角平分线平行线等腰三角形知识板块的应用.doc

1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形：
图甲
a、 如图甲：一直线与角的一边平行

b、 如图乙：一直线与角的平分线平行

4
3
2
O
D
E
C
B
A
1
图乙

2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线
a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行

b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行

3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线
a、如图甲：与一腰平行

b、如图乙：与底边平行

角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。
角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：
3
2
1
I
E
D
A
B
C
例1、如图1：已知在△ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。
证明：

1
3
A
B
C
D
E
I
图（2）
2
例2、如图2：已知I是△ABC的内心，DI//AB交BC于点D，EI//AC交BC于E。求证：△DIE的周长等于BC。
证明：

同理：EI = CE。
∴△DIE的周长=DI + IE + ED = BC
4
3
2
1
F
E
D
M
C
B
A
例3、如图3：已知在△ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF = BE—CF。
证明：

同理：CF = FD
∴ EF = ED – FD = BE – CF
例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。
例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，的平分线交AD于点E， 的平分线交AD于点F，BE、CF交于点G，FG=1。求：的度数。
解：

同理可证：DF = CD = AB = 3 AF = 1
∴EF = AD －（AF + DE ）= 4 －2 = 2

∴ ∴
评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE和△DCF。
②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。
③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到RT△BGC，RT△BGF。
④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。
⑤用三角形内角和定理得。
E
O
D
A
B
C
例5、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；DE平分ADC，交BC于点E，BDE=150，求COE的度数。
解：

∴

等边△OCD

∴
∵ ∴
评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。
②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。
③等腰三角形的一个底角=。
④此题关键是。
⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE”。
例6、 在△ABC中，，A D⊥B C于点D ，点E在B C的延长线上，且，AD=3，DE=4。求：CD：CE的值。
解：

评注：①关键由发现AC平分。
②作角平分线的平行线构造出等腰△ADF。
③由勾股定理求出AE=5，从而求出CD：CE的值。
3
C
B
A
E
D
1
2
例7、 如图：BD是角平分线DE//BC，交AB于点E。求DE之长。
解：。。
设AE=AD=x；则DE=x

∴ ∴
∴
∴
评注：
① 发现△AED仍为等腰直角三角形。
② 由角平分线、平行线发现等腰△BED。
③ 设未知数，列方程求出DE之长。（方程思想）
例8、 如图：已知Rt△ABC中，以AB为直径的⊙O交斜边BC于点D，OE//BC交AC于点E。
求证：DE是⊙O的切线。
证明：

∴ED是圆O的切线。
评注：①只能利用定义证明直线与圆相切。
②由等腰三角形和平行线，发现角平分线得∠1=∠2。
③利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。
C
P
B
A
O
1
2
3
4
例9、AB是⊙O的直径，BC是⊙O外一点。PB⊥AB，AC//OP交⊙O于C点。求证：PC是⊙O的切线。
证明：连结，则

。
【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。】
评注：①由等腰△AOC的构造出现，进而可发现∠3 = ∠4。
②利用直角∠B证明了∠P C O为直角。
③具体判定直线与圆相切的两个判别方法：
⑴作垂足，垂足在圆上。
⑵连半径，证明半径的外端就是垂足。
6
D
C
B
A
O
1
2
3
4
5
例10、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线。切点为点B，DC是⊙O的切线。求证：OC//AD。
证明:连结OD,则

评注：欲证相切，找垂直。利用直角证直角。
C
D
B
A
O
31
1
2
例11、如图：已知在梯形ABCD中，点O在AB上，半圆⊙O与AD、CD、BC相切，且AD = 5， BC = 3。求AB的长。
解：（方法一）连结OC、OD
则有

同理：OA = AD = 5
∴AB = OA + OB = 5 + 3 = 8
（方法二）延长DA至E，延长CB至F，使AE=AD、BF=BC；连结EF，则EF//CD，且EF与⊙O相切。
则

（圆外切四边形的对边之和相等）。
例12、已知P为⊙O外一点，通过作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D点，且AB是⊙O的直径。已知PA=OA=4，AC=CD。⑴求CD长。⑵求cosB的值。
D
C
P
A
B
O
1
2
3
4
5
解：连结BC、OC、AD。

设PC= y , CD= x .
∵PO = 8 , OB = 4 ∴
∴y(y + x) = 4×12

AB是圆O的直径.
∴BC=

∵∠BDA = 90O
∴ cosB=
评注：①平行线截得成比例线段。
②割线定理可变成为成比例线段。
③代数法解几何题（方程思想）。
④引申说明：BC是圆周角的平分线，因此一定会出现等腰三角形ACD; BC是∠ABD的平分线，而AB又是⊙O的直径。因此，连结OC得等腰三角形BOC,进而观察联想到OC//BD.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、平分线三者的密切关系。同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。
例13、如图：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线DE切⊙O于点C, AB的延长线交ED于点E，CG⊥AB于点G，AD⊥CD于点D, AD交⊙O于点F.
H
F
D
C
E
A
B
O
G
1
2
3
求证：AG·BG = AD·DF.
证明：（方法一）连结OC,则
⑴
延长CG交⊙O于点H..

⑵
CD2 =DF·AD ⑶
由⑴⑵⑶得：AG·GB = AD·DF .
(方法二)连结CB，则

评注：①由平行线、等腰三角形得到角平分线。
②由角平分线性质得：CD=CG.
③垂直平分弦定理；相交弦定理；切割线定理；综合得结论。
④运用射影定理结合切割线定理,关键还是得先证：∠1=∠2；再证：CG = CD.