太阳能电池i-v方程显式近似解研究-毕业论文.doc

分类号： 密级：
U D C ： 编号：

专业硕士学位论文
（工程硕士）

太阳能电池I-V方程显式近似解研究

硕士研究生

指导教师

学科、专业
：光学工程
论文主审人

哈尔滨工程大学

Classified Index:
U.D.C:

A Dissertation for the Professional Degree of Master
（Master of Engineering）

Research on the Solar Cell Equation Explicit Approximate Solution

Candidate:
Tang Xiaoping
Supervisor:
Prof. Jiang Haili
Academic Degree Applied for:
Master of Engineering
Specialty:
Optical Engineering
Date of Submission:
May, 2013
Date of Oral Examination:
June, 2013
University:
Harbin Engineering University

哈尔滨工程大学
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作者（签字）：
日期： 年 月 日

哈尔滨工程大学
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作者（签字）： 导师（签字）：
日期： 年 月 日 年 月 日

太阳能电池I-V方程显式近似解研究
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作者签名： 日期： 年 月 日

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涉密论文按学校规定处理。

作者签名： 日期： 年 月 日
导师签名： 日期： 年 月 日
摘　　要
从人类第一次提出光生伏特效应开始，太阳能电池特性就作为太阳能电池理论研究的基础，现在我们普遍接受由固体理论推导出的太阳能电池方程。但是此方程是一个隐式超越方程，我们不能运用初等函数完成电流关于电压或者电压关于电流的表达，这就给我们以后的研究在计算和推导过程带来了麻烦。因此许多研究者就想出很多处理办法，为了达到电流或电压的显式表达，但是这些数学处理后得出来的表达式，不是表达式本身复杂，就是表达式参数缺少明确的物理意义，或者计算精度不是很高。
基于上述前人研究不够完善的地方，本文提出太阳能电池方程近似解理论，这样就很容易得出电流电压的显式表达，同时得出的表达式物理意义明确，表达式参数值与最初的太阳能电池方程参数值大小接近。然后对上述的近似解理论模型进行验证，对此模型参数进行求解。
最后本文运用上述近似解理论模型，求解出最大功率电流或者电压的显式表达式。在太阳能电池最大功率输出的问题上，前人在最大功率跟踪算法上，已经提出了三种算法，但是都有一定的不足之处，在此基础上本文提出了另一种跟踪算法：减半步长扰动法。

关键词：太阳能电池方程；显式；近似解理论；减半步长扰动法

第1章 太阳能电池I-V方程显式近似解研究
ABSTRACT
Since the photovoltaic effect was raised for the first time by humans, then the solar cell I-V characteristic was regard as the foundation of the solar cell theoretical research. And now, the solar cell I-V equation derived from the solid state physics is generally accepted. But the equation is an implicit transcendental equation, we can not express the current versus voltage or the voltage versus current with the elementary functions, which leads to the further trouble for the future research in calculation and derivation. Therefore, many researchers come up with a lot of approach to obtain the explicit solution of the current or voltage. But we can see that these expression which is achieved after mathematical treatment is complex, moreover the expression lacks of clear physical meaning, and furthermore the calculation precision is not very high.
For the previous studies raised by the predecessors is not comprehensive enough, the solar cell equation approximate solution theory is presented in this paper, which is easy to draw the explicit expression of the current and voltage. Meanwhile the expression is of clear physical meaning, and the expression parameter values are approximate to the initial parameter values of the solar cell I-V equation.
Finally, in the paper, we use the theoretical model of the approximation solution mentioned above to come up with the explicit expression of the maximum power current and voltage. For the maximum power output problem of the solar cell, the processors have presented three algorithms based on the maximum power tracking algorithm, but these algorithms have some deficiencies. Based on this, in the paper we present another tracking algorithm: half step perturbation method.

