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周期性外力驱动下有自质量弹簧摆运动的数值研究

摘要：本文研究弹簧质量不可忽略的弹簧摆系统在周期性外力驱动下的运动，得到运动的微分方程，这是一个典型的非线性系统。通过对其运动进行数值模拟，得到一个系统序参量f，得到如下结论：在f的一定参数范围内弹簧的运动状态呈现丰富的倍周期分岔和混沌等现象。
关键词：弹簧摆；非线性；分岔；混沌

1．质量摆模型及其运动方程
文献[2]对不计质量的弹簧摆系统的运动进行了深入研究。然而，实际问题中弹簧的质量并不是总是可以忽略的，我们在考虑周期外驱动力和线性阻尼的基础上，再考虑弹簧的质量，对整个质量弹簧摆做了一个较为深入的研究。

-

O
m1g
-

m2g
图(1) 受力分析
在质量为m1的弹簧摆下面挂一个小球m2 (看作质点)，组成一个弹簧摆系统，设弹簧原长为ρ0,倔强系数为k，在所研究的范围内遵从胡克定律，假定在运动的过程中弹簧摆不会弯曲。设q表示角位移，b为阻尼系数。系统受到一周期驱动力Fcoswt,在其与阻尼力的作用下其做复杂的运动。
根据弹簧摆的运动情况列拉格朗日方程组如下：

（1）
化简得：
代入拉格朗日方程：
（2）
在本系统中：

整理得：与
令常数，得方程组：
（3）
两边同除以得方程组：
（4）
对式中各参量进行无量纲化，设

（为方便计，去掉 “”），得方程组：
（5）
其中。化简方程组(5)得：
（6）
方程组(5)表明系统是一个受到周期性外力驱动的由二阶非线性微分方程组描述的动力学系统。

2．系统的非线性运动分析
为了简化问题的描述，将二阶的两维变量的方程组(6)化成一阶的四个变量的微分方程组。令。则方程组(6)可化为:

（7）

我们不妨设g=0.15，c=1.701,m0=2（标准单位）取驱动力为周期性的w=2/3。其中g、 m0 、 w同文献[2]中相同，只改变f以观察(7)式解的动力学行为。图(2)为f=1.298时的时域图、相图和等时映射图；图(3)为f=1.308时的时域图、相图 和等时映射图；图(4)为f=1.3142时的时域图、相图和等时映射图；图(5)为f=1.3145时的时域图、相图和等时映射图；由图(2)～图(5)可知，当f=1.298时，系统同处于1P（periodic，下同）运动状态；当f=1.308时，系统处于2P运动状态；当f=1.3142时，系统处于4P运动状态，当f=1.3145时，系统处于8P运动状态；再增大f=1.3365时得图(6)结果，这是一种混沌运动的模式。
(2)当f=1.298时，系统同处于1P运动状态

图 (3)当f=1.308时，系统同处于2P运动状态
图 (4)当f=1.3142时，系统同处于4P运动状态
(5)当f=1.3145时，系统同处于8P运动状态
图(6)当f=1.3365时，系统同处于混沌运动状态

由图可以看出，系统从一倍周期开始，二倍周期，四倍周期，八倍周期……进入混沌。我们观察它的混沌图(7)可以发现，相轨线在某一位置缠绕多圈后又转到另一处缠绕多圈，但轨线不封闭。它对应着摆在某处作准周期振动多次后，通过旋转数圈后又转移到另一个地方再作准周期振动，这与文献[1]中的混沌运动是一样的。这是因为非线性的振动频率与振幅有关，当驱动振幅变化时，系统频率也随之变化，当接近或满足共振条件时，振动环面导致混沌。这样，系统就可以从原来振动状态跃迁到转动状态。由于驱动是周期性的，当驱动使系统偏离共振条件时，系统又可以从转动状态回到振动状态 。这样，系统的状态就在封闭轨线和逃逸轨线之间不断穿越，这之中就蕴含着混沌。

为了更直观的看到系统从什么时候开始分岔，进入混沌，我们现在用计算机画出他的f-x2图，其中f指驱动振幅，x2指角速度，并用计算机判定，从计算机反馈的结果我们可以清楚地看到，当f≥1.304时，系统运动开始2倍周期分岔；当f≥1.3128时，系统运动开始4倍周期分岔；当f≥1.3145时，系统运动开始8倍周期分岔；当f≥1.3275时，系统运动开始进入混沌运动模式。
与文献[2]对比，当f1=1.305时，不计弹簧摆质量系统已处于2P运动状态；当f1=1．3068时，系统已处于4P运动状态；当f1=1.3074时，系统处于8P运动状态在 f1=1.318时，系统处于混沌运动状态。
列出表格如下，从表中我们可以清楚地看出，在一倍周期到两倍周期时，系统分叉点与之对应的驱动力相差不大，但随着驱动力的不断增大，同一点对应的驱动力差值越来越大，进入混沌的难度不断增大。由此可见，弹簧摆质量的研究，还是有一定意义的。
对照表
驱动力
2P
4P
8P
混沌
f
1.304
1.3128
1.3145
1.3275
f1
1.305
1．3068
1.3074
1.318

3.系统运动计算机模拟
我们在前面工作的基础上利用计算机进行运动轨迹模拟，在此我们只对两倍周期和混沌模式运动轨迹进行模拟，下图是系统在后200秒运动状态截图。

图(8)两倍周期
通过计算机运动轨迹模拟，观察到小球一直沿上图轨迹运行。

图(9)混沌模式
通过计算机运动轨迹模拟，观察到小球运动忽上忽下，完全没有固定轨迹。

结语：综合以上分析，可以得出结论：在一定的参数条件下，受迫阻尼记弹簧质量的弹簧振子动力学系统可以呈现出丰富多彩的分岔和混沌行为．在我们研究的参数范围内，系统通过连续的倍分岔——一种典型的走向混沌的道路——最终走向了混沌。
同文献[2]结果进行对比，在其他外参数条件不变情况下，增加对弹簧质量的考虑，运动方程式发生了改变，这主要体现在常数c上，随着驱动振幅f的不断增加，观察发现系统在同一条件下，运动情况截然不同，混沌的进入也不同，这充分说明弹簧质量的考虑让我们的研究更贴近实际。

参考文献：
【1】 符五久，饶黄云.单摆系统通向混沌的道路[J].大学物理，2008，24（10）：63-66.
【2】 石玉仁，薛具奎.弹簧摆的混沌行为[J].大学物理，2001，37（3）91-97.