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浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题

一．选择题（共6小题）
1．若分式，则分式的值等于（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为（　　）
A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.5
3．分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2
4．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（　　）
A． B．
C． D．随所取盐水重量而变化
6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（　　）
A．1996 B．1997 C．1998 D．1999

二．填空题（共6小题）
7．有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：

则第n次运算的结果yn　　．（用含有x和n的式子表示）
8．已知分式=，则=　　．
9．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=　　．
10．如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程：
序号
方程
方程的解
1
﹣=1
x1=3，x2=4
2
﹣=1
x1=4，x2=6
3
﹣=1
x1=5，x2=8
…
…
…
（1）若方程﹣=1（a＞b）的解是x1=6，x2=10，则a=　　b=　　．
（2）请写出这列方程中第n个方程：　　 方程的解：　　．
11．已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，则（++）abc=　　．
12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=　　．

三．解答题（共6小题）
13．先化简代数式（x+2﹣）÷，然后选择取一个合适的x的值，代入求值．

14．2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？
（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？

15．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；
（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．

16．2014年12月25日，石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开，该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书，从投标书中得知如图所示的信息．
（1）求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲施工单位每天的施工费为18.3万元，乙施工单位每天的施费为15.6万元．根据实际情况，该工程由甲、乙两个施工单位共同完成，需要预算约多少万元？（不足一天按一天算）

17．为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．
（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；
（2）小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．

18．“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额p（元）的范围
200≤p＜400
400≤p＜500
500≤p＜700
700≤p＜900
…
获得奖券金额（元）
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：
（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？

浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题
参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）
1．（2016•大庆校级自主招生）若分式，则分式的值等于（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x=2xy，再代入则分式中求值即可．
【解答】解：整理已知条件得y﹣x=2xy；
∴x﹣y=﹣2xy
将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得
=
=
=
=．
故答案为B．
【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．

2．（2015•湖南自主招生）对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为（　　）
A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.5
【分析】根据题中所给出的例子找出规律，进而可得出结论．
【解答】解：∵对于正数x，规定f（x）=，
∴f（1）==，f（2）==，f（）==，f（3）==，f（）==…，
∴f（n）+f（）=1，
∴f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）
=[f（）+f（2015）]+…+f（1）
=2014+
=2014.5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，此题属规律性题目，根据题意找出规律是解答此题的关键．

3．（2014春•靖江市校级月考）分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x﹣1）（x+1）=0，所以增根是x=1或﹣1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x+1﹣（x﹣1）（x+1）=m，
∵方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）（x+1）=0，即增根是x=1或﹣1，
把x=1代入整式方程，得m=2，
把x=﹣1代入整式方程，得m=0，经检验，m=0时，
故选：A．
【点评】本题主要考查解分式方程中产生增根的知识，有增根可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

4．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知可得，，，，则ac+bc=3abc，ab+ac=4abc，bc+ab=5abc，把三式相加，可得2（ab+bc+ca）=12abc，即可求解．
【解答】解：由已知可得，，，，
则ac+bc=3abc①，ab+ac=4abc②，bc+ab=5abc③，
①+②+③得，2（ab+bc+ca）=12abc，
即=．
故选A．
【点评】此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．

5．（2012•天水）甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（　　）
A． B．
C． D．随所取盐水重量而变化
【分析】设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，列式计算即可．
【解答】解：设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，
则混合制成新盐水的含盐量为：=，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的混合运算，一定要注意浓度问题的算法：溶质除以溶液．

6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（　　）
A．1996 B．1997 C．1998 D．1999
【分析】首先要化简分式到最简，再把已知条件变形，代入即可．
【解答】解：=
=
=
=
=x2﹣5x+8；
∵x2﹣5x﹣1991=0，
∴x2﹣5x=1991，
∴原式=1991+8=1999．
故选D．
【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，这个过程难度较大．

二．填空题（共6小题）
7．（2015秋•孝南区期末）有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：

则第n次运算的结果yn　　．（用含有x和n的式子表示）
【分析】把y1代入确定出y2，依此类推得到一般性规律，即可确定出第n次运算结果．
【解答】解：把y1=代入得：y2==，
把y2=代入得：y3==，
依此类推，得到yn=，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．

8．（2015秋•浠水县期末）已知分式=，则=　　．
【分析】已知等式左边分子分母除以x变形，求出x+，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式变形得：=，整理得：x+=4，
则原式===，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．（2015•泗洪县校级模拟）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=　　．
【分析】根据题中的新定义将原式变形，利用拆项法整理即可得到结果．
【解答】解：原式=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．（2015秋•北京校级期中）如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程：
序号
方程
方程的解
1
﹣=1
x1=3，x2=4
2
﹣=1
x1=4，x2=6
3
﹣=1
x1=5，x2=8
…
…
…
（1）若方程﹣=1（a＞b）的解是x1=6，x2=10，则a=　12　b=　5　．
（2）请写出这列方程中第n个方程：　　 方程的解：　x1=n+2，x2=2n+2　．
【分析】首先根据已知方程两个重要数字、方程的解，找出与方程序号之间的关系，写出第n个方程，即可同时求出（1）、（2）两个问题答案．
【解答】解：（1）根据已知方程序号、方程两个重要数字、方程的解发现以下规律：
序号1，6=2×1+4 2=1+1 3=1+2 4=2×1+2；
序号2，8=2×2+4 3=2+1 4=2+2 6=2×2+2；
序号3，10=2×3+4 4=3+1 5=2+2 8=2×3+2；
序号4，12=2×4+4 5=4+1 6=4+2 10=2×4+2；
由序号4可以发现方程（a＞b）解x1=6，x2=10，
12=2×4+4 5=4+1，
∴a=12，b=5．
故答案为：12，5．

