求图中阴影部分面积.doc

1. a
a

2a

4a

F
求图中阴影部分面积.

a
a

图一

2.我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式,如图一
我们可以得到两数差的平方差公式:
(1)请你在图二中,标上相应的字母,使其能够得到两数和的完全平方公式

图二
图一

(2)图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,剩下部分拼成图四的形状,利用这两幅图形中面积的等量关系,能验证公式____________________
图三
图四
b
b
a
a

(3)除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立,请试画出一个这样的图形,并标上相应的字母.

3．观察下列等式：

，b= .
(2)根据上述规律，第n个等式是 .

4．(1)如图，是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a,b的恒等式。

a
b

(2)请你设计一个图形，并标出相应长度字幕，是岂能同样证明这个等式成立。

5.用火柴棒做如下实验

第一个 第二个 第三个
如果搭出第20个三角形需________根火柴棒
如果搭出第30个三角形需________根火柴棒
…………………
如果搭出第n个三角形需________根火柴棒

6. 如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为1，求这个大长方形的面积。

7、第一式：；
第二式：；
第三式：；
第四式：；
用含字母的式子表示第个式子是____________________（为正整数）。

8、
n
n
n
n
m
m
m
m
图b
图a是一个长为2 m、宽为2 n的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图b的形状拼成一个正方形.

m
m
n
n
图a

(1)、你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少?
(2)、请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积.
方法1：
方法2：
(3)、观察图b你能写出下列三个 代数式之间的等量关系吗?
代数式:
(4)、根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若，则= .

9.在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）
a

a

a
a

设直角三角形的直角边分别是a,b,斜边为c,将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形,验证等式成立

10、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼接若干图案①在第四个图案中有白色地砖_____块;②在第n个图案中有白色地砖_____块。

11.计算: ;
;
= ;
.
12．已知：如图，用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，
（1）用两种方法求图形中央的小正方形的面积；
（2）三角形的三条边a、b、c之间有怎样的关系？

13、如图，用正方体石墩垒石梯，下图分别表示垒到一、二、三阶梯时的情况。那么照这样垒下去，

一级， 二级， 三级

① 填出下表中未填的两空，观察规律。

阶梯级数
一级
二级
三级
四级
石墩块数
3
9

② 到第n级阶梯时，共用正方体石墩 块（用n的代数式表示）。

14．已知（如图）用四块大小一样,两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c的直角三角形拼成一个正方形ABCD，求图形中央的小正方形EFGH的面积，有
（1）= （用a、b表示）；
（2）= （用c表示）；
(3) 由(1)、(2)，可以得到a、b、c的关系为：
15。观察下列等式：
9-1＝8
16-4＝12
25-9＝16
36-16＝20 ……
这些等式反映自然数间的某种规律，设
n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这
个规律为

16、从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为 （ ）

甲
乙

（A）
（B）
（C）
（D）
17、已知：如图，用5根火柴搭一个梯形，然后在梯形的右边再接一个梯形上去，如此不断地拼接下去，

梯形个数
1
2
3
4
5
6
……
所需火柴的根数
5
9

……
当梯形的个数为时，这个图形的一共用了 根火柴。

18、某市电信局为了鼓励市民多用电话，制定如下收费制度：固定电话每月交月租费a元，通话费则采用累计时收费，如果每月通话时间累计不超过100分钟，那么每分钟收0.22元，如果每月通话时间累计超过100分钟，那么超过部分每分钟收0.10元，某固定电话用户10月份通话时间累计x分钟，
（1）求该用户10月份的电话费．(用含a、x的代数式表示)
（2）求当a=24,x=120时，该用户所需要交的电话费是多少。
19、一个含的一次二项式与乘积后的多项式中不含一次项，请写出一个这样的一次二项式
20、寻找规律填空
，
，
，
…………
请用含字母的代数式描述上述规律： （为正整数）

21、如图，正方形ABCD与正方形BEFG，点C在边BG上，已知正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，用表示下列面积。
（1）△CDE的面积；
（2）△CDG的面积；
（3）△CGE的面积；
（4）△DEG的面积；

32、如图：边长为，的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形。请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义。

33.观察下列式子：
；；
．
你得出了什么结论？请用n（n是正整数）来表示，并说明这个结论的成立。
34、已知一块“十字型”纸板如图，请画出一个面积和这块纸板面积相等的长方形，并指出此长方形的长和宽。

35.仔细观察下列四个等式:
32=2+22+3,
42=3+32+4,
52=4+42+5,
62=5+52+6,
(1)请你写出第5个等式;
(2)并应用这5个等式的规律,归纳总结出一个表示公式;
(3)将这个规律公式认真整理后你会发现什么?

