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第三章 向量与线性方程组补充习题答案

1．设有三维列向量

问取何值时，
（1）可由线性表示，且表达式惟一；
（2）可由线性表示，且表达式不惟一；
（3）不能由线性表示．
【解】 设，得线性方程组
，
其系数行列式
．
（1） 若，则方程组有惟一解，可由惟一地线性表示．
（2） 若，则方程组有无穷多个解，可由线性表示，但表达式不惟一．
（3） 若，则方程组的增广矩阵

可见方程组得系数矩阵A与增广矩阵不等秩，故方程组无解，从而不能由线性表示．
2．设向量组，，试问：当a,b,c满足什么条件时，
（1）可由线性表出，且表示唯一？
（2）不能由线性表出？
（3）可由线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。
【解】 设有一组数，使得
，
即
该方程组的系数行列式
（1）当时，行列式0，方程组有唯一解，可由线性表出，且表示唯一；
（2）当a=－4时，对增广矩阵作行初等变换，有

若3b-c¹1，则秩r(A)¹秩r(), 方程组无解，不能由线性表出；
（3）当a=-4且3b-c=1时，秩r(A)=秩r()=2<3，方程组有无穷多组解，可由线性表出，但表示唯一。解方程组，得
， ，（C为任意常数）。
因此有

3．设
（1）问当t为何值时，向量组线性无关？
（2）问当t为何值时，向量组线性相关？
（3）当线性相关时，将表示为和的线性组合.
【解】 因为，
故当时，向量组线性无关； 当t=5时，向量组线性相关。
当t=5时，令 ，得方程组
解得
故
4．设向量是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量不是方程组Ax=0的解，即．试证明：向量组线性无关．
【解】 设有一组数，使得
， ①
上式两边同时左乘矩阵A,有
．
因为，故
=0， ②
从而，由①式得=0，
由于向量组是基础解系，所以
．
因而，由②式得k=0．
因此，向量组线性无关．
5． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是
(A) ．
(B) ．
(C) ．
(D) ． 【 】
【解】

可见（A）、（B）中向量线性相关，（C）、（D）不能直接观察得出，对于（C），令

即 ，
由于线性无关，故

因上述齐次线性方程组的系数行列式，故方程组有惟一零解，即，故（C）中向量组线性无关，应选（C）．
6．设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是
(A) 若线性相关，则线性相关.
(B) 若线性相关，则线性无关.
(C) 若线性无关，则线性相关.
(D) 若线性无关，则线性无关. 【 】
【解】 记，则.
所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).
7.设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【解】记以为列向量的矩阵为，则
.
于是当时，线性相关.
当时，显然是一个极大线性无关组，且；
当时，

，
由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且.
8．设齐次线性方程组
只有零解，则应满足的条件是 .
【解】 当方程的个数与未知量的个数相同时，Ax=0只有零解的充分必要条件是 而
，所以应有
9．k为何值时，线性方程组
，
有惟一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解．
【解】 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形
．
当和4时，有
．
这时方程组有惟一解：
．
当k=–1时，，方程组无解．
当k=4时，有
，
,
故方程组有无穷多组解，这时，同解方程组为：

令，得方程组的全部解：
，其中c为任意常数．

10．设线性方程组

的系数矩阵为A，三阶矩阵，且．试求的值．
【解】 令，则由题设
，即．
又，所以3不全为零，说明齐次线性方程组Ax=0有非零解，所以必有秩(A)<3，从而=0，即

解得．
11. 设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是
(A) 若仅有零解，则有唯一解．
(B) 若有非零解，则有无穷多个解．
(C) 若有无穷多个解，则仅有零解．
(D) 若有无穷多个解，则有非零解． 【 】
【解】　由解的判定定理知，对，若有秩，则一定有解．
进一步，若r=n，则有唯一解；若r<n，则有无穷多解．
而对一定有解，且设秩(A)=r，则
若r=n， 仅有零解；若r<n， 有非零解．
因此，若有无穷多解，则必有秩<n，从而秩(A)=r<n， 有非零解，所以(D)成立．
但反过来，若秩(A)=r=n(或<n)，并不能推导出秩(A)=秩，所以可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解．
12．非齐次线性方程组中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则
(A) r=m时，方程组有解．
(B) r=n时，方程组有唯一解．
(C) m=n时，方程组有唯一解．
(D) r<n时，方程组有无穷多解． 【 】
【解】 有解的充要条件是：．题设A为矩阵，若，相当于A的m个行向量现行无关，因此添加一个分量后得的m个行向量仍线性无关，即有，所以有解．故（A）成立．对于（B）、（C）、（D）均不能保证，即不能保证有解，更谈不上唯一解或无穷多解．
13．设是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩r(A)=3，，，C表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=
(A) . （B）.
(C) . (D) [ ]
【解】 由题设，r(A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为4-3=1，即其任一非零解均可作为基础解系。又根据解的性质知

为对应齐次线性方程组的解，即可作为基础解系，从而线性方程组AX=b的通解为

故正确选项为(C).