2015线性代数教案.doc

教 案
（2013-2014学年 第2学期）

课程名称：
线性代数
任课教师：

教师职称：

所在院系：

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教学教案设计（首页）
课程名称
线性代数
总课时
34
理论课时
34
实践课时
0
主讲教师

职称
助教
授课方式
√ 课堂讲授 □ 实践课
考核方式
√ 考试 □ 考查
课程类型
□ 公共课 √ 基础课 □ 专业基础课 □ 专业课 □ 选修课
教材名称
线性代数
作者
同济大学数学系
出版社
高等教育出版社
指定参考书
书名
作者
出版社

模块名称
考试范围
考试时间
第一模块
行列式与矩阵的运算
1-80页
第10周
第二模块
线性方程组及向量组
81-120页
第17周
教学目的及要求

装 订 线 装 订 线
教学教案设计（续页）

第一 章 行列式
§1.1 n 阶行列式定义
教学目的：使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算
教学重点：n阶行列式定义及计算
教学难点：n阶行列式定义
一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授
（一） 二阶、三阶行列式
对于二元线性方程组
（1.1）
采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此：
第一个方程乘以a22与第二个方程乘以a12相减得
（a11a22－a21a12）x1= b1a22- b2a12
第二个方程乘以a11与第一个方程乘以a21相减得
（a11a22－a21a12）x2=a11b2-a21b1
若a11a22－a21a12≠0，方程组的解为
（1.2）
容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。
称a11a22－a21a12为二阶行列式，它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D。我们若记

方程组的解（1.2）式可写成
对三元线性方程组
（1.3）
与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解：

(1.4)
为方程组（1.3）的系数行列式, Dj (j=1,2,3)是将D的第j列换成常数列而得到的行列式。
二阶、三阶行列式可用对角线法则计算。
为研究高阶行列式的结构，下面考察等式（1.4）：
（1.4）式也可写成如下形式

这里j1 j2 j3是1，2，3的一个排列，表示对所有的3级排列求和。
(二) n阶行列式的定义
1. 定义：把由n2个数排成n行n列的
（1.5）
称为n阶行列式,它等于所有取自(1.5)中属于不同行同列的n个元素的乘积

的代数和。这里j1 j2 … jn是1，2，…，n的一个排列，当τ(j1 j2 … jn)是偶数时，乘积项前面取正号，当τ(j1 j2 … jn)是奇数时，乘积项前面取负号。亦可以将这一定义写成
(1.6)
等式（1.6）右边表示此n阶行列式的展开式，亦表示n阶行列式的值。
当n=2或n=3时(1.6)式表示二阶或三阶行列式,我们还规定一阶行列式|a|的值等于a。
2. 例:计算行列式
(1) (2)
解:

根据例中（1），对于n阶对角行列式可证得下面的结论：

例5 求下面四阶上三角行列式的值

解：根据行列式的定义可知，若乘积项不为零，第一列只能取a11，第二列两个非零元素只能取a22，第三列三个非零元素只能取a33，第四列四个非零元素只能取a44，故此

对于n阶上、下三角行列式，我们可以证得以下结论：
。
由此，设法将一般高阶行列式化成三角行列式再求值，是计算行列式的一种简单方便的方法。
（三）n级排列 及其奇偶性
1.定义：由n个数1，2，3，……，组成的一个有序数组称为一个n级排列。
例1 4321是一个4级排列，35241是一个5级排列．123…n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列．
2.定义：在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序。在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列 j1 j2 … jn 的逆序数记为 τ(j1 j2 … jn)。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，
逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例3 在4级排列中，τ(3412)=2+2=4，故4级排列3412为一个偶排列。
τ(2341)=1+1+1=3，故4级排列2341为一个奇排列。
定理1.1：一个排列中的任何两个元素对换，排列改变奇偶性

§1.2 n阶行列式的基本性质
教学目的：了解和掌握n阶行列式的基本性质
教学重点： n阶行列式的基本性质
教学难点：n阶行列式基本性质及利用行列式的性质计算行列式
一、导入：复习第一节内容
二、新授
（一）定义：将行列式D的行列位置互换后所得的行列式称为D 的转置行列式，记为DT。即
,
（二）性质
性质1：行列式D与它的转置行列式DT值相等，即 D=DT 。
性质1说明行列式中行与列的地位是相同的，所以凡对行成立的性质，对列也成立。
性质2：行列式中任意两行（列）互换后，行列式的值仅改变符号。
若设
， 则D =－D1 。
证明：，根据定理1，