36.如图所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
b
b
b
a
a
甲
乙

(1)请用字母a和b表示出图中阴影部分的面积;
(2)将阴影部分还能拼成一个长方形,如图乙这个长方形的长和宽分别是多少? 表示出阴影部分的面积;
(3)比较(1)和(2)的结果,可以验证平方差公式吗?请给予解答.

37.

38

39

40、如图：一个花坛由两个半圆和一个长方形所组成，长为，宽为。
（1）用代数式表示该花坛的面积；
（2）当米，米时，求这个花坛的面积。（，精确到平方米）

41.你能说明为什么对于任意自然数n,代数式n(n+7)-(n-3)(n-2)的值都能被6整除吗?

42、如图：边长为，的两个正方形的中心重合，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形。请你用，表示出梯形的高和面积，并由此说明的几何意义。

43．如果，那么的值为 （ ）
（A）0 （B） （C） （D）
44．窗户的形状如右图，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为a cm
（1）求窗户的面积
（2）求窗框的总长
（3）当a = 42时，窗户的面积和窗框的总长分别是多少？（取3.14，结果精确到0.1）

45．如下图，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是边长为b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形。
（1）试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个矩形，使拼出的矩形面积为，并标出此矩形的长和宽
（2）你能利用第（1）小题拼出的矩形面积说明某个多项式乘法的计算规律吗？

B

C

b b

A

a

a a b
46、一个长方体的长是3，宽也是3，高是6，如果把长方体的长增加，且宽减少，高不变。
问：（1）求原来长方体的体积。（2分）
（2）用含的代数式表示变化后的长方体体积，且化简。 （2分）
（3）变化后的体积是变大还是变小了，为什么？（4分）

47、观察下列算式： ，
，
，
，……
（1）仿照以上的等式，请另外再写出一个等式___________________________；
（2）试用代数式来表述你发现这些算式的规律；
（3）说明你发现的规律的正确性．
48.观察下列等式：
9-1＝8 16-4＝12 25-9＝16
36-16＝20 ……
这些等式反映自然数间的某种规律，设
n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这
个规律为

49．原长方形绿地一块，现进行如下的改造：将长减少2米，宽增加2。改造后得到一块正方形绿地，设正方形绿地一边长为a米。
（1）试用含a代数式表示出原长方形绿地的面积；
（2）改造后正方形面积与原长方形绿地的面积比是增加还是减少了？增减了多少？
（3）若改造后正方形绿地面积是原长方形绿地的面积的2倍，则改造后正方形绿地面积为多少？

50、先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目。
分解因式：
以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项。按照这个思路，试把多项式分解因式。
解：

51、下面（Ⅰ）是著名的杨辉三角，观察等式（Ⅱ），寻找规律，并对（Ⅰ）、（Ⅱ）的划线部分填空：
（Ⅰ） （Ⅱ）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
………………………………………………………
………………………………

52、若，则这个单项式= （写出所有的情况）.
53、若，求的值
54、若对任意的，总能成立，求A，B，C的值
55、 图中若由100个边长分别为100,99,98,…,2,1的正方形重叠而成的, 那么,按这种方式重叠而成的阴影部分面积是多少？
…
100
99

56、已知：，，求，（2）（3）的值
57、计算填空： ，
，
，
，……
（1）仿照以上的等式，请另外再写出一个等式___________________________；
（2）试用代数式来表述你发现这些算式的规律___________________________；
（3）说明你发现的规律的正确性．

58、阅读理解材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是
其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：
观察下列三个特殊的等式
，
，

将这三个等式的两边相加，可以得到
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）
（2）
（3）
59、某市电信局为了鼓励市民多用电话，制定如下收费制度：固定电话每月交月租费a元，通话费则采用累计时收费，如果每月通话时间累计不超过100分钟，那么每分钟收0.22元，如果每月通话时间累计超过100分钟，那么超过部分每分钟收0.10元，某固定电话用户10月份通话时间累计x分钟，求该用户10月份的电话费．(用含a、x的代数表示)
60、若与关于x的二项式的积不含二次项，则a : b= ．
61、如图 在边长为的正方形中剪区一个边长是的
小正方形，把剩下的图形拼成一个梯形。观察图形的
变化，依据这两个图形间阴影部分的面积关系，便可
得出一个你非常熟悉的整式乘法公式，请写出这个乘
法公式并说明理由。

62知：，，求的值．

63察下列各式：，，，…，根据观察计算：．（n为正整数）

64．阅读理解
为了求的值，可令S＝，
则2S＝ ，因此2S-S＝，
所以＝
仿照以上推理过程，计算的值．
65、如图，用长度相等的小木棒达成的三角形网格，根据图示填写下列表格。

