工学弹性波动力学重点复习题.doc

绪论复习思考题
1．什么是弹性体?
当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，当外力作用取消后，物体的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状。这类物体称为弹性体。
2．物体在什么条件下表现为弹性性质，在什么条件下表现为塑性性质?
在外力作用较小，作用时间较短情况下，大多数物体包括岩石在内，表现为弹性体性质。外力作用大，作用时间长的情况下，物体会表现为塑性体性质。
3．弹性动力学的基本假设有哪些?
（1）介质是连续的
（2）物体是线性弹性的
（3）介质是均匀的
（4）物体是各向同性的
（5）物体的位移和应变都是微小的
（6）物体无初应力
4．什么是弹性动力学中的理想介质?
理想介质：连续的、均匀的、各向同性的线性完全弹性介质。
第二章复习思考题
3．什么是正应变、切应变、相对体变?写出它们的位移表达式。
答：正应变是弹性体沿坐标方向的相对伸缩量。切应变表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。相对体变表示弹性体体积的相对变化。

4．什么是旋转角位移?写出它与(线)位移的关系式。
旋转角位移为体积元侧面积对角线的转动角度。

5．试解释应变张量和旋转张量中各分量的物理含义。
分别表示弹性体沿x、y、z方向的相对伸长量；
分别表示平行于坐标面、和xoz的侧面积的角错动量。
分别表示与坐标面、xoz和平行的侧面积对角线围绕、y和轴的旋转角。
11．设弹性体内的位移场为，其中都是与1相比很小的数，试求应变张量、转动角位移矢量及体积膨胀率(相对体变)。
解：

应变张量
体积膨胀率

12．已知弹性体内的位移场为，其中为已知常数，试求应变张量和旋转张量，并阐述此结果反映什么物理现象。
解：

应变张量
体积膨胀率

反映了该弹性体没有发生体积及形状的变化，只是绕z轴旋转了一个角度。
6．什么是应力、正应力、切应力、应力张量?
答：作用于单位截面积上的内力，称为应力。应力作用方向与作用截面垂直，称为正应力；应力作用方向在作用截面上，称为切应力。三个相互正交的坐标面上应力矢量共同构成了应力张量。记为。
14. 已知弹性体内一点P处的应力张量由矩阵给出。试求过点P外法线方向为u=2i-2j+k的面元上的应力矢量。
解： 外法线单位矢量为
由得
得

则：
8. 杨氏模量、泊松比、剪切模量、体变模量各表示了什么物理含义?
答：（1）杨氏模量E，是正应力与正应变的比例系数；
（2）切变模量，是切应力与切应变的比例系数；
（3）拉梅系数，，反映正应力与正应变的比例系数的另一种形式；
（4）压缩模量或体变模量K，表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力间的比例系数；
（5）泊松比，表示物体横向应变与纵向应变的比例系数，故也称横向形变系数。
19. 已知一各向同性线性弹性体的弹性模量为：杨氏模量E=210Gpa，泊松比为0.28；其中一点处的应变分量为，其中a=，试求拉梅常数，并写出该点上的应力张量。
解：

体应变
则由应力应变关系

1．已知一弹性介质内，位移场为 ,其中试求点P(0,2,-4)处的应变张量、转动向量、体应变以及该点处的应力分量。
解：由题可知在P(0,2,-4)点
，
，
，
则应变张量为或
由转动向量

体应变
由应力应变关系有

20. 将代入用下标记号表示的运动微分方程中，化为矢量方程，并用梯度算子表示。
解：由可知
代入运动微分方程
得：
将各式分别乘以单位向量，相加，得：
第三章复习思考题
3．写出纵波和横波速度的表达式，分析它们之间的大小关系。

由于，因此，即，可见纵波速度大于横波速度。
4．什么叫泊松体?泊松体的拉梅常数、纵横波速度、泊松比各有什么特点?
答：，或者，具有这种性质的物体称为泊松体。对泊松体而言，。
14．已知某弹性介质中的P波速度为3600m／s，S波速度1950m／s，求该介质的泊松比。
解：

15．已知弹性介质中杨氏模量为E，泊松比为，求介质的P波速度和S波速度。
解：

6．简述地震波在弹性介质中传播的基本规律。
答：惠更斯（Huygens）原理：任意时刻波前面上的每一点都可以看作是一个新的波源（子波源），由它产生二次扰动，形成新的波前，而以后的波前位置可以认为是该时刻子波前的包络线。由波前面各点所形成的新扰动（二次扰动）在观测点上相互干涉叠加，其叠加结果是在该点观测到的总扰动。
斯奈尔（Snell）定律：反射波满足反射定律，而透射波满足折射定律（地震学中称透射定律），地震波也遵循这个规律，统称为斯奈尔定律。在界面上，入射波、反射波和透射波的 值相等，称为射线参数。
7．写出周期、频率、波长、波数、速度各量之间的关系式。

