浙江省杭州高级中学保送生数学能力测试题含答案.doc

杭高2016保送生素质测试数学试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1. 已知，且，则的值为 ( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
2．若下列运算正确的是 ( )
 　　Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．在△ABC中，∠C＝90°，，D是AB的中点，则( )
　　A．　　B．2　　　C．　　D．
4. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 且
5．有一颗正方体骰子，六个面上分别写有H、E、O、P、S、S六个英文字母，如图是从3种不同的角度看同一颗骰子的情形．则H反面的字母是 ( )
A. E B. S C. P D. O
A
B
P
D
C

第5题图 第6题图

6. 如图，已知，，，则( )
A. B. 16 C. D.
7．有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为 （ ）
A． B． C． D．
8. 若函数的图象与轴恰好有三个公共点，则实数的值是 ( )
A. B. C. 1 D. 2
二、 填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)：
9．反比例函数的图像经过和两点，那么______
10. 不等式组的整数解是______.
11. 已知是方程的两个实根，则
12．如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，则∠AFE＝
第13题
G

第12题
13. 如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线上，且x2-x1=4，y1-y2=2，分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．
14. 对于实数，定义运算“*”：，若x1，x2()是一元二次方程x2－5x+6=0的两个根，则x1*x2=________
15. 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的每一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的每一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是
16. 若，则
17．若，，，… ；则的值为 ．
18. 若，，且，则的值是 .
三、 解答题(本大题共3题，共36分)：
19. (本题满分12分)设方程与有一个公共根，设它们另两个根分别为，
(1) 求的值；
(2) 求的最大值.

20. (本题满分12分)在直角三角形ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高、中线，，
C
A
B
E
D
(1) 若，，求的长.
(2) 若，求的值

21．（本题满分12分）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
O
P
C
B
A

x
y
（2）如图，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

杭州高级中学2016年保送生数学能力测试卷参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
C
B
C
B
D
二、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)：
9. 2 10. 11. 12. 13.
14. 15. 21 16. 17. 18.
三、解答题(本大题共3题，共36分)：
19. 解：(1) 设是方程的公共根，则，相减得
得，且
同时，则
(2)
则当时，的最大值为
20. 解：(1)
则
(2) 易知，
DO
x
A
O
B
C
P
y
，
从而得
21. 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
图2
图1
由题意得 解得
∴二次函数的解析式为y= x2－8x+12
点P的坐标为（4，－4）
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0 ∴x1=2 ， x2=6
∴点B的坐标为（6，0）
设直线BP的解析式为y=kx+m
则 解得
∴直线BP的解析式为y=2x－12
∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P（4， －4） ∴ OP=4
设D(x，2x) 则BD2=（2x）2+(6－x)2
当BD=OP时，（2x）2+(6－x)2=32
解得：x1=，x 2=2
当x2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形