同步讲台九立体几何空间地距离.doc

实用文案
同步讲台 第5课 空间的距离

● 考点搜索
1.点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这点到这条直线的距离.
2.点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
3. 两平行直线间的距离
两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离.
4.两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
5.直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.
6.两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

● 实例点津
【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.

例1题图
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2)求AB和CD间的距离；
(3)求EF和AC所成角的大小.
【解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.
又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.
同理EF⊥DC交DC于点F.
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)在Rt△BEF中，BF=,BE=,
所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.
由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.
(3)过E点作EG∥AC交BC于G，因为E为AB的中点，所以G为BC的中点.所以∠FEG即为异面直线EF和AC所成的角.
在△FEG中，EF=,EG=,FG=,
cos∠FEG=.
所以 ∠FEG=45°
所以异面直线EF与AC所成的角为45°．
【归纳】 本题考查平面及其基本性质.平面图形直观图的画法、平行直线、异面直线所成的角，异面直线的公垂线和异面直线的距离等知识的综合应用.

【例2】 菱形ABCD中，∠BAD=60°,AB=10 cm,PA⊥平面ABCD,且PA＝5 cm,求(1)P到CD的距离；（2）P到BD的距离；（3）P到AD的距离.
【点津】 如图,因为A是P在平面ABCD上的射影，所以只要过点A在平面ABCD内分别作CD、BD的垂线，确定垂足的位置，由三垂线定理和勾股定理，求得点P到CD、BD的距离.
【解答】 （1）∵PA⊥平面ABCD，
∴点P在平面ABCD上的射影为A，过A在平面ABCD内作AE⊥CD于E

例2题图
(∵∠ADC=120°，∴E在CD的延长线上).
连PE，由三垂线定理得PE⊥CD.
∴线段PE之长就是P到CD的距离.
在Rt△ADE中，AE＝5cm
在Rt△PAE中，PE=10cm ,
∴P到CD的距离为10cm .
(2)连AC、BD，交点为O，
∵AC⊥BD,∴PO⊥BD,线段PO之长就是P到BD的距离，易知PO＝10cm.
(３)∵PA⊥平面ABCD,AD平面ABCD，
∴PA⊥AD.
故线段PA之长就是P到AD的距离，PA＝5cm.
【归纳】 求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法.

例3题图（1）
【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：
（1）A到平面BCD的距离；
（2）异面直线AB、CD之间的距离.
【解答】 （1）过A作AO⊥平面BCD于O，
连BO并延长与CD相交于E，连AE.
∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.
∴O是△BCD的外心.
又BD＝BC＝CD，
∴O是△BCD的中心，
∴BO=BE=.
又AB＝1，且∠AOB=90°,
∴AO=.
∴A到平面BCD的距离是.
(2)如图（2）,设AB中点为E，连CE、ED.

例3题图（2）
∵AC=BC,AE=EB.
∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.
∴AB⊥平面CED.
设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.
同理可证CD⊥EF.
∴EF是异面直线AB、CD的距离.
∵CE=,
∴CF=FD=,∠EFC=90°,
EF=.
∴AB、CD的距离是.
【归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：
（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.
（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.
（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.
【例4】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求：
(1)二面角P—CD—A的大小;
(2)点A到平面PBC的距离.
【解答】 (1)作AF⊥DC于F,连结PF,
∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,
∴PF⊥DC,
∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.
在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin,AD=3a,
∴AF=,
在Rt△PAF中tan∠PFA=,
∴∠PFA=arc tan.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,
∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,
∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,
∴PB=a,
∴AH=.
【归纳】 利用定义法求点到平面的距离常常需借助三垂线定理及其逆定理.

● 对应训练
一、选择题
1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( )
A.a B. C. D.
2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离为 ( )
A.7 B.9 C.11 D.13
3.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm ,则P到α的距离是 ( )
A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm
4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 ( )
A. B. C. D.a
5.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
6.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是 ( )
A. B. C. D.

第7题图

第6题图

7.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有 ( )
A.1<d1<d2 B.d1<d2<1
C.d1<1<d2 D.d2<d1<1
8.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于 ( )
A.2d B.3d C.4d D.以上都不对

第8题图

第9题图

9.如图，菱形ABCD边长为a，∠A=60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
10.二面角α-MN-β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离为 .
11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD=a,CD=a，则A、B两点间距离为 .
12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB的长是 .
13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，则cosα的值是 .

三、解答题
14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平
面PBC的距离．

15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a.
(1)求BM与侧面AC1所成角的正切值.

第15题图
(2)求顶点A到面BMC1的距离.

16.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.

17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.
(1)求二面角B1—EF—B的大小.
(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.
(3)求点D1到面EFB1的距离.