10．简述非均匀波的主要特点。
答：非均匀波的振幅在空间是变化的，随着空间坐标在变化。不均匀平面波其等相位面与等振幅面互相垂直。
16．已知介质1的P波速度为，介质2的P波速度为，有一平面简谐P波以入射角自介质1入射到两介质的分界面上，已知入射波的振幅为，频率为30Hz，反射P波和透射P波的振幅分别为和，试写出这三个波的波函数表达式。
解：临界角，入射角小于临界角。反射角等于入射角，根据透射定律，透射角。
平面简谐波函数，x轴向右，z轴向下
入射波：
反射波：
透射波：
17．已知一简谐P波的波函数为，试求以下问题：
(1)设x轴向右，z轴向下，请用一经过原点的射线画出此波的传播方向，并标明角度。

(2)这个波的圆频率和圆波数各是多少?在x方向和z方向上的视波数各是多少?
圆频率
在x方向和z方向上的视波数
圆波数或者
(3)这个波的真实传播速度、在x方向和z方向上的视速度各是多少?
解：
求解得波的真实传播速度：
在x方向和z方向上的视速度、
11．球面波、柱面波与平面波的本质区别在哪里?试解释球面扩散因子和柱面波扩散因子的物理含义。
答：平面波在其传播过程中波形及其振幅都不变化，而球面波的振幅随传播距离r的增大而衰减1/r，并且球面波在其传播过程中波形逐渐改变。远离震源时，柱面波的振幅随r增大而衰减，与成正比。球面扩散因子：表示波远离震源向外传播，其振幅不断衰减，且与到震源的距离成反比。
柱面波扩散因子：表示波远离震源向外传播，其振幅不断衰减，且与成反比。
第四章复习思考题
1．什么是机械能密度?什么是能流密度?写出能流密度和机械能密度的关系式，并解释其物理意义。
答：单位体积物体所具有的机械能叫机械能密度。
能流密度：单位时间内通过与能量传播方向垂直的单位截面积的机械能。

表明了单位体积的体积元内机械能在单位时间内的减少量等于通过其表面积的机械能流失量。
2．写出能流密度与应力张量和位移矢量的关系。写出简谐波强度的表达式。
答：
或

14．一平面波的位移位为，求应变张量分量、应力张量分量、能流密度矢量及波的强度分布。
解：由
可知

能流密度矢量
波的强度分布
3．常见的平面极化波有哪几种?什么叫转换波?什么时候会产生转换波?
答：常见的平面极化波有纵波、SV波（垂直极化横波）、SH波（水平极化横波）。
同入射波极化类型不同的波称为转换波(如入射波为纵波，则有转换反射横波和转换透射横波)。
转换波的产生是由于入射波倾斜地作用在分界面上，它可分解为垂直于界面的力和切向力两部分，导致体应变和切应变，则相应有P波和SV波产生。转换波的能量与入射角有关，垂直入射时不能形成转换波；只有入射角达到一定程度时，才有足够能量的转换波被记录下来。
6．Knott方程和Zoeppritz方程各表达了什么含义?它们之间的关系如何?
答：Knott方程表示以位移位振幅比表示的P波入射时的P波反射系数、SV波反射系数、P波透射系数和SV波透射系数的表达式。
求解该方程，可以得到以位移位振幅比表示的纵横波的反射系数及纵横波的透射系数。同时，也是用位移位振幅比表示的入射纵波和各反射波或透射波的能量分配关系。可以看出，它们除了同入射角有关外，还同上下介质的速度和密度参数的比值有关。
Zoeppritz方程表示以位移振幅比表示的P波入射时的P波反射系数、SV波反射系数、P波透射系数和SV波透射系数。