性质3：若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式值等于零。
证明： 设行列式

将i行与j行交换，由性质2得 D=－D，于是2D=0，即D=0。
由行列式的定义可直接证得：
性质4：以数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，就等于用k去乘此行列式。即

或者说，若行列式的某一行（列）中所有元素有公因子，则可将公因子提取到行列式记号外面。
性质5：若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值等于零。
根据性质3、性质4可推出：
性质6：若行列式中有两行（列）的元素成比例，则行列式的值等于零。
由行列式定义可证得：
性质7：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和。即

根据性质4、6、7可证得：
性质8：若在行列式的某一行（列）元素上加上另一行（列）对应元素的k倍，则行列式的值不变。即

在计算行列式时，为了便于检查运算的正确性，一般注明每一步运算的依据。为此我们约定采用如下的记号：
用ri+krj表示在行列式的第i行元素上加上（减去）第j行对应元素的k倍。
用ci+kcj表示在行列式的第i列元素上加上（减去）第j列对应元素的k倍。
（三） 例1计算

解：

例2 计算

解：这个行列式的特点是各列4个数之和都是7，所以有

例3 计算行列式

解：根据行列式的性质有

例4 计算行列式

解：

例5 解下列方程
（1）；（2）
解：（1）这是一个用n阶行列式表示的方程，在这个方程中，未知量x的最高次是n，所以方程有n个根。解这类方程的基本思路是先用行列式的性质将其化简，写出未知中量x的多项式，然后再求出它的根。这个方程左端是一个n阶字母行列式设为Dn，计算时需要一些技巧。先化简行列式。

于是原方程式为 [x+（n－1）b]（x－b）n-1=0
解得原方程的解为 x1=（1－n）b，x2=x3=…=xn=b 。
（2） 因为

于是原方程式为 5（x－4）（x+5）=0，解得x1=4，x2=-5。

练习
用行列式的性质证明：
（1） （2）

3. 小结：本节学习了n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算，n阶行列式的基本性质，应掌握利用行列式的性质计算行列式的方法
§1.3 n阶行列式的按行(列)展开
教学目的：使学生了解和掌握n阶行列式的按行(列)展开
教学重点：n阶行列式的按行(列)展开
教学难点：n阶行列式的按行(列)展开
一、 导入
二、 新授
（一）造零降阶法
1. 定义：在n阶行列式

中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后所留下的n-1 阶行列式称作元素aij的余子式，记作Mij，并记 Aij =（-1）i+j Mij
Aij称作元素aij的代数余子式。
2. 例1 在四阶行列式
中元素的余子式和代数余子式分别为
A23 = （－1）2+3M23 =－M23
在三阶行列式
中元素的余子式和代数余子式分别为
A31=（－1）3+1M31=－3
（二）. 定理1：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为零，则这个行列式等于元素aij与它的代数余子式Aij的乘积，即
D=aij Aij
证明：分两种情形来证。首先证明位于第1行第1列的情形，此时行列式为

由行列式定义，并注意到第可1行中除第1列外其余列元素全为零。可将Dn表示为

而按行列式定义 又有

于是 Dn = a11 M11 又 A11 = （－1）1+1M11 = M11
从而 Dn = a11 A11
再证一般情形。此时行列式可设为

把Dn行列作如下的调换：把Dn的第i行依次与第i-1行、第i-2行、…、第1行对调，这样aij就调到原来a1j的位置上，调换的次数为i-1。再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、…、第1列对调，这样元素就调到左上角a11位置，调换次数为j-1。最终经过i+j-2次调换，把元素调到a11位置，而所得的行列式应为
D1=（－1）i+j-2D= （-1）i+jD
由于aij位于D1的左上角，利用前面的结果，有 D1 =aijMij
于是Dn = （-1）i+jD1 =（-1）i+jaijMij = aij Aij 。
例2 计算行列式

解：利用定理1，先对第三行进行造零，则有

例3 计算行列式
解：这个行列式从第二行开始，每一行元素之和都等于零，故此将第2、3、4、5列分别加到第1列上得

例4 计算行列式

解：本行列式具有每一行（列）元素之各都相同，因此把第2、3、…、n-1列都加到第一列上，可得到

例5 证明范德蒙（vandermonde）行列式：

证明：用数学归纳法证明。
当n=2时，有

命题成立。
假设命题对n-1阶范德蒙行列式成立。
下面证明命题对n-1阶范德蒙行列式也成立。

由命题假设

代入上式，得
.
（三）行列式按某一行（列）展开定理
定理2：n阶行列式Dn的值等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

