历年浙江省高等数学微积分竞赛工科类试题.doc

04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）
一． 计算题（每小题15分，满分60分）
1． 计算：。
解: 原式

其中
原式

.
①在课堂上作为一个典型的例子;
②
2． 计算：。
解: 原式

.
其他想法: 原式
后者
, 看来做不下去了!!!
3． 求函数在
上的最大、小值。
解: ①在圆内(开集)
, , 解得驻点, 但不在圆域内.
②在圆周上, 求的极值, 是条件极值问题.

解得: 驻点
,
故最大值为, 最小值为.
4． 计算：，其中
。

这题不能用对称、奇偶性等性质来做！
二．（本题满分20分） 设，求.
解: , 则,
则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得:
,
令,得:
,而,
则 .

三．（本题满分20分） 设椭圆在点的切线交轴于点，设为从到的直线段，试计算
。
解: 方程两边对求导得:
,
则,
直线段的方程为:
令,
,
则,

.

四．（本题满分20分） 设函数连续，，且，试证明：，。
证明: ①
由于, 故, 无论怎么分、怎么取，
存在且相等， 即，
由于连续，故，；（理由说的不够充分）
②假设存在，使得，不妨设，
则，
由于函数连续，故在内存在最大、最小值分别为，显然，
而与矛盾，
故假设错误，即，。
五．（本题满分15分） 判别级数的敛散性。
解：斯特林公式：
极限形式：.

故收敛.
判别的敛散性:
证明:
(1) 证明, 即
1) 当, 显然成立;
2) 假设时也成立,即;
3) 当时,

而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个).

, 而, 由夹逼定理得: .
,而收敛, 由比较判别法得: 也收敛.
六．（本题满分15分） 设函数在上连续，证明：
，。
证明:
.

许瓦兹不等式:
①有限项情况:,
(乘积和的平方小于等于平方和的乘积)
②可推广到可数情况: ;
③均值的形式: ;
④积分的形式:

2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题
一、 计算题（每小题12分满分散60分）
1． 计算
2． 设可导，求常数的值
3． 计算
4． 计算
5． 求函数的值。
二、 （本题满分20分）设在点二阶可导，且，
求和的值。
三、 （本题满分20分）证明：当时，
四、 （本题满分20分）设，
试比较A，B，C的大小。
五、 （本题满分15分）设
（1） 求；
（2） 证明数列单调减少。
六、 （本题满分15分）对下列分别说明是否存在一个区间使，并说明理由。
（1） （2） （3）

2005年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答
一．1. 解

.
2. 解：，
，
因为在处连续，所以，
，

，
由在处可导， ，
于是.
3. 解：.
4. 解：，

，
，
，，

.
5. 解：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
二． 解：；
；
，

，
所以.
三． 证明：令，；
因为，；
，；

，，
所以，进而，，
即得，.
四． 解：

；
，
由于，得，
，
利用，，
得，
于是，
故.
五、设，.
（1） 求； （2）证明数列单调减少.
解：（1）显然

故有 .
（2）
，

，
于是数列单调减少.

六． 解：（1），在上严格单调递增，
欲使，必有，.
考虑，
，
，
，，
所以存在区间，使.
（3） 在上严格单调减少，
欲使，必有，.
，，
所以存在区间，，使得.
（4） 在上严格递增，
欲使，
必须，.
，
，
，此方程无实数解，
故不存在区间，，使得.

2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
一、 计算题（每小题12分，满分60分）
1、计算.
解:

。
2、求.
解:

.
3、求.
解:

.
4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.
解:令
则,,
令所求平面方程为: ,
在曲面上取一点,则切平面的法向量为,
则
在曲面上取一点,则切平面的法向量为,
则.
解得:
即所求平面方程为: .
二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.
解: 当,
当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根.
三、(满分20分)求中的系数.
解: 当时,

故中的系数为.
四、(20分) 计算,其中是球面与平面的交线.
解：
而,
,
,
故.
五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.
证明：必要性
由于,则,
.
充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立;
即只需证明: ,
而,
故只要说明: ,即,
当时,显然成立;
假设当时,也成立,即;
当时,
.
六、(15分)求最小的实数,使得满足的连续函数都有.
解: ,
取,显然,而,
取,显然,
而,
故最小的实数.
2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
一.计算题（每小题12分，满分60分）
1、求.
解:

。
2、求.
解:

.
3、求的值,使.
解:
被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:
, 解得: .
4、计算.
解: , 其中如右图

