连续小波变换核心知识.doc

2.1.1连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。小波函数的数学定义是：设为一平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足： （2-1） 时，则称为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。将小波母函数进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为，平移因子为，并记平移伸缩后的函数为，则： （2-2） 并称为参数和小波基函数。由于和均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数经伸缩和平移后得到的一组函数系列。定义小波母函数的窗口宽度为，窗口中心为，则可以求得连续小波基函数的窗口中心及窗口宽度分别为： （2-3） 设是的傅立叶变换，频域窗口中心为，窗口宽度为，的傅立叶变换为，则有： （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为： （2-5）由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子的函数，均随着的变化而伸缩，并且还有 （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg测不准原理。（2）连续小波变换将空间的任意函数在小波基下进行展开，称其为函数的连续小波变换CWT，变换式为： （2-7）当小波的容许性条件成立时，其逆变换为： （2-8） 其中为的容许性条件。另外，在小波变换过程中必须保持能量成比例，即： （2-9）由CWT的定义可知，小波变换和傅立叶变换一样，也是一种积分变换，其中为小波变换系数。可见小波变换对函数在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过缩放因子和平移因子来得到的。根据、的不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号的局部化分析。连续小波变换具有以下重要性质： 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。 平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为。 伸缩共变性：若的小波变化为，则的小波变换为 自相似性：对应于不同尺度因子和不同平移因子的连续小波变换之间是自相似性的。 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度（redundancy），小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：由于连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换则是一一对应的。小波变换的核函数即小波基函数并不是唯一的，即存在许多可能的选择。小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数具有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。一个一维函数的连续小波变换是一双变量的函数，变量比多一个，因此称连续小波变换是超完备的，因为它要求的存储量和它代表的信息量都显著增加了。对于变量超过一个的函数来说，这个变换的维数也将增加。若是一个二维函数，则它的连续小波变换是： （2-10） 其中，表示在两个维度上的平移，二维连续小波逆变换为： （2-11） 同样的方法可以推广到两个或两个以上的变量函数上。