中考王中考命题研究数学第四节反比例函数的图象及性质.doc

第四节　反比例函数的图象及性质
,怀化七年中考命题规律)

年份
题型
题号
考察点
考察内容
分值
总分
2023
选择
8
反比例函数图象
判断点是否在反比例函数的图象上
4
4
2023

选择
8
反比例函数图象
给定一次函数的图象，运用一次函数的性质鉴定反比例函数图象的性质
3

填空
14
反比例函数的
图象及性质
已知反比例函数图象上的一点，求字母的值
3
6

2023

选择
5
反比例函数图象
已知反比例函数表达式，判断其大体图象
3

解答
24(1)
反比例函数的
图象及性质
运用反比例函数的性质及k的几何意义证等积式
3
6

2023
选择
4
反比例函数的性质
已知反比例函数的表达式和图象判断增减性
3
3
2023
填空
14
反比例函数的图象及性质
已知反比例函数图象上的一点，求字母的值
3
3
命题规律
纵观怀化七年中考，“反比例函数的图象与性质”这一考点一般以选择题、填空题的形式呈现，考察难度偏低，偶尔也有反比例函数与其知识的综合考察，难度稍高.

命题预测
预计2023年怀化中考的考察会以反比例函数图象及性质的相关计算为重要考察内容.

,怀化七年中考真题及模拟)
　反比例函数的图象及性质(6次)
1．(2023怀化中考)下列各点中，在函数y＝－图象上的是(　　)

A．(－2，4) B．(2，4)
C．(－2，－4) D．(8，1)
2．(2023怀化中考)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大体是(　　)
,A)　　,B)
,C) ,D)
3．(2023怀化中考)函数y＝2x与函数y＝－在同一坐标系中的大体图象是(　　)
,A)　　　,B)　　　,C)　　　,D)
4．(2023怀化中考)反比例函数y＝－(x>0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值(　　)

A．增大
B．减小
C．不变
D．先增大后减小
5．(2023怀化中考)已知点A(－2，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为________．
6．(2023怀化中考)已知反比例函数y＝通过点A(－2，3)，则其函数的表达式为________．
7．(2023怀化二模)点A为双曲线y＝(k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为(　　)
A．2 B．±2 C. D．±
8．(2023靖州模拟)根据图(1)所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图(2)．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：
①x＜0时，y＝；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤∠POQ可以等于90°.
其中对的结论是(　　)

A．①②④ B．②④⑤
C．③④⑤ D．②③⑤
9．(2023怀化学业考试指导)如图，在直角坐标系中，函数y＝(x>0，m是常数)的图象通过A(1，4)，B(a，b)，其中a>1，过A点作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连接AB，BC，CD，AD.
(1)若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
(2)求证：DC∥AB；
(3)当AD＝BC时，求直线AB的解析式．

10．(2023洪江模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y＝(x＞0)的图象通过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象一定过点C；
(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，拟定点P横坐标的取值范围(不必写过程)．

11．(2023中考预测)如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，则△ABP的面积为________．
,中考考点清单)
　反比例函数的概念
1．一般地，假如变量y与变量x之间的函数关系可以表达成①________(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，k称为比例函数．
　反比例函数的图象和性质
2．函数图象
表达式
y＝(k≠0，k为常数)

k
k＞0
k＜0
图象

　　3.函数的图象性质
函数
系数
所在象限
增减性质
对称性
y＝
(k≠0)

k＞0
第一、三象限(x，y同号)
在每个象限内y随x的②____
关于③____对称

k＜0
第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内y随x的④____
关于⑤____对称

　　4.k的几何意义
k的几
何意义
设P(x，y)是反比例函数y＝图象上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|　

【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合
(1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面：
A．探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法．
B．探求两函数表达式常运用两函数的图象的交点坐标．
C．探求两图象中点的坐标常运用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．
D．两个函数值比较大小的方法是以交点为界线，观测交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．
(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；假如没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．

　反比例函数表达式的拟定
5．环节
(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；
(2)根据已知条件列出含k的方程；
(3)由代入法解待定系数k的值；
(4)把k代入函数表达式y＝中．
6．求表达式的两种途径
求反比例函数的表达式，重要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，拟定出函数的表达式．
　反比例函数的应用
运用反比例函数解决实际问题，一方面是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思绪：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件拟定表达式中k的取值即可；二是问题自身的条件中不拟定变量间是什么关系，此时要通过度析找出变量的关系并拟定函数表达式．
,中考重难点突破)
　反比例函数的图象及性质

【例1】(2023天水中考)已知函数y＝的图象如图以下结论：
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
其中对的的个数是(　　)
A．4个　 　B．3个　 　C．2个　 　D．1个
【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限，可得m＜0，对的；②在每个分支上y随x的增大而增大，对的；③若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，观测图象可知a＞0，b＜0，则a＞b，错误；④若点P(x，y)在图象上，则y＝，即m＝xy，又∵m＝(－x)·(－y)＝xy，则点P1(－x，－y)也在图象上，对的．
【学生解答】

1．(2023怀化学业考试指导)已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是(　　)
A．m＞0 B．m＜0
C．m＞－ D．m＜－
　反比例函数k的几何意义
【例2】(2023沧州模拟)如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝(x＞0)通过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D，若S△OCD＝9，S△OBD的值为________．
(例2题图)
　　　　(例2题解图)

【解析】如解图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E.∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB，∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，∴CE为Rt△OAB的中位线，∵△OEC∽△OBA，∴＝，∵双曲线的解析式是y＝，∴S△BOD＝S△COE＝k，∴S△AOB＝4S△COE＝2k，由S△AOB－S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2k－k＝18，k＝12，S△BOD＝S△COE＝k＝6.
【学生解答】

2．(2023深圳中考)如图，已知点A在反比例函数y＝(x＜0)上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k＝________.
　反比例函数与一次函数结合

【例3】(2023巴中中考)如图，在平面直角坐标xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y＝(x＞0)的图象通过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F，设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－＞0的解集．
【解析】(1)先拟定反比例函数解析式，再拟定直线解析式．(2)运用S△OEF＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF进行计算．(3)观测函数图象得到当＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k2x＋b＞.
【学生解答】

3．(2023怀化考试说明)如图，直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且AB＝BM，点N(a，1)在反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象上．
(1)求k的值；
(2)求点N关于x轴的对称点N′的坐标；
(3)在x轴的正半轴上存在一点P，使得PM＋PN的值最小，请求出点P的坐标；
(4)在y轴的正半轴上是否也存在一点Q，使得QM＋QN的值最小？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．