.
5、计算,其中为圆柱面.
解:

被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,

二、(20分)设,
,求: (1);(2) .
解: (1)
,

;
(2)
(图来说明积分上下)

.
三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：
（1） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；
（2） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.
解:

:
旋转曲面上任意取一点
则的坐标为： ，

化简得：所求的旋转曲面方程为：，
（2），故过垂直轴的平面方程为：
令，解得在坐标面上的曲线方程为：，
图中所求的旋转体的体积为：

.
四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.
解：

由于具有轮换对称性,令, 或
解得驻点: 或
对, ,
在圆周上,由条件极值得:
令

解得: ,,,,,
,,,,,;
在圆周上,由条件极值得:
令

解得: ,,, ,,
,,,
,,;
,在的最大值为,最小值为.
五、(15分)设幂级数的系数满足,,,求此幂级数的和函数.
证明：

而,
即: 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,
求的通解: ,
令代入得:
,
即:

故的通解为: ,
由于,解得, 故的和函数.

六、(15分)已知二阶可导,且,,,
(1) 证明:.
(2) 若,证明.
证明: (1) 要证明,
只需证明,
也即说明是凹函数,
, ,
故是凹函数, 即证.
(2)
,
即: .
2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)

一.计算题
1、求.
解:

。
2、计算.
解:

。
法二：
，令

。
3、设，求.
解: ,则
，则

被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:
, 解得: .
4、计算.
解: , 其中如右图

.
5、计算,其中为圆柱面.
解:

被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,
二、(20分)设,
,求: (1);(2) .
解: (1)
,

;
(2)
(图来说明积分上下)

.
三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：
（3） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；
（4） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.
解:

:
旋转曲面上任意取一点
则的坐标为： ，

化简得：所求的旋转曲面方程为：，
（2），故过垂直轴的平面方程为：
令，解得在坐标面上的曲线方程为：，
图中所求的旋转体的体积为：

.
四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.
解：

由于具有轮换对称性,令, 或
解得驻点: 或
对, ,
在圆周上,由条件极值得:
令

解得: ,,,,,
,,,,,;
在圆周上,由条件极值得:
令

解得: ,,, ,,
,,,
,,;
,在的最大值为,最小值为.

五、(15分)设幂级数的系数满足,,,求此幂级数的和函数.
证明：

而,
即: 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,
求的通解: ,
令代入得:
,
即:

故的通解为: ,
由于,解得, 故的和函数.

法二：，同学们自行完成。

六、(15分)已知二阶可导,且,,,
(3) 证明:.
(4) 若,证明.
证明: (1) 要证明,
只需证明,
也即说明是凹函数,
, ,
故是凹函数, 即证.
(2)
,
即: .
2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
一、计算题（每小题12分，满分60分）
1.求极限
解 ===
==
2．计算不定积分
解 ==
3．设，求
解

=
4．设，，求此曲线的拐点
解 ，
，
令得
当时，，
当时，，
当时，，
因此拐点为
5．已知极限，求常数的值
解 == =1
于是，
由，得
另解
＝1

二、（满分20分）设，证明：当时，
证 设
则，，
由且，知当时，。
又设
则，
所以,
从而,不等式得证.
三、（满分20分）设，求的最小值
证 当时，，，，故当时单调增加；
当时，，故当时单调减少；
当时，
，
=。
由得。当时，，当时，，
故是的极小值点，又
=，故的最小值为
四、（满分20分）
=
五、（满分15分）设，证明：
（1）为偶函数；（2）
证 （1）

（2）=

六、（满分15分）设为连续函数，且，证明在上方程有唯一解
证 设，
则在上连续，在内可导，
，当时，，是方程的解；
当时，，由零点定理，得至少存在一点使，即方程至少有一解。
又，故在上严格单调递增，因此在上方程有唯一解
2010浙江省大学生高等数竞赛试题（工科类）
一、计算题（每小题14分，满分70分）
1．求极限

2．计算

3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。

4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。

5．设连续，满足,求的值。

二、（满分20分）定义数列如下： ，求。

三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线 向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r (t) 随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空间体积。
四、（满分20）证明：当，
五、（满分20分）证明：

2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（工科类）
一、计算题：
1．解：原极限=

2．解：

3．解：记

4解：原积分=
－

5．解：

二、解：即单调增且
设则即有界。
可知收敛记其极限为,有

三、解：

四、证明：

五、证明：
易知