7．写出平面P波垂直入射到弹性界面上时的反射透射系数表达式，并说明其主要特点。

（1）平面P波垂直入射到弹性界面上时，将产生反射P波和透射P波。为了形成反射波，分界面两侧介质波阻抗必须存在着差异，。波阻抗差异大，反射系数大，界面反射波强；相反，波阻抗差异小，反射系数小，界面反射波弱。
（2）当波在波阻抗大的分界面（）反射时，反射系数为正，这意味着反射波相位与入射波相位相同。相反，当波入射到波阻抗小的分界面（）时，反射系数为负值。这时反射波相对入射波有相位差，称为“半波损失”现象。
（3）平面P波垂直入射到弹性界面上时，在分界面另一侧产生的透射波，总是和入射波同相位。
8．什么叫透射损失?写出其表达式。
答：表示波从不同的方向穿过同一界面一个来回时振幅的变化，称为界面的“透射损失”。
9．证明平面P波垂直入射到弹性界面上时满足能量守恒关系。
证：=0，
入射P波的能量：
反射P波的能量：
透射P波的能量：

把代入能量计算式

所以平面P波垂直入射到弹性界面上时满足能量守恒关系。
第五章复习思考题
1．试解释频散的概念和相速度、群速度的物理含义。
答：如果传播速度成为与地震波的频率有关的函数，那么构成脉冲波的各简谐分量将分别以各自不同的速度传播，在经过一定的时间后，各简谐波有着不同的传播距离，因而由它们叠加而成的波的延续长度(扰动区域的范围)就要比开始时有所增大。换句话说，随着时间的推移，一个脉冲波将逐渐地变为一列波，这种现象称为波的频散(dispersion)。
相速度：简谐波中任一等相位面的传播速度，即整个简谐波的传播速度。
群速度：整个波列的传播速度。
第六章复习思考题
1．解释波动方程的克其霍夫积分解即式(6—15)的物理含义。
答:
式中的体积积分项是非齐次波动方程的特解，对应Ω区域内部震源对波场贡献部分，被积函数r为内部空间震源单元到观测点P的距离；而式中的面积积分是齐次波动方程的一般解，反映Ω区域以外的外部空间震源的影响。
2．解释推迟位和超前位的概念。
推迟位:
超前位；
4．克其霍夫积分解求解的是哪一类波动方程?其求解思路是什么?
答：震源分布于曲面以外的区域，我们希望确定曲面内部空间的位移场，解决的则是内部问题。
（1）利用傅立叶变化得到亥姆霍兹方程
（2）利用格林公式求解亥姆霍兹方程
（3）利用傅里叶反变换求未知函数
3．解释克其霍夫绕射公式中各项的物理含义，并说明克其霍夫绕射公式在实际中的应用。
答：
空间任意一点P的波场值都是闭合曲面S上各点作为新震源发出的二次元波在该点叠加的结果，参与叠加的各元波对P点波场所起的贡献大小不同，贡献大小由方向因子决定。
5．解释菲涅耳带的概念及其影响因素，并说明菲涅耳带半径与地震分辨率的关系。
答：积分式的积分区域S是地下整个反射面的面积。为了完成这一积分，我们对积分区域S进行分解，按照一定原则将它划分成一系列以地下反射点R为圆心的同心圆环状区带。划分的原则是：使得相邻圆环上的点到P点的距离之差等于地震波长的四分之一。这样，来自相邻圆环上各点的绕射波传到P点的双程走时为地震波周期的一半，即反相。

这些同心圆环分别称为第一、第二、第三、……菲涅耳带。第一菲涅耳带也简称菲涅耳带。
对地下整个界面S的积分，近似等于对第一菲涅耳带Sl内的积分的一半。习惯上不考虑常数，认为菲涅耳带内绕射波的积分就是反射波场。
菲涅耳带半径: 菲涅耳带决定着地震反射的横向分辨率。可以看出，界面埋藏越深，地震波波长越大(频率越低)，菲涅耳带半径越大，地震横向分辨率越低；反之，地震横向分辨率越高。
第七章复习思考题
5．常用的描述地震波吸收特性的参数有哪些？写出它们各自的表达式及相互关系式。
答：（1）吸收系数：
可见，表示地震波振幅随传播距离的衰减，单位是1/m。
（2）衰减因子：
表示地震波振幅随传播时间的衰减，单位是1/s。
（3）对数衰减率：
对数衰减率描述了波传播一个波长或一个周期时的振幅变化，是个无量纲的量。
对数衰减率与吸收系数间存在下列关系

