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法向量的应用
概念：与平面垂直的向量就称为平面的法向量。
主要应用：证线面平行，证面面平行，证线面垂直，证面面垂直，
求线面角，二面角，求点到平面的距离，异面直线的距离等等。
一． 证线面平行
方法：证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量
垂直。
例题：如图（2），已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面
互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，
A
y
z
x
C
D
F
E
且BM=BD，AN=AE，
求证：MN∥平面CDE

N
M
B
证明：以A为原点建立如图所示的空间直角
坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,则有
B（3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)
所以 =（-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c)
=(-a,b,0), =(0,-b,-c)
所以 ,
又平面CDE的一个法向量是=（0，3b，0）,
由=（2a,0,-c）（0，3b，0）=0,所以
又MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE
C
B
A
O
C1
B1
O1
A1
E
F
y
x
z

F1
二． 证面面平行
E1
方法：证两个平面的法向量平行。
例题：如图，正方体中，
是中点，
求证：平面∥平面
证明：设分别是
平面，平面的一条法向量，设正方体的棱长是2
则E（2，1，0），F（1，2，0），（2，2，2），（1，0，2）
（0，1，2），所以 ，
，
由
和

求得 ， ， 所以
所以∥， 所以两个平面平行。
三． 证线面垂直
方法：证直线上的方向向量与平面的法向量
平行。

例题：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长AB=2，E，F分别是，
DC的中点。
⑴求证：D1F⊥平面AED；
z
x
y
证明：建立空间直角坐标系D-xyz
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
E
F
则 A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），
，

设是平面DAE的一条法向量
则由 求得

因为，所以D1F⊥平面AED
四． 证面面垂直
方法：证两个平面的法向量垂直。

z
P
D
C
B
A
例题：`如图四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，PA底面ABCD，
且PA=AD=DC=AB=1
y
求证：面PAD面PCD

x
证明：建立空间直角坐标系
A- xyz,因为PA=AD=DC=AB=1
所以 B（0，2，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
则 ， ，
设是平面PCD的一条法向量
则由 得

又容易证得是平面PAD的法向量
又， 所以面PAD面PCD
五． 求线面角
方法：设直线与平面成的角为，直线的方向
向量与平面的法向量成的角为，则有

例题：如图，正方体，求
所成的角。
分析：建立空间直角坐标系,
求出平面的一条法向量，
再求 ，
所以

六． 求二面角
方法：设为两个平面的法向量，
为二面角的平面角，则

符号取决于是锐角还是钝角。

z
x
y
F
E
A1
O1
B1
C1
O
A
B
C
例题：如图，正方体，
求二面角的大小。
分析：建立空间直角坐标系O-xyz,
可求得平面 和平面的
法向量分别是（-1，1，1）
，
又由图可知该平面角为锐角
M
N

所以
七． 求点到平面的距离
方法：在平面内取一点N，设平面的
法向量为，则向量在方向上
的射影的绝对值即为点M到平面的距离
d=,

例题：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，由此，建立空间直角坐标系C－xyz． 则可写出各点坐标，从而求得
平面GEF的一条法向量是=（1，1，3）
=（0，-4，2），求得d=

M

八． 求异面直线的距离

方法： 在异面直线上取两点M，N，

是的法向量，则在方向上的投影
N
的绝对值即为异面直线的距离。
即 d=

例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．

分析：如图，建立空间直角坐标系－xyz，则有
，，，．
∴　，，．
设n是AC与的法向量，
则又n，n，可求得
n=(1,1,-1) , 所以 =
即直线与AC的距离为

总结：由以上可知，利用法向量去解立体几何问题，省去了作辅助线的
烦恼，把复杂的几何问题转化成了简单的向量运算。特别是在求角
和求距离的问题上，尤为体现。