单级倒立摆LQR控制.doc

单级倒立摆LQR控制
1、建模
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。
F
θ
X

M

其中：
M 小车质量
m 摆杆质量
b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度
I 摆杆惯量
F 加在小车上的力
x 小车位置
φ 摆杆与垂直向上方向的夹角
θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：

倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设，为足够小的角度，即可近似处理得：，，。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个方程如下：

取状态变量：

即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为：

将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：

这里设：

将参数带入，有：

2、LQR控制
线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。考虑线性系统的状态方程为：

找一状态反馈控制律：，使得二次型性能指标最小化：

其中，为系统的状态变量；、为起始时间与终止时间；为终态约束矩阵；为运动约束矩阵；为约束控制矩阵。其中、决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。
为使最小，由最小值原理得到最优控制为：

式中，矩阵为微分Riccatti方程：的解。
如果令终止时间，为一个常数矩阵，且，因此以上的Riccatti方程简化为。
对于最优反馈系数矩阵，使用Matlab中专门的求解工具lqr()来求取。将LQR控制方法用于倒立摆控制的原理如下图所示。

用Matlab求解lqr(A, B, Q, R)可以求出最优反馈系数矩阵的值。lqr函数需要选择两个参数和，这两个参数是用来平衡输入量和状态量的权重。其中，代表摆杆角度的权重，而是小车位置的权重。这里选择：

通过matlab求得：K = [-82.4246 -10.7034 -10.0000 -11.8512]。
3、仿真
通过matlab仿真，LQR控制倒立摆摆角和小车位移仿真结果如下图所示。
倒立摆摆角：

小车位移：

4、心得体会
通过对最优控制这门课阶段性的学习，对控制理论有了更深一步的理解。在把课上学到的方法应用到实际问题的解决中，拓宽了思路，开拓了事业，受益匪浅。感谢老师对我们悉心的指导，感谢同学们对自己的帮助。