（4）品质因子：
利用在一个波长的距离上（或一个周期T的时间内）地震波能量的相对衰减量来描述介质的吸收性质。
或
7. 已知某地层的品质因子Q=60，地震波速度v=2000m/s，以地震波离开震源200m时的能量为参考标准，进行下列计算并做简单的比较。
（1）计算离开震源2200m处2Hz，40Hz，100Hz的地震波由于地层吸收而衰减的能量。
（2）计算离开震源2200m处2Hz，40Hz，100Hz的地震波由于球面扩散而衰减的能量。
（3）若离开震源距离变为4200m，重新计算上述内容。
解：（1）一个波长的距离上（或一个周期T的时间内）地震波能量的相对衰减量 地震波的波长
2Hz的地震波的波长为1000m
离开震源2200m处地震波能量的相对衰减量为：
40Hz的地震波的波长为50m
离开震源2200m处地震波能量的相对衰减量为：
100Hz的地震波的波长为20m
离开震源2200m处地震波能量的相对衰减量为：
（2）地震波由于球面扩散而衰减的能量与频率无关，只与传播路径有关。因为 ，所以
（3）离开震源距离变为4200m
2Hz的地震波能量的相对衰减量为：
40Hz的地震波能量的相对衰减量为：
100Hz的地震波能量的相对衰减量为：
地震波由于球面扩散而衰减的能量

公式推导题
1．试推导出几何方程及体应变。
解： 以为例来推导

单元体沿x方向受力，，，

相对伸长量为
同理可得
则体应变为
2. 什么是切应变？推导切应变
答：切应变也称剪切应变，表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。
如图所示，由弹性体中截取一个体积元，考察其侧面积在应变过程中的变化。设物体受一个切向力的作用，形状发生改变，侧面积变为。

我们假定位置不变，移至，移至，即垂直线段沿方向发生了位移，水平线段沿垂直方向发生了位移。显然，；在应变过程中侧面积形状的改变表现为其侧面角度错动。我们这里假定点位置不变，其位移为零，并不影响有关侧面积形状的讨论。由图可以看出，侧面积侧面角由变为，变化量，

因此，侧面角变化量为：
同理可以讨论其它两个侧面积形状的改变。
对平行于坐标面的侧面积，可有：
对平行于坐标面的侧面积，可有：
3. 根据虎克定律，推导正应力与正应变关系式，其中、为拉梅系数。
解：据实验结果，相对伸长量与作用力（正应力）成正比。对沿x方向伸长的物体，有，E为杨氏模量。
另一方面，物体沿一个方向伸长时，在其它两个方向会发生压缩。纵向伸长和横向压缩存在着比例关系，即：，为泊松比。
同理在y、z方向也存在类似关系式：

一般情况每个方向既发生纵向伸长（或压缩），也发生横向压缩（或伸长），则可写出如下关系式：
（1）
相对体积变化为：
（2）
由（1）式和（2）式解得应力、、的表达式
令
得 、称为为拉梅系数。
4. 根据达兰贝尔原理，推导弹性介质运动的应力方程。
解：设介质质点位移函数为
对于弹性介质体内的一体积元dv，为介质密度，则其受惯性力为 ，对整个体积V，求积分得到
对于介质受到的在i方向的面力为，为应力分量，为法线的方向余弦。S面上的微量面元ds的面力作用为，对作用于整个封闭曲面S的面力为

作用于介质的体力分布于整个体积上，与质量有关。定义为作用于单位质量上的体力，是它在i方向的分量，，则作用在介质上的体力为。
由达兰贝尔原理，惯性力与体力和面力相平衡，按作用力各分量列出方程式：

利用散度定理将面力项化为体积分的形式可得
对于任意的V上式均成立，则被积函数为零，即
5. 由运动平衡微分方程式推导出由位移向量表示的运动位移方程
解：运动应力方程的展开式为

把应力与应变关系式及应变与位移的关系式代入上式再整理。

以式（1）为例代入整理

同理

将得到：

再将和代入上式得到

6. 由齐次波动方程推导纵波与横波波动方程，
，。（提示：利用关系式）
解：将代入运动位移方程

利用

若两个方括号中的式子为零，则方程得到满足。

其中纵波传播速度：，横波传播速度：
7. 利用傅里叶变换法求解波动方程一维齐次波动方程的平面波达兰贝尔解，并说明达朗贝尔解物理意义。
解：利用傅里叶变换式
对方程求傅里叶变换

利用了傅里叶变换的时域微分性质

式中，是波数。此方程就是一维亥姆霍兹方程，它的解

使用傅里叶反变换可得时间域的解，其形式为

这里利用了傅里叶变换的时移性质

式中，和为子波函数，和是它们的傅里叶变换。即

式为一维齐次波动方程的平面波达兰贝尔解。
是一个沿+方向以为速度传播的平面波，是一个沿方向以为速度传播的平面波。一维波动方程的通解表示介质中激发的平面波总是分为两部分传播出去，这两部分平面波的传播方向相反、速度相等。
8．当SH波入射到自由表面上时，会产生什么样的反射波，推导反射系数公式。
解：如图所示，一个SH波入射到自由表面上，只可能产生一个反射SH波。

