历年浙江省高等数学微积分竞赛工科类试题.doc

04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一 计算题（每小题15分，满分60分）1 计算：。解: 原式 其中原式.在课堂上作为一个典型的例子;2 计算：。解: 原式.其他想法: 原式后者, 看来做不下去了!3 求函数在上的最大、小值。解: 在圆内(开集), , 解得驻点, 但不在圆域内.在圆周上, 求的极值, 是条件极值问题.解得: 驻点,故最大值为, 最小值为.4 计算：，其中。这题不能用对称、奇偶性等性质来做！二（本题满分20分） 设，求.解: , 则,则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得:,令,得:,而,则 .三（本题满分20分） 设椭圆在点的切线交轴于点，设为从到的直线段，试计算。解: 方程两边对求导得: , 则, 直线段的方程为: 令,则, .四（本题满分20分） 设函数连续，且，试证明：，。证明: 由于, 故, 无论怎么分、怎么取，存在且相等， 即，由于连续，故，；（理由说的不够充分）假设存在，使得，不妨设，则，由于函数连续，故在内存在最大、最小值分别为，显然，而与矛盾，故假设错误，即，。五（本题满分15分） 判别级数的敛散性。解：斯特林公式：极限形式：.故收敛.判别的敛散性: 证明: (1) 证明, 即1) 当, 显然成立;2) 假设时也成立,即;3) 当时, 而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个)., 而, 由夹逼定理得: .,而收敛, 由比较判别法得: 也收敛.六（本题满分15分） 设函数在上连续，证明：，。证明: .许瓦兹不等式:有限项情况:, (乘积和的平方小于等于平方和的乘积)可推广到可数情况: ;均值的形式: ;积分的形式: 2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题（每小题12分满分散60分）1 计算2 设可导，求常数的值3 计算4 计算5 求函数的值。二、 （本题满分20分）设在点二阶可导，且，求和的值。三、 （本题满分20分）证明：当时，四、 （本题满分20分）设，试比较A，B，C的大小。五、 （本题满分15分）设（1） 求；（2） 证明数列单调减少。六、 （本题满分15分）对下列分别说明是否存在一个区间使，并说明理由。（1） （2） （3）2005年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答一1. 解 .2. 解：， ，因为在处连续，所以， ，由在处可导， ，于是.3. 解：.4. 解：， ， .5. 解：当时，；当时，；当时，；当时，.二 解：；， ，所以.三 证明：令，；因为，；，； ，所以，进而，即得，.四 解： ； ，由于，得，利用，得，于是，故.五、设，.（1） 求； （2）证明数列单调减少.解：（1）显然 故有 .（2） ， ，于是数列单调减少.六 解：（1），在上严格单调递增，欲使，必有，.考虑，所以存在区间，使.（3） 在上严格单调减少，欲使，必有，.，所以存在区间，使得.（4） 在上严格递增，欲使，必须，.，此方程无实数解，故不存在区间，使得. 2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题（每小题12分，满分60分）1、计算.解: 。2、求.解: .3、求.解: .4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令则,令所求平面方程为: ,在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则.解得: 即所求平面方程为: .二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.解: 当, 当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分20分)求中的系数.解: 当时, 故中的系数为.四、(20分) 计算,其中是球面与平面的交线.解： 而,故.五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明：必要性 由于,则, .充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立;即只需证明: ,而,故只要说明: ,即,当时,显然成立;假设当时,也成立,即;当时, . 六、(15分)求最小的实数,使得满足的连续函数都有.解: , 取,显然,而, 取,显然,而, 故最小的实数.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题（每小题12分，满分60分）1、求.解: 。2、求.解: .3、求的值,使.解: 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中为圆柱面.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（1） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积. 解:旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,;在圆周上,由条件极值得:令解得: , ,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数的系数满足,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 六、(15分)已知二阶可导,且,(1) 证明:.(2) 若,证明.证明: (1) 要证明,只需证明,也即说明是凹函数, ,故是凹函数, 即证.(2) ,即: .2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题1、求.解: 。2、计算.解: 。法二：，令。3、设，求.解: ,则，则 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中为圆柱面.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（3） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（4） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积. 解:旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,;在圆周上,由条件极值得:令解得: , ,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数的系数满足,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 法二：，同学们自行完成。六、(15分)已知二阶可导,且,(3) 证明:.(4) 若,证明.证明: (1) 要证明,只需证明,也即说明是凹函数, ,故是凹函数, 即证.(2) ,即: .2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1.求极限解 =2计算不定积分解 =3设，求解 =4设，求此曲线的拐点解 ，令得当时，当时，当时，因此拐点为5已知极限，求常数的值解 = =1于是，由，得另解 1二、（满分20分）设，证明：当时，证 设则，由且，知当时，。又设则，所以,从而,不等式得证.三、（满分20分）设，求的最小值证 当时，故当时单调增加；当时，故当时单调减少； 当时，=。由得。当时，当时， 故是的极小值点，又=，故的最小值为 四、（满分20分）=五、（满分15分）设，证明：（1）为偶函数；（2）证 （1）（2）=六、（满分15分）设为连续函数，且，证明在上方程有唯一解证 设，则在上连续，在内可导，当时，是方程的解；当时，由零点定理，得至少存在一点使，即方程至少有一解。又，故在上严格单调递增，因此在上方程有唯一解2010浙江省大学生高等数竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限2计算3设为锐角三角形,求的最大值和最小值。4已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。5设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下： ，求。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线 向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r (t) 随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空间体积。四、（满分20）证明：当， 五、（满分20分）证明：2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（工科类）一、计算题：1解：原极限=2解： 3解：记 4解：原积分=5解： 二、解：即单调增且设则即有界。可知收敛记其极限为,有三、解： 四、证明：五、证明： 易知