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第4章 一阶线性微分方程组

一 内容提要
1． 基本概念
一阶微分方程组：形如 （3.1） 的方程组，（其中是关于的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数使得在[a,b]上有恒等式
成立，则称为一阶微分方程组(3.1)的一个解
含有n任意常数的解

称为(3.1)通解。如果通解满方程组

则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件的解，叫做初值问题的解。
令n维向量函数
Y=，F（，Y）=
，
则（3.1）可记成向量形式
(3.2)
初始条件可记为

Y()=,其中
则初值问题为:
(3.3)
一阶线性微分方程组:形如 (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.
令
A()=及F(=
则(3.4)的向量形式:
(3.5)
F( 时 (3.6)
称为一阶线性齐次方程组,
(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
在（3．5）式A(即A(
(3.7)
叫做常系数线性非齐次微分方程组.
(3.8)
叫做常系数线性齐次微分方程组.

2． 一阶线性微分方程组的通解结构.
定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组 中的A及F在区间I=上连续，则对于上任一点以及任意给定的Y，方程组 的满足初始条件的解在上存在且唯一。
1)向量函数线性相关性及其判别法则
定义：设是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数使得恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。
判别法则：①定义法
②朗斯基（Wronski）行列式判别法：
对于列向量组成的行列式

通常把它称为n个n维向量函数组的朗斯基（Wronski）行列式。
定理1 如果n个n维向量函数组在区间I线性相关，则们的朗斯基（Wronski）行列式在I上恒等于零。
逆定理未必成立。
如：

朗斯基行列式在I上恒等于零，但它们却是线性无关。

定理2 如果n个n维向量函数组的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上某一点处不等于零，即则向量函数组在区间I线性无关。
逆定理未必成立。同前例。
但如果是一阶线性齐次微分方程组的解，则上述两定理及其逆定理均成立。即
定理3 一阶线性齐次微分方程组的解是线性无关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上任一点处不等于零；解是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上任一点处恒等于零
2).基本解组及其有关结论
定义：一阶线性齐次微分方程组的n个线性无关解称为它的基本解组
判别：一阶线性齐次微分方程组的解是一个基本解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上任一点处不等于零。
结论：①一阶线性齐次微分方程组必存在基本解组。
②基本解组有无穷多个。
3）一阶线性齐次微分方程组通解的结构
定理：如果是线性齐次微分方程组的基本解组，则其线性组合Y是线性齐次微分方程组的通解。
结论： 线性齐次微分方程组的解的全体构成一n维线性空间。
4）解与系数的关系，即刘维尔公式
定理：如果是线性齐次微分方程组的解，则这n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组的系数的关系是：

此式称为刘维尔（Liouville）公式.
由此公式可以看出n个解的朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零
称为矩阵A的迹。记作。
一阶线性非齐次方程组的通解结构
定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组的通解等于对应的齐次微分方程组 的通解与的一个特解之和。即 的通解为Y
其中为对应的齐次微分方程组的通解，是的一个特解。
求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组的一个基本解组构成基本解矩阵

齐次微分方程组的通解为
其中
线性非齐次方程组的通解为
。
结论：线性非齐次方程组解的全体并不构成n+1维线性空间。
3． 常系数线性微分方程组的解法
常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）
① 求特征根：即特征方程式
det(A-
的解。
②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。（详略）
常系数线性非齐次微分方程组的解法：
①求相应的齐次微分方程组的基本解组；
② 用待定系数法求特解。（详略）

二．典型例题及解题方法简介
（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。
例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：

解：令则

∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：

例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：

解：令则有

∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：

（一） 一般线性微分方程组的求解问题
对于一般线性齐次微分方程组 ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。
消元法（化方程组为单个方程的方法）
例3 求解方程组

解：有前一个方程解出y并求导，有

代入后一方程化简得

假定则有，积分得

原方程组的通解为

常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。
例4 解方程组

解：由前一方程得代入后一方程，得常系数二阶线性方程

其通解为

从而
所以通解为

例5解方程组

解：由第二式得
代入第一式得
从而可求得 代入得

将代入上述两式得
解得
所以原方程组的解为

（三）常系数线性齐次微分方程组的通解问题
虽然一般线性齐次微分方程组 ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法，但是常系数线性齐次微分方程组通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。
在此我们介绍一种通用的方法——待定系数法
步骤：①解特征方程式
det(A-，得特征根；
②根据根的重数，求出对应于每一个根的解式
设λ是线性齐次微分方程组 是k重根（单根为k=1），则线性齐次微分方程组 对应λ的解式为

其中为待定常数，将此解式代入中，比较两端同类项的系数，得一关于的线性代数方程组，解之即可定出。
③ 把对应于每一个根的解式相加，即可得到的通解。
例6 （均为单根的情形，教材170页例3.5.1）解方程组

解：特征方程为
=0
即
解之得特征根（均为一重）
时令待定解为代入原方程组，化简得

解得，若为任意常数，
对应于的解式为：

同理对应于的解式为：

对应于的解式为：

通解为：
例7 （特征方程有复根的情形）解方程组：

解：特征方程为
=0
即都是单根象例6可得对应的特解：

因为原题是实系数的方程组，所以

是的特解
且为原题的实线性无关解。（注：若则记Rez=a,Imz=b）
所以复通解为

实通解为：

例8 （特征方程有重根的情形）解方程组

解：特征方程为=0
即解得λ=3是两重根 即k=2
对应的待定解式为

代入原方程并比较两边的同次幂的系数，得

解得，。
令 得
通解为

（四）常系数线性非齐次微分方程组的通解问题
根据常系数线性非齐次方程组的通解等于对应的常系数齐次微分方程组 的通解与的一个特解之和。即 的通解为Y+
其中为对应的齐次微分方程组的通解。前面已经介绍了对应的齐次微分方程组的通解问题，只须用拉格朗日常数变易法求出一个特解即可。
例9解方程组

解：特征方程为
=
特征根为
易于求得对应的对应的齐次微分方程组的通解为

根据拉格朗日常数变易法，令原方程组的特解为

代入原方程组得

解之得

积分得

代入
即得一个特解

所以，已知方程组的通解为

说明：本章的理论相对来说不难理解，但在求解时非常繁琐，所以在求通解时要特别仔细，在实际解题时我们也只能求解未知函数个数较少的常系数线性微分方程组，两个或三个的情形。根据教学大纲的要求，本章的重点是：含有两个未知函数的常系数线性微分方程组且特征根是单根情形的通解。