2015北京怀柔中考二模数学试题及答案.doc

北京市怀柔区2015年高级中等学校招生模拟考试（二）
数 学 试 卷 2015.6
考生须知
1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是
A. 4 B. 0 C. -2 D. -4

2．2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数
约13 100 000人，创历史新高．将数字13 100 000用科学记数法表示为
A．13.1×106 B．1.31×107 C．1.31×108 D．0.131×108
3．正八边形的内角和等于
A. 720° B. 1080° C. 1440° D.1880°
4. 下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
5. 以下问题，不适合用普查方法的是
A.了解某种酸奶中钙的含量 B.了解某班学生的课外作业时间
C.公司招聘职员，对应聘人员的面试 C. 旅客上飞机前的安检
6．一个不透明的口袋中，装有5个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率为
A． B． C． D．
7．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子
测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个
主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC
的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为
A．15m B．25m C．30m D．20m

8. 在四边形中，AB∥DC , AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是
A． B． C． D．
9. 一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是
A. m＞1 B. m=1 B. m＜1 C. m≤1
10．小丽早上从家出发骑车去上学，途中想起忘了带昨天晚上完成的数学作业，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回骑，遇到妈妈后停下说了几句话，接着继续骑车去学校．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与学校的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是

二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，
这是因为三角形具有_________________性．
12．分解因式x3-9x=__________.
13．矩形，菱形，正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如___________.（填一条即可）.
14. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，
将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，
折痕为MN，则线段BN的长为__________.
15. 观察下列一组坐标：
（a,b），(a,c)，(b,c)，(b,a)，(c,a)，(c,b),(a,b),(a,c)…… ，它们是按一定规律排列的，那么第9个坐标是 ，第2015个坐标是 ．
16.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为__________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．如图，点C，D在线段BF上，，，BC=DE．
求证：AC=FE．

18. 计算：

19.解不等式组：
20．先化简，再求值：，其中
21.列方程或方程组解应用题:
周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量.
22．大星发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：
（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变
量x的取值范围）；
（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.如图，P为等腰△ABC的顶角A的外角平分线上任一点，连接PB,PC.
(1)求证:PB+PC＞2AB.
(2)当PC=2，PB=，∠ACP=45°时，求AB的长.

24. 课外阅读是提高学生素养的重要途径．某校为了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间t(小时）．根据t的长短分为A，B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
50名学生平均每天课外阅读时间统计表
类别
时间t（小时）
人数
A
t＜0.5
10
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
15
D
t≥1.5
a
（1）本次调查的样本容量为 ；
（2）求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图；
（3）该校现有1200名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？

25. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的
外角平分线BD交⊙O于点D，DE⊥CB的延长线于点E.
⑴ 求证：DE为⊙O的切线；
⑵ 若∠A=30°，BE=3，分别求线段DE和 的长.

26. 阅读下面材料：小强遇到这样一个问题：
图1
试作一个直角△ABC，使∠C=90°，AB=7，AC+BC=9.
小强是这样思考的：如图1，假定直角△ABC已作出，延长AC到点D，使CD=CB，则AD=9，∠D=45°，因此可先作出
一个辅助△ABD，再作BD的垂直平分线分别交AD于点C，
BD于点E，连接BC,所得的△ABC即为所作三角形.
具体做法小强是利用图2中11正方形网格，通过尺规作图完成的.
（1）请回答：图2中线段AB等于线段 .
（2）参考小强的方法，解决问题：请在图3的菱形网格中（菱形最小内角为，
边长为a），画出一个△ABC，使∠C=，AB=6b，AC+BC=8b.（在图中标明字母，不写作法，保留作图痕迹）.
图2
图3

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. 已知：抛物线y=x²+bx+c经过点（2，-3）和（4，5）.
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图像G，
求图像G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当-2<x<2时，
直线y=m与该图像有一个公共点，
求m的值或取值范围.

28．在△ABC内侧作射线，自B，C分别向射线AP引垂线，垂足分别为D，E,M为BC边中点，连接MD，ME.
（1）依题意补全图1；
（2）求证：MD=ME；
（3）如图2，若射线AP平分∠BAC，且AC>AB，求证：MD=.

图2
图1

29. 阅读理解：
学习了三角形全等的判定方法:“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和直角三角形全等的判定方法“HL”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究．
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D.
初步探究：
如图1，已知AC=DF, ∠A=∠D,过C作CH⊥射线AM于点H，对△ABC 的CB边进行分类，可分为“CB<CH，CB=CH，CH<CB<CA，”三种情况进行探究．
图1

深入探究：
第一种情况，当BC<CH时，不能构成△ABC和△DEF．
第二种情况，（1）如图2，当BC=CH时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据　　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
图2

第三种情况，（2）当CH<BC<CA时，△ABC和△DEF不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC和△DEF,使△DEF和△ABC不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）．
（3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH时，才一定能使△ABC≌△DEF． 除了上述三种情况外，BC边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC≌△DEF？写出结论,并利用备用图证明.
备用图

北京市怀柔区2015年高级中学招生模拟考试（二）
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
B
B
D
A
C
D
A
C
B
二、填空题（本题共18分，每小题3分）

题号
11
12
13
14
15
16
答案
稳定
x（x+3）（x-3）
对角线互相平分（答案不唯一）
4
（b,c），
（c,a）
45o 或75o
或15o