（i=1，2，…，n）
或者

（j=1，2，…，n）

证明：

类似地，可证明
Dn=a1j A1j + a2j A2j +…+anj Anj （j=1，2，…，n） 定理2叫做行列式按行（列）展开法则。利用这一法则并结合行列式性质，可以化简行列式的计算。
例6 计算行列式

解：根据行列式的特点，对第一列用定理2的方法展开可得

推论：n阶行列式Dn的任一行（列）元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
ai1Aj1 +ai2Aj2 +…+ainAjn =0 （i≠j）
a1iA1j +a2iA2j +…+aniAnj =0 （i≠j）
综合定理1和推论可得出如下表达式：

或
§1.4克拉默法则
教学目的：克拉默法则及其应用、n元齐次线性方程组
教学重点：克拉默法则及其应用
教学难点：克拉默法则的证明

一、导入
二、新授
（一）定理1.4(克莱姆法则)：如果线性方程组
（1.6）
的系数行列式不等于零，即

则方程组（1.6）有唯一解
，，…， (1.7)
其中Dj (j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右
端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即

证明：用系数行列式D中第j列元素的代数余子式A1j ,A2j ,…,Anj依次乘方程组(1.6)的n个方程,再把它们相加,得

根据定理3的推论可知,上式中xj 的系数等于D,而其余的系数均为零,等式右端即为Dj 。于是有
Dxj = Dj （j=1，2，…，n） (1.8)
当D≠0时，方程组（1.6）有唯一的一个解(1.7)。
由于方程（1.8）与方程(1.6)是同解方程,故此,方程(1.6)的解一定是方程(1.8)的解。而方程（1.8）仅有一个解（1.7），故方程（1,6）如果有解只可能是解（1.7）。下面验证解（1.7）是方程（1.6）的唯一解。取一个两行相同的n+1阶行列式
（i =1，2，…，n）
它的值为0，把它按第一行展开，得
0=biD －ai1D1－…－ainDn
由于D≠0，所以
（i=1，2，…，n） 。
（二） 例1 解线性方程组

解：利用克拉默法则求方程组的解。

所以方程组有唯一解；又

于是方程组的解是
。
例2 一个土建师，一个电气师，一个机械师，组成一个技术服务队，假设在一段时间内，每人收入1元人民币需要 其它两人的服务费用和实际收入如表一，问这段时间内，每人的总收入分别是多少？
被服务者
服务者 土建师范 电气师 机械师 实际收入
土建师 0 0.2 0.3 500
电气师 0.1 0 0.4 700
机械师 0.3 0.4 0 600

（表一）
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是x1，x2，x3。根据题意，列出下列方程组：
即

, , .
答：这段时间内，土建师的总收入是1256.48元，电气师的总收入是1448.13元,机械师的总收入是556.20元。
（三）n元齐次线性方程组
1. 在线性方程组（1.6）中,当常数项b1,b2,…,bn全都为零时,即
(1.9)
称为n元齐次线性方程组。
零解：当系数行列式D不等于零时， x1=0，x2=0，…，xn=0 。（或称为平凡解）
非零解：（或称为非平凡解）
2. 定理1.5：含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组(1.9)有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式D=0。
证明：如果D≠0，则方程组(1.9)只有唯一解是零解，因而没有非零解。
反之，如果D=0则方程组(1.9)不是有唯一解，那么方程组(1.9)或者有解或者无解。但方程组(1.9)至少零解，因此，方程组(1.9)有无穷多解，从而除了零解之外还有非零解。
3. 例3 求下面齐次线性方程组的解

解：

所以方程组只有零解。即x1=x2=x3=x4=0
例4 问k为何值时，方程组

有非零解？
解：将方程组整理得

根据定理5，当且仅当系数行列式等于零时，齐次线性方程组有非零解，即
，
（3－k）2－1=0
故当k=2和k=4时方程组有非零解.。
三、练习
1
2.. k取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：

3. 小结：本节学习了n阶行列式的按行(列)展开，克莱姆克拉默法则及其应用

第二 章 矩阵
§2.1 矩阵及其运算
教学目的：使学生学习矩阵相关的概念及运算
教学重点：矩阵的概念及运算，几种特殊的矩阵
教学难点：矩阵的的乘法运算，
一、导入
矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。
二、新授
1．定义1：由个数排成的行列的表