第17题图

● 对应答案

1.D 折后BC=,∴点A到BC的距离为.
2.A BC=.
∴△ABC外接圆半径R=,
∴点P到α的距离为
3.D 设PO⊥α垂足为O,|PO|=xcm ,∠OAP=β,∠OBP=γ,那么β-γ=45°,
tanβ=,tanγ=,tan (β-γ)=tan 45°
展开左边并整理得:x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4.
4.B P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.
5.A PM=.
6.C 取BD的中点O连AO、OC，作OE⊥AC于E，则OE为所求，∴AO=CO=AC=.
7.D 点C到平面PAB的距离d1=,
点B到平面PAC的距离d2=，
∵,∴d2<d1<1．
8.B |MM′|=，又.∴a+b+c=3d.
9.A 设BD的中点为O，
∴EO=，点A到平面EFGH的距离为.
10.2 作AC⊥MN于C，连BC，则BC⊥MN，
∴∠ACB=60°，又MN⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面α，作BD⊥AC于D，则BD⊥α，
∴BD的长即为所求，得BD=2．
11. AB=.
12.2cm或cm

第13题图解
当点A、B在α同侧时，AB=;
当点A、B在α异侧时，AB=
13. 如图,AB″=
∵BC⊥y轴,B′C⊥y轴,
∴∠B′CB″为二面角A—Oy—B的平面角.
∠B′CB″=α,在△B′CB″中,B′C=B″C=3,
B′B″=,由余弦定理易知cosα=.

第14题图解
14.如图，将点E到平面PBC的距离转化成线面距，再转化成点面距.
连AC、BD，设AC、BD交于O，则EO∥平面PBC，
∴OE上任一点到平面PBC的距离相等．
∵平面PBC⊥平面ABCD，
过O作OG⊥平面PBC，则G∈BC，
又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a，
∴OC=,OG=OC sin60°=.
点评：若直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．
15.(1)∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴∠BAC为二面角B1—AA1—C1的平面角，
∴∠BAC=60°.
又∵∠ACB为直角，∴BC⊥侧面AC1.
连MC，则MC是MB在侧面AC1上的射影.
∴∠BMC为BM与侧面AC1所成的角.
且∠CMC1=90°，∠A1MC1=30°，所以∠AMC=60°.
设BC=m，则AC=，MC=m，
所以tan∠BMC=.
即BM与侧面AC1所成的角的正切值为.
(2)过A作AN⊥MC，垂足为N，则AN∥面MBC1.
∵面MBC⊥面MBC1，且过N作NH⊥MB，垂足为H，
则NH是N到面MBC1的距离，也就是A到面MBC1的距离.
∵AB=a,AC=,且∠ACN=30°，
∴AN=且∠AMN=60°，∴MN=.
∴NH=MNsin∠BMC=×(本题还可用等积法).
16.(1)如图所示,作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC

第16题图解
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角
∵AA1⊥A1C,AA1=A1C
∴∠A1AD=45°为所求.
(2)作DE⊥AB垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB,
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知AB⊥BC得DE∥BC,又D是AC的中点,BC=2,AC=2
∴DE=1,AD=A1D=,tan∠A1ED==,故∠A1ED=60°为所求.
(３)连结A1B,根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥C—A1AB的高h.
由VC—A1AB=VA1-ABC得S△AA1Bh=S△ABC·A1D
即,∴h=为所求.
17.(1)如图连结B1D1，AC，B1H，

第17题图解
∵底面为正方形ABCD，
∴对角线AC⊥BD.
又∵E、F分别为AB、BC的中点
∴EF∥AC.∴EF⊥BD.
又∵棱B1B⊥底面ABCD，EF面ABCD，∴EF⊥B1B.
又B1B∩BD=B,BB1面BB1D1D，BD面BB1D1D.
∴EF⊥面BB1D1D.
而B1Ｈ面BB1D1D，BH面BB1D1D，∴EF⊥B1H，EF⊥BH.
∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角.
在Rt△B1BH中，B1B=a,BH=，
∴tan∠B1HB=.
∴∠B1HB=arctan2.
∴二面角B1—EF—B的大小为arctan2.
(2)在棱B1B上取中点M，连D1M，
则D1M⊥面EFB1.连结C1M.
∵EF⊥面BB1D1D，D1M面BB1D1D.
∴D1M⊥EF.
又∵D1C1⊥面B1BCC1.
∴C1M为D1M在面B1BCC1内的射影.
在正方形B1BCC1中，M、F分别为B1B和BC的中点，
由平面几何知识B1F⊥C1M.
于是，由三垂线定理可知B1Ｆ⊥D1Ｍ，
而B1F面EFB1，EF面EFB1，EF∩B1F=F，
∴D1M⊥面EFB1.
(3)设D1M与面EFB1交于N点，则D1N为点D到面EFB1的距离，
∵B1Ｎ面EFB1,D1M⊥面EFB1，
∴B1N⊥D1M.
在Rt△MB1D1中，由射影定理D1B12=D1N·D1M，
而D1B1=a,D1Ｍ=，
∴D1N=
即点D1到面EFB1的距离为.
标准文档