平面控制网的布设与关键技术设计.doc

1.3 控制网布设形式 1.3.1水平控制网布设形式 1.三角网 1）网形 在地面上选定一系列点位1，2，使互相观测两点通视，把它们按三角形形式连接起来即构成三角网。如果测区较小，可以把测区所在一某些椭球面近似看做平面，则该三角网即为平面上三角网（图1-4）。三角网中观测量是网中所有（或大某些）方向值（关于方向值观测办法见第三章），图1-4中每条实线表达对向观测两个方向。依照方向值即可算出任意两个方向之间夹角。 若已知点1平面坐标（），点1至点2平面边长，坐标方位角，便可用正弦定理依次推算出所有三角网边长、各边坐标方位角和各点平面坐标。这就是三角测量基本原理和办法。 以图1-4为例，待定点3坐标可按下式图1-4计算 （1-1） （1-2） （1-3） （1-4）即由已知，和各角观测值平差值,可推算求得，同理可依次求得三角网中其她各点坐标。 2）起算数据和推算元素 为了得到所有三角点坐标，必要已知三角网中某一点起算坐标（）,某一起算边长和某一边坐标方位角，咱们把它们统称为三角测量起算数据（或元素）。在三角点上观测水平角（或方向）是三角测量观测元素。由起算元素和观测元素平差值推算出三角形边长、坐标方位角和三角点坐标统称为三角测量推算元素。 3）工程测量中三角网起算数据获得 在工程测量中，三角网起算数据可由下列办法求得： （1）起算边长 当测区内有国家三角网（或其她单位施测三角网）时，若其精度满足工程测量规定，则可运用国家三角网边长作为起算边长。若已有网边长精度不能满足工程测量规定（或无已知边长可运用）时，则可采用电磁波测距仪直接测量三角网某一边或某些边边长作为起算边长。 （2）起算坐标 当测区内有国家三角网（或其她单位施测三角网）时，则由已有三角网传递坐标。若测区附近无三角网成果可运用，则可在一种三角点上用天文测量办法测定其经纬度，再换算成高斯平面直角坐标，作为起算坐标。保密工程或小测区也可采用假设坐标系统。 （3）起算方位角 当测区附近有控制网时，则可由已有网传递方位角。若无已有成果可运用时，可用天文测量办法测定三角网某一边天文方位角再把它换算为起算方位角。在特殊状况下也可用陀螺经纬仪测定起算方位角。 （4）独立网与非独立网 当三角网中只有必要一套起算数据（例如一条起算边，一种起算方位角和一种起算点坐标）时，这种网称为独立网。图1-5中各网都是独立网，其中（a）称为中点多边形，是三角网中惯用一种典型图形。 如果三角网中具备多于必要一套起算数据时，则这种网称为非独立网。例如图1-6为相邻两三角形中插入两点典型图形。和都是高档三角点，其坐标、两点间边长和坐标方位角都是已知。因而，这种三角网起算数据多于一套，属于非独立网，又称为附合网。图中、为待定点。图1-5 图1-6 2.导线网 导线网是当前工测控制网较惯用一种布设形式，它涉及单一导线和具备一种或各种结点导线网。网中观测值是角度（或方向）和边长。独立导线网起算数据是：一种起算点坐标和一种方向方位角。 导线网与三角网相比，重要长处在于： （1）网中各点上方向数较少，除结点外只有两个方向，因而受通视规定限制较小，易于选点和减少觇标高度，甚至不必造标。 （2）导线网图形非常灵活，选点时可依照详细状况随时变化。 （3）网中边长都是直接测定，因而边长精度较均匀。 导线网缺陷重要是：导线网中多余观测数较同样规模三角网要少，有时不易发现观测值中粗差，因而可靠性不高。 由上述可见，导线网特别适合于障碍物较多平坦地区或隐蔽地区。 3.边角网和三边网 边角网是指测角又测边以三角形为基本图形网。如果只测边而不测角即为三边网。事实上导线网也可以看做是边角网特殊状况。 上述3种布设形式中，三角网早在17世纪即被采用。随后通过前人不断研究、改进，无论从理论上还是实践上逐渐形成为一套较完善控制测量办法，这就是“三角测量”。由于这种办法重要使用经纬仪完毕大量野外观测工作，因此在电磁波测距仪问世此前年代，三角网是布设各级控制网重要形式。三角网重要长处是：图形简朴，网精度较高，有较多检核条件，易于发现观测中粗差，便于计算。缺陷是：在平原地区或隐蔽地区易受障碍物影响，布网困难大，有时不得不建造较高觇标。 随着电磁波测距仪不断完善和普及，导线网和边角网逐渐得到广泛应用。特别是前者，当前在平原或隐蔽地区已基本上代替了三角网作为级别控制网。由于完毕一种测站上边长观测普通要比喻向观测容易，因而在仪器设备和测区通视条件都容许状况下，也可布设完全测边网。在精度规定较高状况下（例如精密变形监视测量），可布设某些测边、某些测角控制网或边、角全测控制网。 