Key words：solar cell I-V equation; explicit solution; approximate solution theory; half step perturbation method

太阳能电池I-V方程显式近似解研究
目 录
第1章 绪论 1
1.1 太阳能电池研究的意义 1
1.2 太阳能电池I-V方程显式近似解研究的意义 2
1.2.1 太阳能电池I-V方程的显式解 2
1.2.2 近似解研究的意义 3
1.3 太阳能电池数学物理模型的由来 4
1.3.1 PN结掺杂与PN结效应 4
1.3.2 PN结扩散方程 4
1.3.3 PN漂移方程 5
1.3.4 二极管粒子浓度连续性方程和方程的解 5
1.4 太阳能电池理论研究的重点 7
1.5 本文主要研究的内容与创新点 8
第2章 太阳能电池I-V方程显式近似解推导过程 11
2.1 国内外I-V超越方程研究现状 11
2.1.1 直接求解超越方程法 11
2.1.2 泰勒展开法 12
2.1.3 类椭圆模型 13
2.1.4 权重分配拟合法 14
2.1.5 理想太阳能电池模型 14
2.2 半导体二极管电阻化模型假设 14
2.3 I-V方程的显式近似解 15
2.3.1 Rsh=∞ 且Rs=0模型 15
2.3.2 Rsh=∞ 且Rs≠0模型 16
2.3.3 Rsh≠∞ 且Rs=0模型 18
2.3.4 Rsh≠∞ 且Rs≠0模型 19
2.4 工程运算上选择的模型 22
2.5 太阳能电池模型的修正 23
2.6 本章小结 25
第3章 I-V特性函数模型检验及参数求解 26
3.1 太阳能电池I-V特性测量 26
3.2 拟合数据的软件选择及拟合的方法 27
3.3 模型拟合程序与拟合的初值 27
3.3.1 模型一拟合与初值求解 27
3.3.2 模型二拟合与初值求解 28
3.3.3 模型三拟合与初值求解 29
3.3.4 模型四的拟合与初值求解 30
3.4 模型的拟合结果分析 32
3.5 模型参数求解办法 36
3.5.1 各个模型下串联电阻值 37
3.5.2 各个模型下并联电阻值 38
3.5.3 各模型Iph、I0、A的对应值 39
3.6 本章小结 39
第4章 太阳能电池最大功率及相关技术 41
4.1 太阳能电池最大功率研究意义 41
4.2 各模型下最大功率与最佳负载的函数表达 42
4.3 工程上最大功率控制理论 43
4.4 最大功率跟踪技术的研究现状 45
4.5 减半步长扰动法 46
4.6 本章小结 48
结 论 51
参考文献 53
攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果 58
致 谢 59

