其中是：
1）抛物线上从点到点的一段弧；
2）曲线，从点到的一段弧。
12．把对坐标的曲线积分化成对弧和的曲经积分，其中为：
1）在平面内沿直线从点到；
2）沿抛物线从点到点；
3）沿上半圆周从点到点。
13．计算其中为，，，且从大的方向为积分路径的方向。
14．确定的值，使曲线积分与积分路径无关，并求，时的积分值。
15．计算积分，其中是由抛物线和所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。
16．利用曲线积分求星形线，所围成的图形的面积。
17．证明曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值。
18．利用格林公式计算曲线积分
，其中为正向星形线。
19．利用格林公式，计算曲线积分，其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界。
20．验证下列在整个平面内是某函数的全微分，并求这样的一个，。
21．计算曲面积分，其中为抛物面在平面上方的部分。
22．计算面面积分，其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。
24．求抛物面壳的质量，壳的度为。
25．求平面介于平面，和之间部分的重心坐标。
26．当为平面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？
27．计算曲面积分其中为柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前侧。
28．计算式中为球壳 的外表面。
29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积化成对面积的曲面积分，其中是平面在第一卦限的部分的上侧。
30．利用高斯公式计算曲面积：
1），其中为平面，，，，，所围成的立体的表面和外侧。
2），其中为柱面与平面，所围立体的外表面。
31．计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：
1），为立体，，，流向外侧；
2），为椭球面，流向外侧。
32．求向理场的散度。
33．利用斯托克斯公式计算曲经积分其中为圆周，，，若从轴正向看去，这圆周取逆时针方向。
34．证明，其中为圆柱面与的交线。
35．求向量场，其中为圆周，。
36．求向量场的旋度。
37．计算，其中为用平面切立方体，，的表面所得切痕，若从轴的下向看去与逆时针方向。
(B)
1．计算，其中为抛物线由到的一段。
2．计算，其中为摆线，一拱。
3．求半径为，中心角为24的均匀圆弧(线心度)的重心。
4．计算，其中为螺线，，。
5．计算，其中为空间曲线，，上相应于从0变到2的这段弧。
6．设螺旋线弹簧一圈的方程为，，，它的线心度为，求：
1）它关于轴的转动惯量；
2）它的垂心。
7．设为曲线，，上相应于从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。
8．计算，其中为圆周(按逆时针方向绕行)。
9．计算，其中为曲线，，，从到的一段。
10．计算，其中为方向为增大的方向。
11．验证曲线积分与路径无关并计算积分值。
12．证明当路径不过原点时，曲线积分与路径无并，并计算积分值。
13．利用曲线积分求椭圆的面积。
14．利用格林公式计算曲线积分，其中是圆周上由点到点的一段弧。
15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线的面积。
16．计算曲线积分，其中圆周，的方向为逆时针方向。
17．计算曲面积分，其中为抛物面在平面上的部分。
18．计算，其中是锥面被柱面所截得的有限部分。
19．求面心度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。
20．求均匀的曲面被曲面所割下部分的重心的坐标。
21．计算曲面积分，其中
。
22．计算，其中是平面，，，所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。
23．计算，其中为椭球面。
24．计算，式中为圆锥面的外表面。
25．设，是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，、依次表示，沿外法线方向的方向导数。证明：，其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。
26．利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是螺旋线，，，从到的一段。
27．设是有两阶连续偏导数，求证：。
(C)
1．求曲线的弧长，从到。
2．计算，其中为悬链线。
3．求均匀的弧，，的重心坐标。
4．计算，其中是沿由点逆时针方向到的半圆周。
5．设在内有连续的导函数，求，其中是从点到点的直线段。
6．计算，沿着不与轴相交的路径。
7．已知曲线积分与路径无关，是可微函数，且，求。
8．设在平面上有构成内场，求将单位质点从点移到场力所作的功。
9．已知曲线积分，其中为逆时针方向曲线：1）当为何值时，使？2）当为何值时，使取的最大值？并求最大值。
10．计算其中为曲面的下侧。
11．计算，其中的方程为。
12．计算曲面积分，其中是曲线绕轴旋转一周所得曲面的外侧。
13．计算，其中为由点到点的上半圆周
14．证明与路径无关，其中不经过直线，且求的值。
15．求圆锥的侧面关于轴的转动惯量。
16．选择，值使为某个函数的全微分，并求原函数。
17．计算曲面积分，其中为曲面，平面，所围立体外面的外侧。
18．证明
1）；
2）
第十章 曲线积分与曲面积分
(A)
1．解：两点间直线段的方程为：，
故
所以。
2．解：的参数方程为，
则