（2）有（1）分析得：
序号n，2n+4=2×n+4 n+1=n+1 n+2=n+2 2n+2=2×n+2；
∴这列方程中第n个方程：，且方程的解为：x1=n+2，x2=2n+2．
故答案为：，x1=n+2，x2=2n+2．
【点评】题目考查了分式方程的解，同时也是规律型题目求解，解决此类问题关键是学生找出题目中规律所在，题目难度适中，重点考查学生的观察能力和总结能力．

11．（2014•雨花区校级自主招生）已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，则（++）abc=　1　．
【分析】利用条件和因式分解可得：0≤（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，即a=2，b=3，c=6，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：∵a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，
∵（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0，（c﹣6）2≥0，
∴0≤（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，
∵a、b、c为整数，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2也是整数，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2=0，
∴a=2，b=3，c=6，
∴原式=（++）36=1
【点评】本题考查分式化简求值，涉及因式分解，不等式的性质等知识，综合程度较高．

12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=　4　．
【分析】先根据3x=7y=63z，得出3x•7y=34z×72z，进而得到x=4z，y=2z，最后代入代数式进行化简计算即可．
【解答】解：∵3x=7y=63z，
∴3x•7y=（63z）2，
又∵（63z）2=632z=（32×7）2z=34z×72z，
∴3x•7y=34z×72z，
即x=4z，y=2z，
∴===4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了分式求值问题，解决问题的关键是从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．

三．解答题（共6小题）
13．（2013春•怀宁县期末）先化简代数式（x+2﹣）÷，然后选择取一个合适的x的值，代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当x=1时，原式==1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

14．（2015•铜仁市）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？
（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？
【分析】（1）可设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，根据等量关系：①甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷；②甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等；列出方程组求解即可；
（2）可设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，根据等量关系：这批帐篷有1490件，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程组的解．
故甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬；
（2）设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，依题意有
100z+80（16﹣z﹣1）+50=1490，
解得z=12，
16﹣z=16﹣12=4．
故甲种汽车有12辆，乙种汽车有4辆．
【点评】考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

15．（2015春•杭州期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；
（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．

【分析】（1）设原计划每天加工x个，则现在每天加工1.5x个，根据题意可得，现在加工240个比原计划加工200个少用2天，据此列方程求解；
（2）设加工竖式纸盒m个，横式纸盒n个，根据正方形纸板有1000张，长方形纸板有2000张列方程组求解．
【解答】解：（1）设原计划每天加工x个，则现在每天加工1.5x个，
由题意得，﹣2=，
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解，且符合题意，
答：原计划每天加工20个；
（2）设加工竖式纸盒m个，横式纸盒n个，
由题意得，，
解得：．
答：加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个恰好能将购进的纸板全部用完．
【点评】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

16．（2015秋•南皮县期中）2014年12月25日，石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开，该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书，从投标书中得知如图所示的信息．
（1）求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲施工单位每天的施工费为18.3万元，乙施工单位每天的施费为15.6万元．根据实际情况，该工程由甲、乙两个施工单位共同完成，需要预算约多少万元？（不足一天按一天算）

【分析】（1）首先设乙施工单位单独完成这项工程需要x天，则甲施工单位单独完成这项工程需要x天，根据题意可得等量关系：甲10天的工作量+甲乙合作50天的工作量=1，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）首先计算出甲乙合作需要的天数，再利用两对合作每天的费用×时间可得答案．
【解答】解：（1）设乙施工单位单独完成这项工程需要x天，由题意得：
+（+）×50=1，
解得：x=125，
经检验：x=125是分式方程的解，
×125=100（天）．
答：乙施工单位单独完成这项工程需要125天，甲施工单位单独完成这项工程需要100天；

（2）1÷（+）=≈56（天），
费用：（18.3+15.6）×56=1898.4（元）．
答：需要预算约1898.4万元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．

17．（2015秋•故城县校级月考）为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．
（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；
（2）小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．
【分析】（1）设小敏家计划平均每月用水量是xm3，则计划前每月用水量为（x+4）m3，找出等量关系：在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，列方程求解即可；
（2）分别计算出水量超20%和50%时每月的用水量，根据题意计算出相应的水费，相加即可得出一年应共交水费．
【解答】解：（1）设小敏家计划平均每月用水量是xm3，则计划前每月用水量为（x+4）m3，由题意得，
=，
解得：x=11．
经检验：x=11是原方程的解，
即小敏家计划平均每月用水量是8.25m3；
（2）计划用水量为8.25cm3，
超过计划用水量20%时，用水量=8.25×（1+20%）=9.9，
超过计划用水量50%时，用水量=8.25×（1+50%）=12.375cm3，
设2014年4月到2015年3月的平均每月用水量为a，则9.9×4+12.375×4+4a=12a
解得：a=11.1375
则应交水费：12×11.13758×2.8=374.22（元）．
答：小玲家从2005年4月到2006年3月的这一年中应共交水费374.22元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

18．“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额p（元）的范围
200≤p＜400
400≤p＜500
500≤p＜700
700≤p＜900
…
获得奖券金额（元）
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：
（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？
【分析】（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；
（2）因为西服标价低于850，所以其消费额最大为850×0.8=680（元），低于700元，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x元，根据题意可列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）消费金额为800×0.8=640（元），
获得优惠额为：800×0.2+100=260（元），
所以优惠率为：=32.5%；

（2）设西服标价x元，
根据题意得，
解之得x=750
经检验，x=750是原方程的根．
答：该套西装的标价为750元．
【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式．