第1章 绪论
第1章 绪论
1.1 太阳能电池研究的意义
人类经历三次工业革命的同时，伴随着煤、石油、天然气的开发利用，煤、石油、天然气这些非可再生资源被开采利用的同时，各种各样的问题也出现在人类的面前，这些资源的是不可再生的，用完了之后再生周期很长，我们不能实现可持续发展。
这些资源被利用的同时，也伴随着环境的污染，环境污染也是破坏可持续发展的根源之一。这些资源在被利用的过程中，还伴随着有毒有害气体产生，安全问题一直是人类敏感的话题，在人类演变发展的总个过程中，和平与安全一直是时代的主旋律。
在一个个问题出现在人类的面前时，人类开始思索新能源[1-2]的开发利用，氢能、核能、风能、太阳能、水能、生物质能、地热能、海洋能等非化石能源，这些能源被提上新的议题。氢气能来源非常广泛，但是作为一种新能源推广还有一定难度。我们提取出氢气成本高、难度大，假如我们需要大量适用氢气，对使用装置需要大量修改，需要广泛建立氢气加注站点。核能发电不造成空气污染、不排放二氧化碳、发电成本低、不受国际经济情势影响。但是核能的利用涉及政治问题、核电站事故也是一种灾难性事故。如2011年日本大地震引发的海啸跟核电站爆炸，就给大气海洋环境带来灾难性后果。自此以后我们对核能的利用就有了一定的担忧。风能也是一种新能源，其蕴量巨大、分布广泛、无污染。但是它也有自己的缺点，那就是密度低、不稳定、广泛性，地区差异性。我们会想到太阳能，在地球上的大部分国家，每天都能见到太阳，这也是太阳能能够被大量开发利用普及的原因之一，太阳能是一种清洁能源，太阳能是取之不尽，用之不完的能源，太阳能的开发与利用有了很长的历史[3-4]。在太阳能刚被一些开发者利用时，成本很低，利润很大，但是随着太阳能开发技术的提高，丰厚的利润吸引的一批批研究者，随着研究者的增加，加上气象资源国有化，同行业的竞争，使得原来的太阳能开发技术已经不能满足人类利益需求，人类不得不走上增加太阳能效率[5]的道路上来，在现在太阳能的研究中，太阳能电池的研究又是所有研究的基础，太阳能电池我们主要关心的就是开路电压，短路电流，最大功率点电压电流及最大功率，填充因素。
现在太阳能电池板都是许多太阳能电池串联之后的结果，但是我们会在实践中发现，这些串联之后的太阳能电池板输出电流电压，并没有单个太阳能电池输出电流电压之和那么大，这就是每块太阳能电池在相同生产工艺下，不同性能的一种反应，这就需要我们去研究太阳能电池的性能，就需要我们在生产太阳能电池时对一些参量时刻调整，已达到匹配后的电池组性能最佳[6]。
对上述太阳能电池性能的研究，必先要进行太阳能电池特性研究[7-10]，我们以固体物理理论为研究基础，得出太阳能电池特性是一个超越方程。对这个超越方程前人已经有了一些处理方法，第一种就是通过特殊函数解出超越方程的解析解理论[11-13]，第二种方法就是寻找近似解理论[14-15]，这两种方法得出的解析模型，大多模型参数没有直接物理意义，物理的问题数学式解答。
本文基于上述不足，将特性超越方程进行半泰勒展开，同时结合物理现实寻找近似解。这样得到的解析模型方便太阳能电池参数的求解，能够很快地确定最大功率电压电流，同时也能得到很高的拟合精度。基于此模型，也能简洁方便地研究太阳能电池的其他特性。
提高太阳能电池效率一直是许多人研究的重点，但是从第一块单晶硅太阳能电池板诞生到现在半个多世纪过去了，太阳能电池的效率[16]仅仅提高到了20%左右，所以我们要是能让太阳能电池效率再提高1%也是有巨大研究意义，研究太阳能电池的效率，首先我们就应该对太阳能电池特性有一个充分的研究，在太阳能电池最大功率跟踪技术[17-21]中，恒定电压法[22-24]就是根据这些特性曲线图象得出的结论，那个电导增量法[25-28]，就是根据太阳能电池特性曲线拐点唯一这一数学函数性质提出来的，所以我们希望能得出太阳能电池这些特性曲线的简单函数模型，有了一个简单的太阳能电池模型，我们能更好地得出太阳能电池最大功率点，在给定的太阳能利用率内，保证太阳能电池输出功率最大化，这就是是一种提高太阳能电池效率有效的方法。
在设备不是很高级，资金投入不是很大时，我们提出的一些最大功率搜索办法都没能解决，最大功率点附近循环振荡搜索这个难题，要想对这些问题有个突破性的解决办法，我们就必须要有突破性的基础研究，就得拿出一些新的输出特性函数，说简单了也就是提出一些简单实用的或者特性函数，或者对太阳能电池最大功率搜索办法有个更基础的认识，这些基础研究都是太阳能电池有个更长远发展的保证。
总结：太阳能研究作为一种新型能源的研究，我们做好其基础研究工作，也是保证后续实践研究的基础，也是太阳能电池更长远发展的基础。
1.2 太阳能电池I-V方程显式近似解研究的意义
1.2.1 太阳能电池I-V方程的显式解
对于这种指数超越方程解的问题，利用初等函数知识是无法求解的。我们首先要了解一下Lambert W[29-31]函数，此函数是1758年数学家J.H.Lambert发现的，开始是用来解一元三次方程，后来被一些数学家研究，发现其有重要的应用价值，现在在很多领域的研究，都有对Lambert W函数的应用，下面是Lambert W函数的表达式：
(1-1)
利用Matlab画图，下面给出函数的图象：

