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曲线积分与曲面积分习题及答案.doc

上传人:w****g 文档编号:3069322 上传时间:2024-06-14 格式:DOC 页数:35 大小:2.22MB
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资源描述

1、第十章 曲线积分与曲面积分(A)1计算,其中为连接及两点的连直线段。2计算,其中为圆周。3计算,其中为曲线,。4计算,其中为圆周,直线及轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。5计算,其中为内摆线,在第一象限内的一段弧。6计算,其中为螺线,。7计算,其中为抛物线上从点到点的一段弧。8计算,其中是从点到点的直线段。9计算,其中是从点到点的一段直线。10计算,其中为摆线,的一拱(对应于由从0变到的一段弧):11计算,其中是:1)抛物线上从点到点的一段弧;2)曲线,从点到的一段弧。12把对坐标的曲线积分化成对弧和的曲经积分,其中为:1)在平面内沿直线从点到;2)沿抛物线从点到点;3)沿上半圆周从点到点

2、。13计算其中为,且从大的方向为积分路径的方向。14确定的值,使曲线积分与积分路径无关,并求,时的积分值。15计算积分,其中是由抛物线和所围成区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性。16利用曲线积分求星形线,所围成的图形的面积。17证明曲线积分在整个平面内与路径无关,并计算积分值。18利用格林公式计算曲线积分,其中为正向星形线。19利用格林公式,计算曲线积分,其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界。20验证下列在整个平面内是某函数的全微分,并求这样的一个,。21计算曲面积分,其中为抛物面在平面上方的部分。22计算面面积分,其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。24求抛物面壳的质量,壳的

3、度为。25求平面介于平面,和之间部分的重心坐标。26当为平面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?27计算曲面积分其中为柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前侧。28计算式中为球壳 的外表面。29反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积化成对面积的曲面积分,其中是平面在第一卦限的部分的上侧。30利用高斯公式计算曲面积:1),其中为平面,所围成的立体的表面和外侧。2),其中为柱面与平面,所围立体的外表面。31计算向理穿过曲面流向指定侧的通量:1),为立体,流向外侧;2),为椭球面,流向外侧。32求向理场的散度。33利用斯托克斯公式计算曲经积分其中为圆周,若从轴正向看去,这圆周取逆时针方向。3

4、4证明,其中为圆柱面与的交线。35求向量场,其中为圆周,。36求向量场的旋度。37计算,其中为用平面切立方体,的表面所得切痕,若从轴的下向看去与逆时针方向。(B)1计算,其中为抛物线由到的一段。2计算,其中为摆线,一拱。3求半径为,中心角为24的均匀圆弧(线心度)的重心。4计算,其中为螺线,。5计算,其中为空间曲线,上相应于从0变到2的这段弧。6设螺旋线弹簧一圈的方程为,它的线心度为,求:1)它关于轴的转动惯量;2)它的垂心。7设为曲线,上相应于从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。8计算,其中为圆周(按逆时针方向绕行)。9计算,其中为曲线,从到的一段。10计算,其中为方

5、向为增大的方向。11验证曲线积分与路径无关并计算积分值。12证明当路径不过原点时,曲线积分与路径无并,并计算积分值。13利用曲线积分求椭圆的面积。14利用格林公式计算曲线积分,其中是圆周上由点到点的一段弧。15利用曲线积分,求笛卡尔叶形线的面积。16计算曲线积分,其中圆周,的方向为逆时针方向。17计算曲面积分,其中为抛物面在平面上的部分。18计算,其中是锥面被柱面所截得的有限部分。19求面心度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。20求均匀的曲面被曲面所割下部分的重心的坐标。21计算曲面积分,其中。22计算,其中是平面,所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。23计算,其中为椭球面。24计算,式中

6、为圆锥面的外表面。25设,是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,、依次表示,沿外法线方向的方向导数。证明:,其中是空间闭区域的整个边界曲面,这个公式叫做格林第二公式。26利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是螺旋线,从到的一段。27设是有两阶连续偏导数,求证:。(C)1求曲线的弧长,从到。2计算,其中为悬链线。3求均匀的弧,的重心坐标。4计算,其中是沿由点逆时针方向到的半圆周。5设在内有连续的导函数,求,其中是从点到点的直线段。6计算,沿着不与轴相交的路径。7已知曲线积分与路径无关,是可微函数,且,求。8设在平面上有构成内场,求将单位质点从点移到场力所作的功。9已知曲线积分,其中为逆时针

