浙江省高等数学竞赛试题与答案工科类.doc

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2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
工科类
一计算题：（每小题1４分，满分７0分）
1．求极限。
2．设函数可导，且，满足，求的表达式。
3．计算（为正整数）。
4．计算，为与围成的平面有界闭区域。
5．求曲线，的形心，其中为常数。
二、（满分20分）
证明：，。
三、（满分20分）
设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。
四、（满分20）
在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
证明。

工科类答案
一、计算题
1、若
同理，当时，， 所以
2、解：由假设，，有 可导
同理
3、解：

4、解：

原积分

5、解：，
而

二、证明：显然

另一方面
三、证明：时，显然有
反之，若成立，即有
也即

四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在轴上点，则羊跑最远的曲线在的区域内是渐开线 即
记在山羊能吃到草的草地面积为

所以山羊能吃到草的草地面积
(方法二) 山羊能吃到草的草地面积可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积和
绳子绕向房子时转过 其扫过的面积可近似为扇形
所以
五、证明：

而 等式成立