称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。
一般用大写黑体字母表示：记为A、B、C。为了表示行和列，也可简记为或矩阵中数称为矩阵的第行第列元素。
注意：
m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。
n=1 称为列矩阵或列向量 。
m=1 称为行矩阵或行向量 。
定义2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为A=B。
把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。
例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵

其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵

其中为第中产品的单价，为第种产品单价重量。
2．特殊形式矩阵：
（1） n阶方阵：在矩阵中，当时，称为阶方阵
（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
叫做列矩阵
（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵
3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵
4．常用特殊矩阵：
（1）对角矩阵： （2）数量矩阵：
（3）单位矩阵：
（4）三角矩阵：
称作上三角矩阵， 称作下三角矩阵。
5.矩阵的运算
一、 矩阵的加法：
定义3：A+ B=（）+（）= （+ ）
=
两个同型（m行）、同列（n列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）
由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律
1、 交换律A+ B= B+ A
2、 结合律（A+ B）+C= A+ (B+C)
3、 有零元A+0=A
4、 有负元A+(-A)=0
二、 数与矩阵的乘法
定义4、给定矩阵A=（）及数k,则称（k）为数k与矩阵A的乘积。即kA= k=

由定义可知 –A=(-1)A
A – B = A+(-B)
数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：
（a）
（b）
（c）
例1 设
，求。
解：
三、矩阵的乘法
(1) 定义5：设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中

(2) 矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：
(a) 结合律：； （b）分配律：；
（c）设是数，。
例2设 ， ，
求，与。
解：;

从例题中我们可以得出下面的结论：
（i）矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说，。
（ii）两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来，不能推出或。
（iii）矩阵乘法中消去律不成立。即，且，不能推出
(3) 设是一个阶方阵，
定义： （是正整数）称为的次方幂。
由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：
； ，
其中，为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。
设是的一个多项式，为任意方阵，则称 为矩阵的多项式
四、矩阵的转置
1．定义：设
则矩阵 称为的转置矩阵
2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：
（1） （2）
（3） （是数） （4）
例3 设BT=B, 证明(ABAT)T=ABAT
证明：因为BT=B， 所以 (ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT
3．定义：设为阶方阵，如果，即有 则称为对称矩阵。如果，即有，，则说为反对称矩阵。

五、 方阵的行列式
1．定义6：由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式(determinant of a matrix A)，记作|| 或 。
2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：
（1）；（2）；（3）。

3. 小结：
本节介绍了矩阵的概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵以及矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算在矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

§2.2 逆矩阵
教学目的：会判断矩阵的可逆性，矩阵可逆的条件
教学重点：1．可逆性判定；2. 矩阵可逆的条件
教学难点：求逆矩阵
一、导入
求逆矩阵是矩阵的一种重要运算，它在矩阵的应用中起到重要的作用。
二、新授
逆矩阵的概念
1．定义：设为阶方阵，若存在阶方阵，使

则称是可逆矩阵。并称为的逆矩阵，记为，即。
如果矩阵是可逆的，则的逆矩阵是唯一的。事实上，设，都是的可逆矩阵，则有 ，
于是 。
2．定义：设为阶方阵，若，则称是非奇异的（或非退化）的，否则称是奇异的（或退化的）。
3．定义：设 ，令为中元素的代数余子式，则称方阵
为的伴随矩阵，或记为。

矩阵可逆的充要条件
定理：方阵可逆的充分必要条件是为非奇异矩阵，即，并且
证明：充分性：设
，
由第一章中定理1.4及推论可知

又知，所以有 故可逆，且 。 证毕。
推论1：若是可逆矩阵，则经过若干次初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵。
推论2：若（或），则。
方阵的逆矩阵满足下面运算律：
（1） 若可逆，则； （2）若可逆，数，则；
（3）若，为同阶可逆矩阵，则；
（4）若可逆，则；（5）若可逆，则
逆矩阵的计算方法： 伴随矩阵求逆矩阵
例1求方阵 的逆阵。
解：求得 ，所以存在，又

得 所以

例 用伴随矩阵法求A的逆矩阵

解：因为 ，所以A可逆。
，
，，

3. 小结：
本节讲授了逆矩阵的概念、可逆条件和求逆的方法，要求会求逆矩阵。

§2.3 矩阵的分块法
教学目的：会用分块矩阵作加、减、数乘法、转置运算
教学重点：分块矩阵的乘法运算
教学难点：分块矩阵的乘法运算
一、导入
对于行数和列数较大的矩阵我们经常会采用一种分块的方法（即将高阶矩阵划分成若干个小块后再进行降阶运算），它是计算高阶矩阵的一种有用的技巧。
二、新授
分块矩阵的概念
设是一个矩阵，我们将用若干条横线和纵线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为的子块（或称为的子矩阵），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵的运算
1．分块矩阵的加法：设矩阵A和B是两个同型矩阵，且采用同样的方式进行分块，则分块矩阵A与B相加，只需的把对应子块相加。
2．数与分块矩阵的乘法：数与分块矩阵相乘等于用这个数乘每一个子块。