三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．（本小题满分5分）
证明：∵ AB∥DE
∴ ∠B = ∠EDF；
在△ABC和△FDE中：
……………………………………3分
∴△ABC≌△FDE(ASA)，………………………………………………4分
∴AC=FE. ………………………………………………………………5分
18.解：原式=1+-2……………………………………4分
=1+-+2
=3+…………………………………………………………5分

解：，
解①得：x＞﹣5，…………………………………………………………2分
解②得：x＜﹣2，……………………………………………………4分
则不等式组的解集是：﹣5＜x＜﹣2．……………………………………5分
20．解：原式…………………………………3分
……………………………………………4分
当时，原式=………………………………5分
21.解：设购买茶杯x只. ………………………………1分
依题意：5×30+（x-5）×5=4.5x+30×90%×5……………………………………3分
解得：x=20……………………………………4分
答：购买茶杯20只时，两家商场付款一样．………………………………5分
22． 解：（1）设y＝kx＋b
由题意得：解得：k＝－10；b＝300.
∴y＝－10x＋300.………………………………3分
（2）设超市每星期的利润为W元：
W＝(x－8)·y＝(x－8)(－10x＋300)
＝－10(x－8)(x－30)＝－10(x2－38x＋240)
＝－10(x－19)2＋1210
∴当x＝19即定价19元/个时，
超市可获得的利润最高，最高利润为1210元. ………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23 解：(1)如图，在射线BA上取点B'使AB’=AB,连接PB’,
∵P为等腰△ABC的外角平分线上任一点，∴∠B’AP=∠CAP,AB=AC,AB’=AC，
∵PA=PA,∴△B’AP≌△CAP,∴PB’=PC.
在△B’BP中，∵PB+PB’＞BB’
∴PB+PC＞2AB. ………………………………3分
(2)在△B’BP中，作PH⊥BB’于点H，
∵△B’AP≌△CAP,∴∠PB’A=∠PCA=45°,
∵PC=2，∴PB’=2.∴B’H=PH=.
在Rt△PHB中，∵PB=，
利用勾股定理解得BH=,
∴BB’=，
∴AB的长为 ………………………………5分
24.解：（1）50， …………………1分
（2）50﹣10﹣20﹣15=5，故a的值为5，……2分
条形统计图如右图： ……………………3分
（3）1200×=480（名），
答：估计该校共有480名学生
课外阅读时间不少于1小时. ……………5分

25. （1）证明：连接OD，∵△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，
∴∠1=∠2, ∵OD=OB, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3,
∴OD∥CE，∵DE⊥CB延长线于点E，
∴OD⊥DE于D点，
∵点D在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线. …………………………2分
(2) 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°, ∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°,∵ △ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，
∴∠1=∠2=60°, ∵ DE⊥CB延长线于E点,
∴∠BED=90°, ∵ BE=3，
∴BD=6,DE=∴OB=6,∴=．
∴DE的长为，长为.…………………5分
26. 解：（1）AB等于线段AF. …………………………2分
(2)画图方法如图所示. …………………………3分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27.解：（1）把（2，-3）和（4，5）分别代入y=x²+bx+c
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x²-2x-3. …………………………………2分.
∵y=x²-2x-3=（x-1）2-4.
∴顶点坐标为（1，-4）. …………………………………3分.
（2）∵将抛物线沿x轴翻折，得到图像G与原抛物线图形
关于x轴对称，
∴图像G的表达式为：y=-x²+2x+3. ………………………5分.
（3）如图，当0≤x<2时，y=m过抛物线顶点（1,4）时，
直线y=m与该图像有一个公共点，此时y=4，∴m=4.

当-2<x<0时，直线y=m与该图像有一个公共点，
当y=m过抛物线上的点（0,3）时， y=3，∴m=3.
当y=m过抛物线上的点（-2,-5）时， y=-5，∴m=-5.
∴-5<m<3.
图1
综上：m的值为4，或-5<m≤3. …………………………………7分.

28． 解：（1）补全图形，如图1所示. ……… 1分
（2）延长DM交CE于点F.
∵BD、CE分别垂直AP于点D、E.
∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.
∵M为BC边中点，
∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,
图1
∴△DMB≌△FMC (ASA)，
∴DM=FM.
∵∠DEF=90°.
∴EM=DF,
∴MD=ME.…………………………… 4分
（3）延长BD交AC于点G. ………………… 5分
∵BD⊥AP于点D，射线AP平分∠BAC,
∴△ADB≌△ADG (ASA)，
∴BD=DG,AB=AG.
又∵△DMB≌△FMC,
∴BD=CF，DM=MF,
∴CF=DG,
又∵BG∥CF,
∴四边形DFCG为平行四边形.
∴DF=CG,
∴2MD=CG,
∴2MD=AC-AB,
∴MD=(AC-AB). ……………………………7分
29. 解:（1）解：HL或AAS；……………………………1分
（2）如图：……………………………3分

（3）当BC≥CA时，也能使△ABC≌△DEF．……………………………4分

证明：
当BC=CA时，△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形，根据AAS易证两三角形全等，当BC>CA时，在射线AM上取点B，使BC>CA，连接BC，以F为圆心，CB长为半径画弧交射线DN于点E，连接FE，则BC=EF,过点F作FG⊥DE于点G，
在△CAH和△FDG中，
∴△CAH≌△FDG（AAS），∴CH=FG，……………………………5分
在Rt△CBH和Rt△FEG中，
∴Rt△CBH≌Rt△FEG（HL），∴∠CBA=∠FED，……………………………6分

在△ABC和△EFD中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）. ……………………………8分