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解四边形专题 东城区 21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE= AB，连接DE，AC. （1）求证：四边形ACDE为平行四边形; （2）连接CE交AD于点O. 若AC=AB=3， ，求线段CE的长.
21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD， ∴ ， . ∵AB=AE， ∴ ， . ∴四边形ACDE为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵ ， ∴ . ∴平行四边形ACDE为菱形. ∴AD⊥CE. ∵ ， ∴BC⊥CE. 在Rt△EBC中，BE=6, , ∴ . 根据勾股定理，求得 .----------------------5分 西城区 21．如图，在 中， ，分别以点 ， 为圆心， 长为半径在 的右侧作弧，两弧交于点 ，分别连接 ， ， ，记 与 的交点为 ． （1）补全图形，求 的度数并说明理由; （2）若 ， ，求 的长．
【解析】（1）补全的图形如图所示． ． 证明：由题意可知 ， ， ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为菱形， ∴ ， ∴ ． （2）∵四边形 为菱形， ∴ ． 在 中， ， ， ，
海淀区 21．如图，□ 的对角线 相交于点 ，且AE∥BD，BE∥AC，OE = CD. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形 的面积取得最大值是_______. 21．（1）证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形 是平行四边形， ∴ . ∵ , ∴ . ∴平行四边形 是矩形. ………………2分 ∴ . ∴ . ∴平行四边形 是菱形. ………………3分 (2) 正方形； ………………4分 2. ………………5分 丰台区 21．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF = BA，BE = BC，连接AE，EF，FC，CA． （1）求证：四边形AEFC为矩形； （2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB， AB = 4，求DE的长． 21．（1）证明：∵BF=BA，BE=BC， ∴四边形AEFC为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC. ∴BE=BF. ∴BA + BF = BC + BE，即AF=EC. ∴四边形AEFC为矩形. ………………………2分 （2）解：连接DB. 由（1）知，AD∥EB，且AD=EB. ∴四边形AEBD为平行四边形 ∵DE⊥AB， ∴四边形AEBD为菱形. ∴AE EB，AB 2AG，ED 2EG. ………………………4分 ∵矩形ABCD中，EB AB，AB=4， ∴AG 2，AE 4. ∴Rt△AEG中，EG=2 . ∴ED=4 . ………………………5分 （其他证法相应给分）
石景山区
21．如图，在四边形 中， ， ， 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长．
21．（1）证明：（法一） 过点B作BH⊥CE于H，如图1． ∵CE⊥AD， ∴∠BHC＝∠CED＝90°， ． ∵∠BCD＝90°， ∴ ， ∴ ． 又BC＝CD ∴ ≌ ． ∴ ． ∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°， ∴四边形 是矩形， ∴ ． ∴ ． ………………3分 （法二）过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H．图略，证明略． （2）解： ∵四边形 是矩形， ∴ ． ∵在Rt 中， , ∴ ． ………………5分 朝阳区 21. 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C 作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD． （1）求证：四边形CDBF是平行四边形； （2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC= ，求DF的长．
21.（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ECF＝∠EBD. ∵E是BC中点， ∴CE＝BE. ∵∠CEF＝∠BED， ∴△CEF≌△BED. ∴CF＝BD. ∴四边形CDBF是平行四边形. ………………………2分
（2）解：如图，作EM⊥DB于点M， ∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝ ， ∴ ， . 在Rt△EMB中， . ……………………3分
在Rt△EMD中， . …………………4分
∴DF＝8. ………………………………………………………5分
燕山区 23． 如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F，使得EF=BE,连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若∠BCF=120°，CE=4，求菱形BCFE的面积．
23. （1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点 ∴DE∥BC, DE= BC……………………….1′ 又BE=2DE,即DE= BE ∴BC=BE 又EF=BE ∴EF∥BC, EF=BC ∴四边形BCFE是平行四边形……………………….2′ 又EF=BE ∴四边形BCFE是菱形 ……………………….3′ （2）∵四边形BCFE是菱形 ∴BC=BE 又∠BCF=120° ∴∠BCE=60° ∴△BCE 是等边三角形 ∴连结BF交EC于点O．∴BF⊥EC 在Rt△BOC中，BO= ……………………….4′
门头沟区 21.在矩形ABCD中，连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的周长．