3．分块矩阵的乘法：设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，将它们分块成
，
其中
4、分块矩阵的转置：设
， 则
5、分块对角矩阵的行列式具有性质：
例 设矩阵
， 求A+B，AB。
解：按相同的分法把A，B分成以下子块

则有 而
所以，
而， 故 .
3. 小结：
本节主要介绍矩阵的分块运算，作为选讲内容 ，对其概念和运算要求一般性的掌握。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
教学目的：掌握矩阵的初等变换和初等矩阵,会进行初等变换
教学重点：初等变换，利用初等变换求矩阵的逆
教学难点：利用初等变换求矩阵的逆
一、导入
矩阵的初等变换是一种奇妙的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用，借助它我们可以得到很多有用的的结论。
二、新授
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
（1）互换矩阵中两行（列）元素（记ri←→rj 或ci←→c j ）；
（2）用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）（记k×ri或k×ci ）；
（3）矩阵的某一行（列）元素倍地加到另一行（列）对应元素上（记ri +k×rj 或ci + k×c j ）；（注意：本行的元素并没有改变）
矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。
如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B，则称A与B等价。记做A ~ B 或 A →B 。矩阵等价的三个性质：
（1）反身性 A →A ；
（2）对称性 若A →B ，则B →A ；
（3）传递性：若A →B ，B →C ，则 A →C。
行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，即每段竖线的长度为一行，竖线后面的第一个元素为非零数。如
，，
等都是行阶梯形矩阵。
行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础上，每个非零行左数第一个非零元是1，并且它所在列的其它元素都是零。
标准型矩阵：它的左上角为一个单位阵，其它元素都是零。就是.
定理1 任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等行变换将其变成行阶梯形矩阵，进一步还可化成行最简形矩阵。
定理2 一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵。
定理3 任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等变换将其变成标准型矩阵
定义2（初等矩阵）对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵。有以下三种类型：对调、倍乘、倍加，
1．对调两行或对调两列 记为
。
2．以k≠0乘矩阵某行或某列 记为
, 其中 。
3．以数k乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去 记为
,
初等矩阵有如下性质：
性质1 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，
；；
性质2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵，
；；
性质3 对矩阵A施行一次行初等变换相当于在A的左边乘一个同类m阶初等矩阵；而施行一次列初等列变换相当于在A的右边乘一个同类n阶初等矩阵。
初等矩阵的这个性质为计算逆矩阵提供了一个方法，讨论如下。
设A是阶可逆矩阵，由上节定理2（一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵）则A可经过有限次初等行变换变成单位阵，即存在一批初等矩阵P1、P2、…、Ps ，使得
Ps … P2 P1 A = E ，所以 Ps … P2 P1 = A-1 ，
这样，如果把将A化成E过程中的每个初等阵Pi都记载下来，就可得到A的逆矩阵 A-1 = Ps … P2 P1 ，可以想象这样做也很麻烦。
采用对比的方法：
Ps … P2 P1 A = E ，
Ps … P2 P1 E = A-1 ，
就是说，对A做什么样的初等行变换，就对E做什么样的初等行变换，而不必记载中间的初等变换的具体结果，直至将A化成E 。
再考虑到分块矩阵的乘积，有
Ps … P2 P1（ A | E）=（Ps … P2 P1 A | Ps … P2 P1E ）=（E | A-1）
用初等变换表示上面的过程，就是
（ A | E）→（P1 A | P1E ）→（P2 P1 A | P2 P1E ）→ … →
（Ps … P2 P1 A | Ps … P2 P1E ）=（E | A-1）。
这就是用初等变换求逆矩阵的方法。
例3 用初等变换法求矩阵的逆矩阵。
例4 用初等变换法求矩阵的逆矩阵。