图1.1 函数图象

2007年程晓舫博士在其毕业论文中，就利用Lambert W函数求解出了太阳能电池方程显式解。利用这个显式解我们能够得到电流关于电压或电压关于电流的函数表达，通过实验数据验证，发现函数模型与实验数据符合得很好，说明了此显式解能够准确、完整的表示出太阳能电池特性。下面展示一下，开路电压、短路电流都不为零的时候，太阳能电池方程显式解：
（1-2）
其中：。
此显式解模型非常复杂，模型数据没有具体物理实际意义。
1.2.2 近似解研究的意义
首先我们明白，由一个物理现象到一个个理论公式，是需要对物理量做一些简单化，理想化处理的，这种小处理其实就是一种近似处理过程，所以说上一节我们谈到的那个太阳能电池显式解析解，其实也是一种近似解。
其次，在数学上我们知道，函数是有定义域的，很多不相同的函数，在某一段定义范围内，其函数值非常接近另一函数的函数值，而在另外的定义域范围内，函数值不相同，我们认为这是不相同的函数。太阳能电池方程的解析解，下面以电流表示电压函数解为例，其定义域为电流从零到短路电流值。也就是是说，只要我们找到在定义域范围内，另一个与它函数值相近的函数，我们就找到了这种近似解。可以这么说，上一节我们通过Lambert W函数求出的显式解析解，可以找到很多在定义域范围内函数值与函数性质相似的近似解。
最后，在高等数学里面，我们学习了泰勒展开[32-34]，这种展开其实是无限次展开，要是我们只是取了其中的有限项，这就会使得我们只能在一定范围满足，展开函数与原函数相似，我们现在研究的太阳能电池特性解析函数，正好只在一定范围内有定义，所以我们就能够运用泰勒展开，得到我们需要的解析解。前人在这种泰勒展开上，已经做了很多功夫，但是他们都有一个不足的地方，那就是得出来的解析函数，函数模型与模型数据都不能很好地与物理事实直接相关。本文就是在这种思想的基础上，找到了一种函数模型，能够与物理事实直接相关。
1.3 太阳能电池数学物理模型的由来
1.3.1 PN结掺杂与PN结效应
太阳能电池的本质就是一个二极管结效应，只要电池温度在绝对零度以上，就会有分子原子的晶格振动，就会有能量的存在，而这个二极管中的电子与空穴就会响应的运动，我们研究的太阳能电池，就是研究这些电子空穴的运动，但是有一个条件，像太阳能电池这种能产生电流或电压的结效应，需要在单晶硅材料中加入一些其他材料，专业术语就是掺杂效应。
结有两结及型材料构成的区与型材料构成的区，在区中的自由空穴浓度高，相反地区中的自由电子高，在接触的地方，区中的自由空穴就想进入区，区的自由电子就想进入区，我们知道无论是区中的自由空穴还是区的自由电子都不可能大量进入对方区，否则材料的本质就反过来了，从物理学专业角度解析，这是由于结自由电子与自由空穴在相互移动的过程中，会形成一个反作用力性质的电场。所以我们可以得出一个结论：结效应就是少数载流子效应。
1.3.2 PN结扩散方程
