3-解三角形的实际应用举例-达标练习含解析.docx

　　　 [A　基础达标] 1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点间的距离为(　　) A．502 m　　　　　　　 B．503 m C．252 m D．2522 m 解析：选A.由正弦定理得ABsin ∠ACB＝ACsin ∠CBA.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，故AB＝AC・sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502 (m)． 2.如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为(　　) A．152米 B．153米 C．15(3＋1)米 D．156米 解析：选D.在△BCD中，由正弦定理得BC＝CDsin 30°sin 135°＝152(米)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan 60°＝156(米)．故选D. 3．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为(　　) A．20分钟 B．40分钟 C．60分钟 D．80分钟 解析：选B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝102＋（9t）2－（21t）22×10×9t，解得t＝23(负值舍去)，23小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟． 4．渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)(　　) A．14.5 km/h B．15.6 km/h C．13.5 km/h D．11.3 km/h 解析：选C.由物理学知识， 画出示意图，AB＝15， AD＝4，∠BAD＝120°. 在▱ABCD中，D＝60°， 在△ADC中，由余弦定理得 AC＝AD2＋CD2－2AD・CDcos D ＝16＋225－4×15＝181 ≈13.5. 5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东40° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 解析：选B.如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，因为AC＝BC，所以∠A＝∠ABC＝180°－80°2＝50°，所以∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B. 6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝22 mm，AB＝29 mm，则∠ACB＝________． 解析：在△ABC中，由余弦定理得 cos∠ACB＝32＋（22）2－（29）22×3×22＝－22. 因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝3π4. 答案：3π4 7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________ m. 解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3 h，根据余弦定理，得(3h)2＝h2＋1002－2・h・100・cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：50 8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________． 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°， 则∠AOB＝60°，由正弦定理知： x＝AB・sin∠ABOsin∠AOB＝10×sin 45°sin 60°＝1063. 答案：1063 9．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上． (1)求该军舰艇的速度． (2)求sin α的值． 解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200， AC＝120，∠ACB＝α， 在△ABC中， 由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB・ACcos∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120° ＝78 400，解得BC＝280. 所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时． (2)在△ABC中，由正弦定理， 得ABsin α＝BCsin 120°，即 sin α＝ABsin 120°BC＝200×32280＝5314. 10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离． 解：依题意得，CD＝30 km，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°， ∠DAC＝45°.在△BDC中， 由正弦定理得 BC＝DCsin ∠BDCsin ∠DBC＝30sin 30°sin 120°＝10(km)． 在△ADC中，由正弦定理得 AC＝DCsin ∠ADCsin ∠DAC＝30sin 60°sin 45° ＝35(km)． 在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC・BC・cos∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB＝5(km)， 即这两座建筑物之间的距离为5 km. [B　能力提升] 11．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为______米． 解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°， 因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝ AB2＋BD2－2AB・BDcos 120°＝4003.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD・DC・cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，所以AC＝40013，故索道AC的长为40013米． 答案：40013 12.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______m. 解析：如图，∠SAB＝45°－30°＝15°，
又∠SBD＝15°， 所以∠ABS＝30°. AS＝1 000，由正弦定理知BSsin 15°＝1 000sin 30°，所以BS＝2 000sin 15°. 所以BD＝BS・sin 75° ＝2 000sin 15°・cos 15°＝1 000sin 30°＝500， 且DC＝ST＝1 000sin 30°＝500， 从而BC＝DC＋DB＝1 000 m. 答案：1 000 13.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：由题意，设AC＝x m， 则BC＝x－217×340＝x－40 (m)． 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝BA2＋CA2－2BA・CA・cos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得CHsin∠CAH＝ACsin∠AHC， 所以CH＝AC・sin∠CAHsin∠AHC＝1406(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH为1406 m. 14．(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°. (1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)． 解：(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×160＝100 (m)， ∠BDC＝45°－30°＝15°，由正弦定理得 CDsin∠DBC＝BCsin∠BDC， 所以BC＝CD・sin∠BDCsin∠DBC＝100×sin 15°sin 135°＝100×6－2422 ＝50（6－2）2＝50(3－1)(m)， 在Rt△ABE中，tan α＝ABBE，因为AB为定长， 所以当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC・cos∠BCE＝50(3－1)・32＝25(3－3)(m)， 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，则t＝EC6 000×60＝25（3－3）6 000×60＝3－34(分钟)． (2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD， 在Rt△BEC中，BE＝BC・sin∠BCD， 所以AB＝BE・tan 60°＝BC・sin ∠BCD・tan 60° ＝50(3－1)・12・3＝25(3－3)(m)， 即所求塔高为25(3－3) m.

20 × 20