§3.2 矩阵的秩
教学目的：理解矩阵秩的概念并求解矩阵的秩
教学重点：矩阵秩的求解
教学难点：矩阵秩的求解
定义3 在m×n矩阵A中，任取k（k ≤ min{m，n}）行、k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变顺序组成一个k阶行列式，称此行列式为矩阵A的一个k阶子式。
一般地说，矩阵A的一个k阶子式不止一个，可以计算它共有个k阶子式。
例如，，是它的一个二阶子式，是它的另一个二阶子式，它共有个二阶子式。
是它的一个三阶子式，共有个三阶子式。
是它的一个一阶子式，它共有个一阶子式,它无四阶和四阶以上子式。
定义4 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式，而所有的r + 1阶（如果存在）子式均为零，则r称矩阵A的秩。记做R（A）= r 。
利用定义计算一般矩阵的秩可能需要较大的计算量，不是一个好方法。因此只能计算特殊的矩阵，如阶梯形矩阵的秩。如阶梯形矩阵的秩。如
，有R（A）= 3 。
…………………………………………………………………………………………42分钟
定理4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
定理4给出求一般矩阵秩的方法，就是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵。
例5 求矩阵的秩。
矩阵秩的基本性质：设A是m×n矩阵，
（1）0 ≤ R（A）≤ min{m，n}；
（2）R（AT）= R（A）；
（3）若A←→B，则R（B）= R（A）。
（4）若P、Q可逆，则R（PAQ）= R（A）。 。

§3.3 线性方程组的解
教学目的：使学生了解和掌握线性方程组的解的基本概念以及利用高斯消元法解线性方程组
教学重点：利用高斯消元法解线性方程组
教学难点：高斯消元法
一、导入
在工程技术领域中,有许多问题的讨论往往在最后归结为求解线性方程组,因此研究一般的线性方程组在什么条件下有解,以及在有解时如何求出它全部的解，总是工程技术中提出的需要解决的一个十分重要问题,而研究一般的线性方程组的求解问题,正是线性代数的主要内容之一.在这章里我们将借助矩阵这个工具对一般线性方程组的相容性问题及解的结构问题进行讨论，介绍向量的概念、性质及方程组解的向量表示。
二、新授
（一）非齐次线性方程组和齐次线性方程组.
一般的线性方程组是指形如
(3.1)
的线性方程组.若记
,,
则方程组(3.1)可写成矩阵形式 AX=B 。
当B≠0时称为非齐次线性方程组,当B=0时即AX=0称为齐次线性方程组.

(二) 高斯消元法
定理3.1: 若将线性方程组AX=B的增广矩阵用初等变换化为,则AX=B与UX=V是同解方程组.
证明:由于对矩阵施行一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵,因此存在初等矩阵,使得 ,
记,由初等矩阵的可逆性知P可逆.若设X1为AX=B的解,即AX1=B,两边同时左乘矩阵P,有 PAX1=PB (PA)X1=PB 即 UX1=V
于是X1是方程组UX=V的解.反之,若X2为UX=V的解,即UX2=V
两边同时左乘矩阵P-1，得 P -1UX2=P -1V （P -1U）X2=P -1V 即AX2=B
X 2亦为AX=B的解。
综上所述，AX=B与UX=V的解相同，称之为同解方程组。 证毕。
2、高斯消元法：
由矩阵的理论可知，我们应用矩阵的初等变换可以把线性方程组（3.1）的增广矩阵化为阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵),根据定理3.1可知阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组与原方程组(3.1)同解,这样通过解阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组就求出原方程组(3.1)的解,这种方法称为高斯消元法.
例1解线性方程组
解:将方程组的增广矩阵用初等变换化为标准形

这时矩阵所对应的方程组为

将x4移到等号右端得
若令x4取任意常数t,则得 , (3.2)
即
其中x4称为自由未知量(或自由元),(3.2)式称为方程组的一般解或通解.
例2求线性方程组的解

解:

根据定理3.1知,矩阵对应的方程组

与原方程组同解,因此原方程组有唯一的解.
例3求解线性方程组

解:

根据定理3.1知,矩阵所对应的方程组
(3.3)
与原方程组同解.但方程组(3.3)由最后一个方程可知它无解,故原方程组无解。

第四章 向量组的线性相关性
§4.1 向量组及其线性组合
教学目的：使学生了解和掌握向量、向量组的概念、线性组合
教学重点：向量的线性关系
教学难点：向量的线性关系
一、 导入
二、 新授
定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第个数称为第个分量。特别的如果维向量写成称为是维列向量，称为是维行向量。当所有都为实数时的向量称为维实向量，当中含有复数时的向量称为维复向量。
定义2 在向量之间进行向量的加法和数量乘法运算，称为向量的线性运算。在一组向量 和一组实数