层数
1
2
3
4
…
n
所含小三角形的个数

所需小木棒的根数

66、某居民小区有一块长方形形状的园地，长（x+a）米，宽（y-a）米，园地中有一条长为a米的水平道路和一条倾斜的道路，道路的两边平行，且入口处长为a米（如图），其他地方都种花草，求：
（1）计算种花草的园地面积S
（2）如果园地的长和宽的比为5：3，用x、y表示种花4草的园地面积S

67、已知：；(A为多项式) 则，A =____________________
68、一个含的一次二项式与乘积后的多项式中不含一次项，请写出一个这样的一次二项式 （只要写出一个符合条件的多项式）。
图1
69、如图，大正方形是由4个形状完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的．
（1）在图1中，已知AE=3，AF=4，求小正方形EFGH的面积；
（2）在图2中，已知AE =，AF =，求大正方形EFGH的面积.

图2

70、文明用具厂第一季度用去电费m元，用去的水费比电费的2倍少40元。第二季度的电费比第一季度节约了20%，水费多支出了5%。求⑴该厂第二季度的水费和电费各为多少？
⑵该厂第二季度水电费的支出比第一季度节约了多少元？

71、如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格．

四层

三层

二层

一层

…
层数
一层
二层
三层
四层
…
n层
所含三角形的个数

…

所需小木棒数的根数
=7
=16
=28

…

四层所含三角形的个数 ；所需小木棒数的根数
n层所含三角形的个数 ；所需小木棒数的根数

长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c

72．做两个长方形有盖纸盒，
尺寸如右表：（单位：cm）
（1）大纸盒与小纸盒分别用料多少平方厘米？（结果用含，，的代数式表示）
（2）大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？（结果用含，，的代数式表示）

73．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张，请你在答题卷中的大长方形中画出一种拼法．

74．在正常情况下，某出租车司机每天驾车行驶小时，且平均速度为千米/小时．
已知他在A日比正常情况少行驶2小时，平均速度比正常情况慢5千米/小时，他在B日比正常情况多行驶2小时，平均速度比正常情况快5千米/小时，
（1）求A日出租车司机比正常情况少行驶多少千米？（用含，的代数式表示）
（2）已知A日出租车司机比正常情况少行驶120千米，求B日出租车司机比正常情况多行驶多少千米？
75．观察下列算式： ，
，
，
……
（1）仿照以上的等式，请另外再写出一个等式___________________________；
（2）试用代数式来表述你发现这些算式的规律；_________________________
（3）证明（2）中的代数式

76.若代数式可化成的形式，求，，的值

77. 设直角三角形的直角边分别是a, b,斜边为c, 将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形,验证等式成立

a c

b

78、某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可任选其一，A）计时制：0.05元/分，
B）包月制50元/月，两种收费方式都收通讯费0.02元/分，如果某用户某月上网时间为小时，请列出两种收费方式的代数式，并求当x在什么范围的计时制优惠？

79、利用因式分解计算所得的结果为……………（ ）
A. B. C. D.

80、根据下列图形，回答问题

图1 图2 图3
（1）上面的一组图可以看成由一个正方形发散而形成的，我们发现图2的最外层有4个正方形，图3中最外层有8个正方形……若依此规律，图5的最外层有_______个正方形。
（2）根据（1）中的条件，第n张图的最外层有______________个正方形。
81.如图正方形ABCD与正方形EFCG，已知正方形ABCD的边长为a ，
正方形EFCG的边长为b ，用面积的方法说明平方差公式：可以采用如下方法：
延长FE与AD交于点H，则
正方形ABCD面积－正方形EFCG面积=长方形ABFH面积+长方形HEGD面积
因为正方形ABCD面积=
正方形EFCG面积=________;
长方形ABFH面积=________;
长方形HEGD面积=________;
所以_____________________;
即________________.

82. 某化肥厂今年一月份生产化肥吨，二月份比一月份增产20%，三月份比二月份增产吨，四月份又比三月份增产20%，求：（1）二月份和三月份的产量各是多少？（2）四月份比一月份增产化肥多少吨？

83．已知＝，＝，＝.
（1）求；
（2）求，当时，比较与的大小，写出简单的过程．

84．已知的值.

