全等三角形轴对称和等腰三角形教师版.doc

第一讲
轴对称和等腰三角形

知识点睛

等腰三角形
1． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
2． 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．
3． 等腰三角形的性质：
(1)两腰相等．
(2)两底角相等．
(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．
线段的垂直平分线：
性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等
判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．
4． 等腰三角形的判定：
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．
5． 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于．
6． 等边三角形的判定：
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
7． 等腰直角三角形的性质：顶角等于，底角等于，两直角边相等．
等腰直角三角形的判定：
(1)顶角为的等腰三角形．
(2)底角为的等腰三角形．
轴对称图形：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．
如下图，是轴对称图形．

两个图形轴对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．

轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：

轴对称图形
两个图形轴对称
区别
图形的个数
1个图形
2个图形
对称轴的条数
一条或多条
只有1条
联系
二者都的关于对称轴对称的

对称轴的性质：
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
线段的垂直平分线：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，则直线就是线段的垂直平分线．

线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，点是线段垂直平分线上的点，则．

线段垂直平分线的判定：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
成轴对称的两个图形的对称轴的画法：
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
成轴对称的两个图形的主要性质：
①成轴对称的两个图形全等
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线
轴对称变换的方法应用：
轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．
轴对称变换应用时有下面两种情况：
⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；
⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．
重、难点

重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助

难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练。运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用

例题精讲

板块一、等腰三角形及轴对称的认识
【例1】 下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( )
A．只有命题①正确 　 B．只有命题②正确
C．命题①、②都正确 D．命题①、②都不正确
【解析】 C．

【例2】 如图，在 中，于．请你再添加一个条件，就可以确定是等腰三角形．你添加的条件是 ．

【解析】 或平分或．

【例3】 (2006年扬州中考)如图，在中，、分别是、上的点，与交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明是等腰三角形．

【解析】 (1)①③，①④，②③，②④四种情况可判定是等腰三角形．
(2)下面以①③两个条件证明是等腰三角形．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴是等腰三角形．

【例4】 (08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )

【解析】 C

【例5】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

A． B． C． D．
【解析】 Ｄ

【例6】 (2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )

【解析】 C．

【补充】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【解析】 轴对称图形：1，3，4，6，8，10
成轴对称的图形有：2，5，7，9

【例7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．
【解析】 ．点拨：可以画出例图进行分析，明确正边形有条对称轴．

板块二、等腰三角形的性质
【例8】 (2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为( )
A．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．或
【解析】 Ｃ

【补充】已知等腰三角形的周长为，一腰长是底边长的倍，则腰长是( )
A． B． C． D．
【解析】 B

【例9】 (2008沈阳)若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　)
A．　　　Ｂ．　　　Ｃ．或　　Ｄ．或
【解析】 Ｄ

【补充】(2007重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A． B． C．或 D．
【解析】 当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为；
当顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为．故选．

【例10】 (2007四川自贡中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为，则该三角形的一个底角为(　 )
A． B． C．或 D．或
【解析】 C

【补充】(2006自贡)从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的(　 )
A．两腰长的和　　　Ｂ．周长一半
Ｃ．周长　　　 Ｄ．一腰长与底边长的和
【解析】 A

【例11】 (05年青岛中考题)已知等腰三角形的周长为12，腰长为，求的取值范围．
【解析】 ，且，解得

【例12】 已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数．
【解析】 若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为140，20，20；
若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为100，40，40；
若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为40，70，70．

【例13】 在中，，．求．

【解析】 设，则，，，
在中，可得，∴
【例14】 的两边和的垂直平分线分别交于、，若，求．

【解析】 根据题意可得：，
则
即，解得

【例15】 如图，点是等边内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接，则是等边三角形；当为多少度时，是等腰三角形？

【解析】 分三种情况讨论：①要使，需．
∵，，
．
．
②要使，需．
∵，
．
．
③要使，需．
．
．
综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．

【例16】 如图，为等边三角形，延长到，又延长到，使，连接，求证：为等腰三角形．

【解析】 延长到，使得，连接．
∵为等边三角形，
∴．
又∵
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴≌，
∴．
板块三、轴对称在几何最值问题中的应用
【例17】 已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．

【解析】 点与点重合，或者点是点关于直线的对称点．
【例18】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？

【解析】 答案见右上图．

【例19】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小．

【解析】 见右上图．
【补充】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．

【解析】 见右上图．

【例20】 已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小．

【解析】 见右上图．

【补充】已知：、两点在直线的同侧， 在上求作一点，使得最小．

【解析】 见右上图．

【补充】已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大．

【解析】 见右上图．

家庭作业

【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．
【解析】 当腰长为9时，三边长为4、9、9；
当腰长为4时，三边长为4、4、9 ，不符合三角形的三边关系，故腰长为9．

【习题2】 (1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )
A． B． C．或 D．无法确定
【解析】 设腰长为，底边长为，此题可分为两类，
或，第一类无解；第二类解为，故选．

【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为，求的取值范围．
【解析】 ，且，解得

【习题4】 (2001年江苏中考题)如下图所示，中，，在上，，，求的度数．

【解析】 设，．则，，由外角定理得，，
即，则．又，
∴，
∴，∴．

【习题5】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

【解析】 C

【习题6】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼
【解析】 是轴对称图形的有：⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有条，条，条，条，条对称轴．

【习题7】 (2008年荆门市中考题)如图，菱形的两条对角线分别长6和8，点、分别是变、 的中点，在对角线求作一点使得的值最小．

【解析】 见右上图．