2016北师大版选修22数系的扩充与复数的引入单元测试.doc

第五章　数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若z＝，则复数＝(　　)
A．－2－i　　　　 B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：　∵z＝＝－i(1＋2i)＝2－i，∴＝2＋i.
答案：　D
2．i2 011＋i2 012在复平面内表示的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：　i2 011＋i2 012＝－i＋1＝1－i，
∴表示的点在第四象限．
答案：　D
3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．以上都不对
解析：　∵复数为纯虚数，
∴
解得x＝1.
答案：　A
4．在复平面时，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析：　＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.
答案：　D
5．在复平面内，若复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(－2,0)
C．(3,4) D．(－10,2)
解析：　z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，
则，解得3＜m＜4.
答案：　C
6．给出下列命题
(1)实数的共轭复数一定是实数；
(2)满足|z－i|＋|z＋i|＝2的复数z的轨迹是椭圆；
(3)若m∈Z，i2＝－1，则im＋im＋1＋im＋2＋im＋3＝0.
其中正确命题的序号是(　　)
A．(1) B．(2)(3)
C．(1)(3) D．(1)(4)
解析：　(1)显然正确；(2)中复数z表示的点到i和－i表示的点的距离的和为2，其轨迹是线段，故(2)错；(3)中，im＋im＋1＋im＋2＋im＋3＝im＋im＋1－im－im＋1＝0，故(3)正确．
答案：　C
7．设复数z满足＝i，则|1＋z|等于(　　)
A．0 B．1
C. D．2
解析：　∵＝i，
∴1－z＝i＋zi.
∴(1＋i)z＝1－i.∴z＝＝－i.
∴|1＋z|＝|1－i|＝.
答案：　C
8．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|＜2，那么实数a的取值范围为(　　)
A．(－2，2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－，)
解析：　∵|z－2|＝|3＋ai－2|＝＜2，∴a2＜3，∴－＜a＜.
答案：　D
9．若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　　 D.
解析：　∵z2＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ·i
＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1.
∴，
∴2θ＝2kπ＋π，即θ＝kπ＋(x∈Z)．
答案：　D
10．设f(z)＝1－，z1＝2＋3i，z2＝5－i，则f()等于(　　)
A．－4－4i B．4＋4i
C．4－4i D．－4＋4i
解析：　∵z1－z2＝2＋3i－(5－i)＝－3＋4i
∴＝－3－4i，
∴f()＝1－(－3＋4i)＝4－4i.
答案：　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________________.
解析：　∵z＝1－2i，
∴z·＝|z|2＝5.
∴z·＋z＝6－2i.
答案：　6－2i
12．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝___________.
解析：　z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)＝(－m)＋(m2－2m)i.
∵z1＋z2＞0，∴z1＋z2为实数且大于0.
∴解得m＝2.
答案：　2
13．定义运算＝ad－bc，若复数z符合条件＝3＋2i，则z＝_________.
解析：　由定义运算可知2·zi－z＝3＋2i，
z＝＝
＝.
答案：　
14．已知复数z1、z2满足：|z1|＝1，且z2在复平面中对应的点在直线4x－3y＋10＝0上，则|z1－z2|的最小值是________________．
解析：　由复数及模的几何意义，知|z1－z2|表示单位圆上的点与直线4x－3y＋10＝0上点的距离．由图知|z1－z2|min＝－1＝－1＝1.

答案：　1
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
解析：　由于m∈R，复数z可以表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当
即m＝2时，z为零．
(2)当m2－3m＋2≠0，
即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(3)当
即m＝－时，z为纯虚数．
(4)当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，
解得m＝0或m＝2(舍去)，即m＝0时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
16．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解析：　∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
17．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(a2－10)i，z2＝＋(2a－5)i(其中a∈R)，若z1＋z2可以与任意实数比较大小．
(1)求向量对应的复数；
(2)设Z1、Z2中点为Z，求||.
解析：　(1)z1＋z2＝＋(a2－10＋2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i；
∵z1＋z2可与任意实数比较大小，
∴z1＋z2为实数，
∴解得a＝3.
∴z1＝－i，z2＝－1＋i
∴向量对应的复数为
(－1＋i)－＝－＋2i.
(2)Z1Z2的中点Z对应的复数为
z＝＝－，
∴||＝ ＝.
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解析：　(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z1|＝＝2.
(2)方法一：|z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，
|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|
＝
＝ .
当sin＝1时，|z－z1|取得最大值，
从而得到|z－z1|的最大值2＋1.
方法二：如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．
所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．
由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.