在交界面处，区的自由电子要进入区，区中的自由空穴要进入区，但是又不能完全进去，这是因为在“扩散”的过程中，自由电子与自由空穴的相对浓度发生了变化，为了很好地定义这个相对浓度，我们引入了密度梯度这个概念，定义区的密度梯度为，区的密度梯度为。自由电子跟自由空穴这种相对运动，就必然产生这种“扩散电流”，定义区的“扩散电流”为，区的“扩散电流”为，容易得出：
， （1-3）
式中与表示区中的自由空穴跟区的自由电子的扩散系数。表示电子电荷。和指自由空穴与自由电子离结交界面距离不同而不同，粒子浓度也不相同。
1.3.3 PN漂移方程
为了很清晰地表示自由空穴与自由电子不同分布这一层概念，我们引入了“少数载流子寿命”这一个物理量，我们认为型材料中的自由空穴从刚通过交界面到与型材料中的自由电子结合这段时间等于，容易得出：
， （1-4）
在粒子“扩散”的过程中，伴随着自由电子与自由空穴的结合，那些来不及结合或者不移动的自由电子就会产生一个与粒子“扩散”方向相反的电场，这个电场就会引起一个漂移电流，而由麦克斯韦方程：
（1-5）
我们知道，电流与电场成正比例关系，但是电场是一个不好用仪表测量的物理量，我们用电势定义这种反作用力效果。由经典物理理论我们知道
（1-6）
同样我们可以得出电流与成正比例关系，这样我们不难想象，扩散形成一个电流的同时，漂移也会形成反方向电流，我们不难得出漂移电流：
， （1-7）
式中为自由电子或自由空穴的迁移率，与自由电子或自由空穴的扩散系数有一定的线性关系，如下式：
（1-8）
式中表示波尔滋蔓常数，表示绝对温度。
1.3.4 二极管粒子浓度连续性方程和方程的解
引起区或者区粒子变化的还有另外一个物理因素：外界给结加电压或者加光照引起粒子浓度变化，综合上述考虑，我们不难得出粒子浓度连续性方程：
（1-9）
等式左边表示由型材料注入到型材料中空穴随时间的增加量，等式右边第一项表示外界电压或者光照引起的空穴浓度变化量与热平衡浓度，右边第二项与第三项分别是扩散电流效果与漂移电流效果。不难看出就是太阳能电池输出电流项，等式右边第二项与第三项是在型材料远离交界面处的空穴浓度变化量，所以在交界面处只有外加电压与热平衡空穴浓度，我们可以得出方程：
（1-10）
再由通过该结的总电流为常数这一事实，我们知道为常数，经过验证，考虑外界光照情况时，上述方程还要加一项光电流，这时我们就得到了理想状态下太阳能电池方程：
（1-11）
研究者就假设太阳能电池由一个电流源与一个二极管构成，但是大量实验证明，此式还不能很精确地表示太阳能电池输出电流电压的关系。通过输出电流电压测试，我们不难发现太阳能电池在输出电压不大的情况下相当于一个电流源；输出电流不大的情况下，相当于一个电压源。我们在常规电路分析中，电流源等效电路都会加一个并联电阻，电压源的等效电路都会加一个串联的电阻，所以在处理这种介于电流电压源之间的器件时，其等效电路就既要加串联电阻，又要加并联电阻。所以太阳能电池等效电路应该是一个恒定输出电流源，并联一个二极管，再并联一个电阻，最后的支路上串联一个电阻。如下图1.2所示：