4. GPS网 进人20世纪90年代，随着GPS定位技术在国内引进，许多大、中都市勘测院及工程测量单位开始用GPS布设控制网。当前GPS相对定位精度，在几十公里范畴内可达1/1 000 0002/100 000，可以满足都市测量规范对都市二、三、四等网精度规定（二等最弱边相对精度1/300 000)。然而在高程方面GPS测得高程是相对于椭球面大地高，而水准测量求出则是相对于大地水准面高程，由图1-3可知两者之差就是大地水准面差距。当前在大多数状况下，其值难以精准决定，因而GPS暂时只能用于平面级别控制网布设。图1-7 当采用GPS进行相对定位时，网形设计在很大限度上取决于接受机数量和作业方式。如果只用两台接受机同步观测，一次只能测定一条基线向量。如果能有三四台接受机同步观测，GPS网则可布设如图1-7所示由三角形和四边形构成网形。其中图（a）,（b）为点连接，表达在两个基本图形之间有一种点是公共点，在该点上有重复观测；图（c）、（d）为边连接，表达每个基本图形中，有一条边是与相邻图形重复。 在GPS网中，也可在网周边设立两个以上基准点。在观测过程中，这些基准点上始终设有接受机进行观测。最后取逐日观测成果平均值，可明显提高这些基线精度，并以此作为固定边来解决全网成果，将有助于提高全网精度。1.3.2高程控制网布设形式 国家高程控制网是用水准测量办法布设，其布设原则与平面控制网布设原则相似。依照分级布网原则，将水准网提成四个级别。一等水准路线是高程控制骨干，在此基本上布设二等水准路线是高程控制全面基本；在一、二等水准网基本上加密三、四等水准路线，直接为地形测量和工程建设提供必要高程控制。按国家水准测量规范规定，各级别水准路线普通都应构成闭合环线或附合于高档水准路线上。 工测高程控制网布设也应遵守分级布设原则。 关于工测高程控制网布设方案，都市测量规范规定，可以采用水准测量和三角高程测量。水准测量分为二、三、四等，作为工测高程控制网或专用高程控制网基本。首级水准网级别选取应依照都市面积大小、都市远景规划、水准路线长短而定。首级网应布设成闭合环线，加密网可布设附合路线、结点网和闭合环。只有在山区等特殊状况下，才容许布设水准支线。三角高程测量重要用于山区高程控制和平面控制点高程测定。应特别指出是电磁波测距三角高程测量，近年来通过研究已普遍以为该法可达到四等水准测量精度，也有人以为可以代替三等水准测量。因而都市测量规范规定依照仪器精度和通过技术设计以为能满足都市高程控制网基本精度时，可用以代替相应级别水准测量。1.4 控制测量作业流程用于工程测量控制测量，普通作业流程是：接受任务后来，先收集本测区资料，涉及小比例尺地形图和去测绘管理部门抄录已有控制点成果，然后去测区踏勘，理解测区行政从属，气候及地物、地貌状况、交通现状、本地风俗习惯等。同步踏勘原有三角点、导线点和水准点，理解觇标、标石和标志现状。在收集资料和现场踏勘基本上进行控制网技术设计。既要考虑控制网精度，又要考虑节约作业费用，也就是说在进行控制网图上选点时，要从各种方案中选取技术和经济指标最佳方案，这就是控制网优化问题。依照图上设计进行野外实地选点，就是把图上设计点位放到实地上去，或者说通过实地选点实现图上设计目。固然，在实地选点时依照实地状况变化原设计亦是常用事。为了长期保存点位和便于观测工作开展，还应在所选点上造标埋石。观测就是在野外采集拟定点位数据，其中涉及大量必要观测数据，亦具有一定多余观测数据。计算是依照观测数据通过一定办法计算出点最适当位置。收集资料实地踏勘图上设计实地选点造标、埋石观测计算控制测量任务是精准拟定控制点空间位置。其作业流程还可简化为如下三步：1）选定控制点位置按工程建设精度规定，并结合详细地形状况，在实地拟定控制点点位，并将其标志出来。其工作环节涉及收集资料，实地踏勘，图上设计，实地选点，造标、埋石。2）观测 用精密仪器和科学操作办法将控制网中观测元素精密测定出来。3）计算用严密计算办法将控制点空间位置计算出来。计算环节涉及归算（将地面观测成果归算至椭球面上）；投影（将椭球面上归算成果投影到高斯平面上）；平差（在高斯平面上按最小二乘法进行严密平差）。2.1 国家水平控制网布设原则和方案2.1.1 布设原则 国内幅员辽阔，在大某些领域（约9 600 OOOkm2)上布设国家天文大地网，是一项规模巨大工程。为完毕这一基本工程建设，在建国初期国民经济相称困难状况下，国家专门抽调了一批人力、物力、财力，从1951年即开始野外工作，始终延续到1971年才基本结束。面对如此艰巨任务，显然事先必要全面规划、统筹安排，制定某些基本原则，用以指引建网工作。