85．计算填空：

……
猜测四个连续正整数的积加上1一定是 .
请用学习过的因式分解证明以上结论.
86. 已知：如图，用5根火柴搭一个梯形，然后在梯形的右边再接一个梯形上去，如此不断地拼接下去，当梯形的个数为时，这个图形的一共用了 根火柴。

87.人在运动时的心跳速率和人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，则b=0.8(220-a)
(1)一个14岁的少年在运动时的所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
(2)一个45岁的人在运动时10秒钟内心跳的次数为22，他有危险吗？
88、某市电信局为了鼓励市民多用电话，制定如下收费制度：固定电话每月交月租费a元，通话费则采用累计时收费，如果每月通话时间累计不超过100分钟，那么每分钟收0.22元，如果每月通话时间累计超过100分钟，那么超过部分每分钟收0.10元，某固定电话用户10月份通话时间累计x分钟，求该用户10月份的电话费．(用含a、x的代数表示)

89．小明设计了一个电脑程序，在电脑执行该程序时，第一步将输入的两个数分别进行加、减、乘、“平方和”的运算，得到四个数；第二步将所得到的四个数相乘；第三步将所得到的数取相反数后输出。
（1）如果输入的两个数分别为x、y，请将输出的结果用含x、y的多项式表示；
（2）如果输入的两个数分别为、3，那么输出的结果是多少？

90．寻找规律，填空
(a-b)( ) = a2-b2
(a-b)( a2+ab+b2)=
(a-b)( a3+a2b+ab2+b3)=
(a-b)( a4+a3b+a2b2+ab3+ )= a5-b5
…………………………………………
(a-b)(an+an-1b+an-2b2+……a2bn-2+abn-1+bn )=
[a-(-2)][a2+a(-2)+(-2)2]=
92. 若代数式可化为，则的值是 ．
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
93. 下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)n展开式中所缺的系数.
(a＋b)=a＋b
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3
则(a＋b)4=a4＋ a3b＋ a2b2＋ ab3＋b4

94.某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌场面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）；…。依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木板数

图1
图2
图3

95. 小明做了四个正方形或长方形纸板如图1所示a、b为各边的长，小明用这四个纸板拼成图2图形，验证了完全平方公式.
小明说他还能用这四个纸板通过拼接、遮盖，组成新的图形，来验证平方差公式.他说的是否有道理？如有道理，请你帮他画出拼成的图形.如没有道理、不能验证，请说明理由.

图1 (a+b)2=a2+2ab+b2
图2

96、若多项式添上一项后为完全平方式，则添上的一项是 。
97、如图是小杰新家的平面图。根据图中数据
（单位：m）解答下列问题：
（1）用含的代数式表示地面的总面积；
（2）如果卧室的面积比书房的面积大7，
书房的面积比阳台的面积大1，在购买
时阳台的面积算一半，每平方米的价格为
1.2万元，小杰家购买这套房子共花多少钱。

98、如下图，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是边长为b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形。
（1）试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个矩形，使拼出的矩形面积为，并标出此矩形的长和宽
（2）你能利用第（1）小题拼出的矩形面积说明某个多项式乘法的计算规律吗？

B

C

b b

A

a

a a b

99．如图：边长为，的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形。请你用，表示阴影部分的面积，并由此说明的几何意义。
100．某公司生产甲、乙两种产品，一月份这两种产品的产值都是万元．为了调整产品结构，确定增加甲种产品的产值, 使每月的增长率都为；同时减少乙种产品的产值, 每月减少的百分率也都是．求（1）二月份生产甲、乙两种产品的总产值；（2）三月份生产甲、乙两种产品的总产值（用含字母的代数式表示）．

101. 公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在交谈．老人说：“我们俩的年龄的平方差是195，……”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195”．这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195”．现在请你想想这三对人的年龄各是多少岁?请写出解题过程。

102. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．
（1）设小明买x（x＞10）个练习本，分别求出他在甲乙两商店的消费(用x的代数式表示)
（2）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
103.观察下列式子：
；；
．
你得出了什么结论？请用n（n是正整数）来表示，并说明这个结论的成立。
104.有若干张如图，所示的正方形和长方形卡片，表中所列四种方案能拼成边长为的正方形的是（ ）
卡片
数量（张）
方案
（A）
（B）
（C）
A
1
1
2
B
1
1
1
C
1
2
1
D
2
1
1

B

C

C

A

a b a

a b

105. 多项式9x2 + 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_________________________
106. 计算：

……则可用字母n表示期一般规律:___________________________________.

107.用火柴棒按如图所示摆图形，按照这样的规律摆下去，第4个图形需要__________根 火柴棒，第个（为正整数）图形需要__________根火柴棒（用含的代数式表示）；

108、观察下列等式：
，，，…… ，则第个等式可以表示为
109、现有两个多项式，它们同时满足下述条件：（1）多项式中均含有字母x;(2)每个多项式中各项的系数绝对值均是1；（3）这两个多项式的和是一个四次单项式，这两个多项式的差是一个二次单项式，则这两个多项式分别是____________________.
110、已知，如图。，正方形ABCD与正方形BEFG，点C在边BG上，若正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b
(1).用a、b表示的面积（3分）

(2求△DEG的面积。（3分）

111、（1）若（4分）
观察下列等式
；……
（1）请你猜想一般规律： ；（2分）
（2）已知，求的值. （2分）

112.设，求的值。