图1.2 光伏电池的单二极管等效电路

对上图进行全电路欧姆定律分析，我们不难得出：
（1-12）
此方程也是我们现在太阳能电池理论研究的基础方程，我们研究的难点就是此方程是一个超越方程，我们很难直接用初等函数的办法求出电流关于电压或者电压关于电流的显性解析函数[35-36]。
总结：本节主要简述了太阳能电池数学物理方程的推导过程，由结的掺杂与结效应说起，推到了半导体二极管的少数载流子的扩散与漂移，最后利用二极管粒子连续性原理，得出太阳能电池理想方程，通过边界条件结合太阳能电池理想方程，最后结合电流源与电压源的性质，成功推导出实际太阳能电池超越方程。
1.4 太阳能电池理论研究的重点
在太阳能电池的研究中，我们必须考虑特定光照温度条件下太阳能电池特性函数，一个简单而有物理意义的特性函数：能够简单得出开路电压，短路电流表达式，在最大功率电压电流求解上，做到简单方便。要是能得出一个有物理意义的特性显性解析函数，就能很好地解决这些难题，本文通过极限近似的方法，得出一个拟合精度相对较高，又具有相应物理意义的显性解析函数。
开路电压指负载无穷大的时候两端的电压，因为太阳能电池在输出电流相对较小或者负载电阻相对较大的情况下，其相当于一个电压源，我们知道开路电压值，其实就知道这种情况下的供能电压。同样的道理，我们知道短路电流也就知道这种情况下的供能电流。
但是太阳能电池主要还是作为一个能量输出源，即关注其最大功率电流电压，所以研究太阳能电池的转化效率就成了研究太阳能电池的头等大事，从第一块单晶硅太阳能电池诞生到现在，太阳能电池的转化效率只提高到20%左右，所以在一定转化效率的基础上，保证太阳能电池最大功率的输出就变成了提高太阳能电池的一种有效手段，经过人们对太阳能电池特性研究的深入，开始注意到太阳能电池最大功率时其电压“恒定”这一现象，开始提出恒定电压法追踪最大功率，后来有根据太阳能电池特性曲线中这一特性，提出了增量电导法，但是增量电导法的提出，在实践中依然不能解决太阳能电池最大功率追踪循环振荡的问题，因此太阳能电池最大功率追踪技术也成为了研究的热点。
在太阳能电池板投入发电运营中，人们发现组合的太阳能电池板发电功率总会比单块太阳能电池发电总和小，很快人们意识到这是由于生产过程中各个太阳能电池之间参数不一致造成的，所以要提高太阳能电池板发电功率，就必须对太阳能电池参数有个更精确的求解办法，一时间太阳能电池模型参数求解问题也是研究者关心的问题，我们也知道只有合理准确的模型参数，加上完善的修正模型，我们才有利于通过模型参数修正得到任何光照温度下的模型，这样才能更好地研究太阳能电池特性，因此合理简单的修正模型也是一些研究者正在攻克的难题。
总结：本节主要介绍了现在太阳能电池研究的一些热点问题，主要还是各种工程上的需要，使得我们研究者必须给出更多简单精确的物理数学模型，从而满足现在的工程需要。
1.5 本文主要研究的内容与创新点
本文主要研究的是：根据推导出的太阳能电池数学物理模型，给出了一种近似处理太阳能电池超越方程的方法，利用单晶硅太阳能电池及一些设备，设计一个太阳能电池特性测量实验，并根据实验测量相关数据，对推导出的特性函数进行数据拟合验证，得到拟合精度控制在0.5%以内，均方差根控制在0.07mA左右的实验结果，通过拟合的函数求解出，在测量数据这一个光照温度的条件下跟模型参数的数值解。在最大功率跟踪技术的研究中，本文运用极限的思想，提出一种步长选择方法，理论上能很好地解决太阳能电池最大功率跟踪循环振荡的问题。
通过前面太阳能电池数学物理模型的推导，我们能得出太阳能电池特性超越方程，但并不能通过低等函数的转换化简得出一个电流关于电压的函数，或者电压关于电流的函数。在这个问题的处理上有两种方法，第一种就是通过特殊函数求解出电流或者电压的解析解，这种办法虽然能够很好地给出太阳能电池的解析解，但是相应的函数结构没有一点物理意义，我们只能知道这个模型是适合太阳能电池输出电流电压数据的，但宏观上不能一眼看出一个二极管发电问题为什么要利用一个这样的函数。这也是多年来一直有人在研究太阳能电池其它新的解析模型的原因。第二种办法就是通过近似处理超越方程，得到相应解析函数。近似处理中又有两个问题：有些人提出的模型拟合精度很高，甚至可以说能达到需要的任意精度，比如泰勒展开多项式法，也有人提出理想太阳能电池模型，这样物理意义明显，但是拟合精度只能控制在6%左右，对于现在太阳能电池处于效率提高的瓶颈期，这种精度已经不能满足最大功率追踪，所以我们在寻找一种拟合精度高，物理意义明显的太阳能电池解析模型。
太阳能电池电流的显式解析函数：在给出太阳能电池特性近似解析函数之前，我们想到了一种二极管近似线性处理的方法，这样就可以把二极管由非线性的电流电压关系变成线性电流电压关系，就可以把太阳能电池特性超越方程化简，再对二极管电流电压做一下近似处理，就得出了一个非线性特性解析函数，这一步我们就达到了由超越方程求出其解析解的过程。随后，进行了一个太阳能电池特性测量实验，通过拟合数据，发现此模型拟合精度跟均方根误差都控制在很好的程度，为了使模型适应不同光照温度下太阳能电池特性描述，我对模型给出了一些温度光照修正。
太阳能电池最佳负载的求解：在得出的具有实际物理意义的模型函数之后，我们只要测量一条给定温度与光照的特性曲线数据，通过最小二乘拟合，得出此光照温度条件下的特性函数，利用，我们就能得到给定光照，温度下的负载情况，对于不同光照温度条件下，我们运用负载修正公式，很容易就得出不同温度光照下的负载大小。
太阳能电池最大功率表述：利用已得出的太阳能电池特性函数，我们很容易得出太阳能电池输出功率与电压的函数关系，在运用功率关于电压一次导数为零，二次导数小于零这两个性质，很容易求出最大功率输出电压，之后就能用最大功率输出电压表示最大功率。
最大功率跟踪技术的改进：运用减半步长的追踪方法，检验功率改变变化趋势或者功率不变化时，反向减半追踪，运用极限的理论，能找到最大功率点，实际能找到追踪器最大分辨率功率。