入射波和反射波的位移函数
入射SH波：
反射SH波：
在时，有边界条件：
将代入边界条件求解得到

SH波在自由表面的反射系数为1，与入射角无关，且无转换波产生，也无半波损失现象。
9.推导SH波入射到介质分界面时的反射、透射系数公式。
解：SH波入射到介质分界面时只产生反射 SH波、透射SH波。
设入射角为、根据Snell定理反射角与入射角相等，透射角为，并且
，位移v满足齐次波动方程，入射波、反射波、透射波的位移函数分别为

边界条件为： 其中
把位移函数代入边界条件得通过求解此方程组得到
10．推导P波入射到自由表面时位移振幅比与位移位振幅比之间的关系。

解：入射P波、反射P波和反射SV波的位函数分别为
(1)入射P波
(2)反射P波
(3)反射SV波
将入射波、反射波和反射波位移位、和，分别代入式，

得到各类波相应的位移分量、、；

处的位移根据其分量计算
入射P波：
反射P波：
反射SV波：
得到处的反射波和入射波振幅比：（利用广义Snell定律，后面的e指数是相同的）

位移振幅比等于位移位振幅比乘以相应波传播速度之比的倒数。
11.瑞雷面波是怎样产生的？具有什么特点？推导瑞雷面波的位函数。推导瑞雷面波的存在条件，即。
答：瑞雷面波是由于纵波与横波入射到自由表面时干涉而产生的。
Rayleigh面波是沿x方向平行于自由表面传播，波的振幅与z坐标有关，并且在z>0，即下半空间随着z的增大，振幅呈指数衰减，当z→∞时，该波不存在。
瑞雷面波的位函数和满足齐次波动方程

波动方程的通解可以表示为：

设波沿x方向的视速度为c，视波长为，，
瑞雷面波是沿x方向以c为速度传播的平面简谐波，则波函数形式可以写成：

把第一项改造为振幅沿z方向(z>0)衰减的项，而所讨论的瑞雷面波正是具有这样的性质。为此将c改写为，表示瑞雷面波的传播速度，改写为，取

为了使上面两项为实数，要求，，即。
令

所以瑞雷波波函数为

12．设点有一震源，激发简谐振动，以球面波形式向四周传播，经时间后，传播至以为半径的球面S上，试用Kichhoff积分公式

推导计算球面外任意一点P处波场的Kichhoff衍射公式。
解：围绕P点确定一个闭合曲面S，它由三部分构成：Q点处（）, （）（）至无限远处。是点至点的矢量；是点至点的矢量；是S曲面Q点处外法线方向：与之间的夹角；：与之间的夹角。
由惠更斯原理可知，处振动为简谐振动，发出的球面波到达Q点处的波函数为：

闭合曲面S内无震源，因此利用齐次波动方程的克其霍夫积分解得到：

在曲面S上，代入上式整理：
（1）
其中
所以

因此
（2）
其中
，
所以
（3）
因此Q点对P点波场的贡献为：

如果和的条件成立，即波的传播距离和远大于波长，则有
，
再考虑到整个曲面对P点波场的贡献，则

这就是求外部空间波场的克其霍夫衍射公式。
13.利用格林公式推导齐次波动方程的Kirchhoff积分公式。
（格林公式为：）
解：齐次波动方程 （1）
A．对方程（1）进行时间域傅立叶变换：

则有亥姆霍兹方程其中
B．另选一个函数，使它与具有相同的性质，即同是波动方程的解，满足亥姆霍兹方程；满足格林公式
因为和，
所以
代入格林公式得到 （2）
C．取一个球面波解函数，它在处是奇异的，为了使之满足格林公式，用一个以p 为中心，以为半径的球面将p点包围，把它剔除，这样（2）式变为 （3）
D．通过整理计算 （4）
代入（3）式得 （5）
E．再经反傅立叶变换并整理得
Kirchhoff积分公式，其中为u的推迟位，其它雷同。
14.已知由地面点P0 发出简谐波,平行于地面的界面S的反射系数为ξ,利用Kirchhoff衍射公式

求P点接收到的反射波函数。
解：在S面上取任意点R，在R处的面积元为ds，波入射到R点时乘以反射系数，因此R处的反射波函数为：，反射波沿原入射路径返回地面观测点P，其波场值为：，
其中反射波传播路径为，与相同。S反射面对P点波场的总贡献为：
其中
从右图可以看出