所以

3．解：
故

4．解：如图

：，，
：，，
：，，

∴

5．解：

∴

6．解：
∴
。
7．解：
8．解：直线段的方程为，化成参数方程为
，，，从1变到0
故

9．解：直线的参数方程为
，，()

10．解：

11．解：1)原式

2)原式

12．解：1）的方向余弦，

2），

故
3），

故

13．解：因为
故原积分与路径无关，于是
原式

。
14．解：，，由，得
，解得
故当时，所给积分与路径无关

取计算，其中，，
15．解：原式

又
∴
16．解取，，，可得面积

设为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积

注：还可利用
17．解：，
，
因为，所以积分与路径无关
取路径
原式
18．解：，
原式。
19．解：，
原式

20．解：1），故是某个的全微分。

2），

21．解：：，
故原式

22．解：原式

这里为在第一象限部分

23．解：，

原式

24．解：

25．解：平面这部分的面积

因而

故重心坐标为
26．解：因为曲面积分有向曲面，所以当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号
27，解：，面积为0，
，

原式

。
28．解：根据轮换对称，只要计算
：
注意到：，再利用极坐标可得

于是原式
29．解：原式，这里，，是的法向理的方向余弦而是平面在第一卦限部分的上侧，取。
，，
故原式。
30．解：1）
原式

20，，

故原式。
31．解：

2）
。
32．解：，，
，，
故
33．解：取为平面，被所围成的部分的上侧，的面积为，的单位法向量为

原式
。
34．证：平面的单位法向理
由斯托克斯公式得
左边

35．解：闭曲线是平面上的圆周(逆时针方向)，它的参数方程为，，，故环流量为

.
36．解：。
37．解：证平面合科立方体内的部分为，它在平面上的射影为，面积为，取平面的上侧，单位法向量，于是由斯托克斯公式得
原式
。
(B)
1．解：的参数方程，则

所以
2．解：

所以

3．解：取坐标系如图，设重心坐标为，由扇形的对称性可知，又

4．解：

所以
5．解

所以

6．解：

1）

2）

7．解：由，，得
，，

故

故
8．解：圆周的参数方程为，
故

9．解：

10．解：如图，
：，：

故原式

11．解：由于，
又，故曲线积分与路径无关，取折线，则原式。
12．解：由于，，
又故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线，得
原式
13．解：取参数方程，
面积
14．解：不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图

，
因为
故，所以
原式
15．解：作代换，得曲线的参数方程
，，由于，
从而，故面积

16．解：由于时，被积函数无意义，故所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点，作逆时针方向的圆周：
，，
使全部补所包围，在和为边界的区域内，根据格要公式，有

∵ ，故上式为零
∴
。
17．解：：，
原式

18．解：：，

原式

。
19．解：半球壳的方程为
：

。
20．解：质量为
从而垂心的坐标为

即重心坐标为。
21．解：由于曲面得分成上下两部分，记成，，又由
解得：，，所以

22．解：证在，，平面上的部分分别为，，，在面上的部分为。

故原式

(另解：可求得，由对称性可得原式也可用高斯公式)
23．解：：，由轮换对称，只要计算积分再利用广义极坐标可得

于是原式。
24．解：证，分别为锥面的底面和侧面而，，为锥面外法线的方向余弦：，则

又对上的任一点有

故在各坐标平面上射影分别为
，，
于是

故原式
25．证：由格林第一公式得

同理

两式相减得：
。
26．解：设，其中为从到的直线段，则为封闭曲线，由斯托克斯公式得
，其中是以为边界且与构成右手系的任曲面。
∴

27．证：

(C)
1．解：，
于是当时，有

当时，有

故当时，有
2．解：，于是

3．解：
质量为
于是垂心坐标为

4．解：∵ ， ∴
但，又

∴原式
5．解：，

故当时，，因此只要路径不过轴，点到点的曲线积分与路径无关，取路径，有
原式

6．解：时，有，

改右半平面，由于是单连通区域，且在其上，故在上的是某函数的全微分，且可取

于是原式
7．解：，
，
即
解此一阶线性微分方程得

由得，故所求函数为

8．解：所求的功，，
，
当时，此积分与路径无关
故

9．解：由格林公式各

1）当（舍去），时，
2）由，得（舍去），
，
故当时，取最大值，
10．解：补上：，，上侧由高斯公式

11．解：由对称性可知
原式，：
而

故原式
12．解：取：，方向与轴同上，则

13．解：利用格林公式
原式

14．解：，，，
当时，有，积分与路径无关

15．解：

16．解：，
，

令，得

比较系数得，，
∴
∴

故的形式
17．解：，其中，，分别是在，，上的曲面块。

∴

18．证：设，且，，具有二阶连续导数
∵
∴