7、方向曲线:1)当为何值时,使?2)当为何值时,使取的最大值?并求最大值。10计算其中为曲面的下侧。11计算,其中的方程为。12计算曲面积分,其中是曲线绕轴旋转一周所得曲面的外侧。13计算,其中为由点到点的上半圆周14证明与路径无关,其中不经过直线,且求的值。15求圆锥的侧面关于轴的转动惯量。16选择,值使为某个函数的全微分,并求原函数。17计算曲面积分,其中为曲面,平面,所围立体外面的外侧。18证明1);2)第十章 曲线积分与曲面积分(A)1解:两点间直线段的方程为:, 故 所以。2解:的参数方程为, 则 所以 3解:故4解:如图:,:,:, 5解: 6解:。7解:8解:直线段的方程为,化成参

8、数方程为 ,从1变到0 故 9解:直线的参数方程为,() 10解: 11解:1)原式 2)原式 12解:1)的方向余弦,2),故3),故13解:因为 故原积分与路径无关,于是原式 。14解:,由,得,解得故当时,所给积分与路径无关 取计算,其中,15解:原式 又 16解取,可得面积设为在第I象限部分的面积,由图形的对称性所求面积 注:还可利用17解:, , 因为,所以积分与路径无关 取路径 原式18解:, 原式。19解:, 原式 20解:1),故是某个的全微分。2), 21解:,故原式 22解:原式 这里为在第一象限部分23解:,原式 24解: 25解:平面这部分的面积因而 故重心坐标为26解

9、:因为曲面积分有向曲面,所以当积分曲面取在的上侧时为正号,取在下侧时为负号27,解:,面积为0,原式。28解:根据轮换对称,只要计算 : 注意到:,再利用极坐标可得 于是原式29解:原式,这里,是的法向理的方向余弦而是平面在第一卦限部分的上侧,取。,故原式。30解:1) 原式 20, 故原式。31解: 2) 。32解:,故33解:取为平面,被所围成的部分的上侧,的面积为,的单位法向量为原式 。34证:平面的单位法向理由斯托克斯公式得左边 35解:闭曲线是平面上的圆周(逆时针方向),它的参数方程为,故环流量为.36解:。37解:证平面合科立方体内的部分为,它在平面上的射影为,面积为,取平面的上侧

10、,单位法向量,于是由斯托克斯公式得原式 。(B)1解:的参数方程,则所以2解: 所以 3解:取坐标系如图,设重心坐标为,由扇形的对称性可知,又4解: 所以5解 所以 6解: 1) 2) 7解:由,得,故 故8解:圆周的参数方程为,故9解: 10解:如图,:,:故原式 11解:由于, 又,故曲线积分与路径无关,取折线,则原式。 12解:由于,又故当路径不过原点时,该曲线积分与路径无关,取折线,得原式13解:取参数方程,面积14解:不是闭曲线,要用格林公式,先得补添路径,使其封闭,如图,因为故,所以原式15解:作代换,得曲线的参数方程 ,由于, 从而,故面积 16解:由于时,被积函数无意义,故所包

11、围的区域不满足格林公式的条件,作一小圆挖去原点,作逆时针方向的圆周:,使全部补所包围,在和为边界的区域内,根据格要公式,有 ,故上式为零。17解:, 原式 18解:, 原式 。19解:半球壳的方程为 : 。20解:质量为从而垂心的坐标为 即重心坐标为。21解:由于曲面得分成上下两部分,记成,又由解得:,所以 22解:证在,平面上的部分分别为,在面上的部分为。故原式 (另解:可求得,由对称性可得原式也可用高斯公式)23解:,由轮换对称,只要计算积分再利用广义极坐标可得于是原式。24解:证,分别为锥面的底面和侧面而,为锥面外法线的方向余弦:,则 又对上的任一点有故在各坐标平面上射影分别为,于是 故

12、原式25证:由格林第一公式得同理两式相减得:。26解:设,其中为从到的直线段,则为封闭曲线,由斯托克斯公式得,其中是以为边界且与构成右手系的任曲面。 27证: (C)1解:,于是当时,有当时,有故当时,有2解:,于是 3解: 质量为 于是垂心坐标为 4解: , 但,又 原式5解:,故当时,因此只要路径不过轴,点到点的曲线积分与路径无关,取路径,有原式 6解:时,有, 改右半平面,由于是单连通区域,且在其上,故在上的是某函数的全微分,且可取 于是原式7解:, ,即解此一阶线性微分方程得 由得,故所求函数为8解:所求的功, , 当时,此积分与路径无关故 9解:由格林公式各1)当(舍去),时,2)由,得(舍去),故当时,取最大值,10解:补上:,上侧由高斯公式 11解:由对称性可知 原式,: 而 故原式12解:取:,方向与轴同上,则 13解:利用格林公式 原式14解:, 当时,有,积分与路径无关 15解: 16解:, , 令,得 比较系数得, 故的形式17解:,其中,分别是在,上的曲面块。 18证:设,且,具有二阶连续导数

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