21. （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，……………………1分 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ∵∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE=OF． ……………2分 又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；……………3分 （2）设AF=x，∵EF是AC的垂直平分线， ∴AF=CF=x，BF=8�x， ………………………………………4分 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8�x）2=x2， 解得 x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20．…………………5分 大兴区 21. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE=OC，CE=OD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积． 21.（1）证明： ∵DE=OC，CE=OD， ∴四边形OCED是平行四边形 ………………………………1分 ∵矩形ABCD， ∴AC=BD，OC= AC，OD= BD. ∴OC=OD. ∴平行四边形OCED是菱形 ………………………………2分
（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC＝4， ∴BC=2. ∴AB=DC= .…………………………………………………3分 连接OE，交CD于点F. ∵四边形OCED为菱形， ∴F为CD中点. ∵O为BD中点， ∴OF= BC=1. ∴OE＝2OF＝2 …………………………………………………4分 ∴S菱形OCED＝ OE•CD= ×2× ＝ …………………………………………………5分
平谷区 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）． （1）求a，k的值； （2）连结OA，点P是函数 上一点，且满足OP=OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．
21．解：（1）∵直线y=x+1经过点A（1，a）， ∴a=2． 1 ∴A（1,2）． ∵函数 的图象经过点A（1，2）， ∴k=2． 2 （2）点P的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）． 5
怀柔区 21.直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC上一点，且AB=AD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB延长线于点F. (1)求证：∠ACB=∠DCE； (2)若∠BAD=45°， ，过点B作BG⊥FC于点G，连接DG．依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积． 21. (1)∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB，………………………………1分 ∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠CDE. ∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°. ∵CE⊥AE，∴∠DCE+∠CDE=90°. ∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分 （2）补全图形,如图所示: …………………………3分 ∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°, ∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°, ∵AE⊥CF, BG⊥CF,∴AD∥BG. ∵BG⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG. ∵AB=AD，∴BG=AD. ∴四边形ABGD是平行四边形. ∵AB=AD ∴平行四边形ABGD是菱形.………………4分 设AB=BG=GD=AD=x，∴BF= BG= x.∴AB+BF=x+ x=2+ . ∴x= ， 过点B作BH⊥AD于H. ∴BH= AB=1. ∴S四边形ABDG=AD×BH= . ……………………………………………………………………5分 延庆区 21．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC． （1）求证：四边形DBEC是菱形； （2）若AD=3， DF=1，求四边形DBEC面积. 21．（1）在Rt△ABC中，∵CE//DC，BE//DC ∴四边形DBEC是平行四边形 ∵D是AC的中点，∠ABC=90° ∴BD=DC ……1分 ∴四边形DBEC是菱形 ……2分 （2）∵F是AB的中点 ∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90° 在Rt△AFD中, ……3分 ∴ ……4分 ……5分
顺义区 21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形BCFD是菱形； （2）若AD=1，BC=2，求BF的长． 21． （1）证明：∵BD=BC，点E是CD的中点， ∴∠1=∠2． …………………………………………………… 1分 ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3．…………………………… 2分 ∴BD=DF． ∵BD=BC， ∴DF=BC． 又∵DF∥BC， ∴四边形BCFD是平行四边形． ∵BD=BC， ∴□BCFD是菱形． …………………………………………………… 3分 （2）解：∵∠A = ，AD=1，BD=BC=2， ∴ ． ∵四边形BCFD是菱形， ∴DF=BC=2． ………………………………………………………… 4分 ∴AF=AD+DF=3． ∴ ．……………………………… 5分
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