59

第2章 太阳能电池I-V方程显式近似解推导过程
第2章 太阳能电池I-V方程显式近似解推导过程
2.1 国内外I-V超越方程研究现状
太阳能电池的研究，就是对方程的求解或者近似处理过程，这一直是研究者关心的问题，直接求解或者无限次泰勒展开，这样能得到非常高的拟合精度，但是得出的模型复杂，或者模型参数不能与物理实际相关。想要得出简单模型，而且模型参数有具体的物理意义，我们只能采用泰勒展开的方法，但是不是无限次展开，那样还是会陷入刚刚说到的难题中，我们只是取泰勒展开的有限项，但是这些有限项又能够表示出整个特性的全部信息。在这方面前人做了很多努力，但是收获甚微。下面就介绍一下前人在方程处理上走过的历程[37-47]。
2.1.1 直接求解超越方程法
这里面研究最多的就是利用Lambert W函数解决指数超越方程，通过把一个超越方程的问题化解成一个复杂函数问题，函数与方程有个根本性的区别，那就是函数是一个自变量对应一个函数值，而方程却是一个方程对应多个解。现给大家介绍一下Lambert W函数，此函数在很多领域都有应用，首先人们是用它来解决一元三次方程的，后来在土壤水分子运动、酶的反应基质、跳伞时间、人口增长、幂迭代、疾病蔓延等许许多多的领域都有涉及。上一章我们介绍了Lambert W函数形式：
（2-1）
把部分移到右边，再对两边取对数，我们就容易得出式（2-2）：
（2-2）
我们容易知道，在初等函数定义域内，是一个有解析意义的函数。
由上一章我们知道，太阳能电池方程可以表示成：
（2-3）
可以化简为：
（2-4）
利用初等函数的知识，我们给等式两边配方，使其变成式（2-1）的形式，那样问题就简单化了，经化简得：
(2-5)
再把相应的系数代入就可以得到一个关于的解析函数。
由式（2-5）我们不难看出，这个部分，我们很难用物理的语言描述，虽然式（2-5）每个系数都是相应有物理意义的物理量组合而成，这种组合很难直接用物理事实来描述。利用Lambert W函数解决这种指数超越函数，这是太阳能电池理论研究的一个重大突破，它告诉我们，这个超越方程是有解析解的。从式（2-2）我们就能看出，函数就是一个近似函数，我们后来提出的近似理论也就是可行的。
2.1.2 泰勒展开法
方法一：这里面运用了极限的思想，从数学角度上说，我们认为所有的非线性函数，都可以转化到给定精度的线性函数，例如一个非线性解析函数，总可以完成下列转换：
（2-6）
在太阳能电池的研究中，我们很容易知道其特性是一个单调函数，所以我们就不难得出这样的结论：
（2-7）
通过测量数据的多项式非线性拟合，就可以任意控制精度在需要的范围内，所以在太阳能电池最大功率跟踪技术中，就有研究者设计了一种根据拟合多项式前面系数的改变来改变占空比的方法去追踪最大功率，但是这种追踪最大功率的办法需要探测器有很高的灵敏度，这就会影响到太阳能电池系统的整个造价成本的提高。
方法二：当研究者用泰勒展开这一极限思想解决非线性方程取得一个成果之后，人们就会想到有没有另一种泰勒展开的形式来解决这个问题，很快就有人提出了式（2-8）这种泰勒近似解决太阳能电池超越方程：