这些原则是：分级布网，逐级控制；应有足够精度；应有足够密度；应有统一规格。现进一步阐述如下。1.分级布网、逐级控制 由于国内领土辽阔，地形复杂，不也许用最高精度和较大密度控制网一次布满全国。为了适时地保障国家经济建设和国防建设用图需要，依照主次缓急而采用分级布网、逐级控制原则是十分必要。即先以精度高而稀疏一等三角锁尽量沿经纬线方向纵横交叉地迅速布满全国，形成统一骨干大地控制网，然后在一等锁环内逐级（或同步）布设二、三、四等控制网。2.应有足够精度 控制网精度应依照需要和也许来拟定。作为国家大地控制网骨干一等控制网，应力求精度更高些才有助于为科学研究提供可靠资料。 为了保证国家控制网精度，必要对起算数据和观测元素精度、网中图形角度大小等，提出恰当规定和规定。这些规定和规定均列于国家三角测量和精密导线测量规范（如下简称国家规范）中。3.应有足够密度 控制点密度，重要依照测图办法及测图比例尺大小而定。例如，用航测办法成图时，密度规定经验数值见表2-1，表中数据重要是依照经验得出。表2-1 各种比例尺航测成图时对平面控制点密度规定测图比例尺每幅图规定点数每个三角点控制面积三角网平均边长级别1：50 0001：25 0001：10 0003231约150km2约50km2约20km213km8km26km二等三等四等 由于控制网边长与点密度关于，因此在布设控制网时，对点密度规定是通过规定控制网边长而体现出来。对于三角网而言边长与点密度（每个点控制面积）之间近似关系为。将表2-1中数据代入此式得出因而国家规范中规定，国家二、三等三角网平均边长分别为13km和8km。4.应有统一规格 由于国内三角锁网规模巨大，必要有大量测量单位和作业人员分区同步进行作业，为此，必要由国家制定统一大地测量法式和作业规范，作为建立全国统一技术规格控制网根据。2.1.2布设方案 依照国家平面控制网施测时测绘技术水平，国内决定采用老式三角网作为水平控制网基本形式，只是在青藏高原特殊困难地区布设了一等电磁波测距导线。现将国家三角网布设方案和精度规定概略简介如下。1.一等三角锁布设方案 一等三角锁是国家大地控制网骨干，其重要作用是控制二等如下各级三角测量，并为地球科学研究提供资料。图2-1 一等三角锁尽量沿经纬线方向布设成纵横交叉网状图形，如图2-1所示。在一等锁交叉处设立起算边，以获得精准起算边长，并可控制锁中边长误差积累，起算边长度测定相对中误差。多数起算边长度是采用基线测量办法求得。随着电磁波测距技术发展，日后少数起算边测定已为电磁波测距法所代替。 一等锁在起算边两端点上精密测定了天文经纬度和天文方位角，作为起算方位角，用来控制锁、网中方位角误差积累。一等天文点测定精度是：纬度测定中误差，经度测定中误差，天文方位角测定中误差。 一等锁两起算边之间锁段长度普通为200km左右，锁段内三角形个数普通为1617个。角度观测精度，按一锁段三角形闭合差计算所得测角中误差应不大于。 一等锁普通采用单三角锁。依照地形条件，也可构成大地四边形或中点多边形，但对于不能明显提高精度长对角线应尽量避免。一等锁平均边长，山区普通约为25km，平原区普通约为20km。2.二等三角锁、网布设方案 二等三角网是在一等锁控制下布设，它是国家三角网全面基本，同步又是地形测图基本控制。因而，必要兼顾精度和密度两个方面规定。 20世纪60年代此前，国内二等三角网曾采用二等基本锁和二等补充网布置方案。即在一等锁环内，先布设沿经纬线纵横交叉二等基本锁（图2-2），将一等锁环分为大体相等4个区域。二等基本锁平均边长为1520km；按三角形闭合差计算所得测角中误差不大于士1.2。另在二等基本锁交叉处测量基线，精度为1：200 OOO。图2-2 图2-3 在一等三角锁和二等基本锁控制下，布设平均边长约为13km二等补充网。按三角形闭合差计算所得测角中误差不大于士2.5。 20世纪60年代以来，二等网以全面三角网形式布设在一等锁环内，四周与一等锁衔接，如图2-3所示。 为了控制边长和角度误差积累，以保证二等网精度，在二等网中央处测定了起算边及其两端点天文经纬度和方位角，测定精度与一等点相似。当一等锁环过大时，还在二等网恰当位置，酌情加测了起算边。 二等网平均边长为13km，由三角形闭合差计算所得测角中误差不大于士1.0。 由二等锁和旧二等网重要技术指标可见，这种网精度，远较二等全面网低。3三、四等三角网布设方案 三、四等三角网是在一、二等网控制下布设，是为了加密控制点，以满足测图和工程建设需要。三、四等点以高级别三角点为基本，尽量采用插网办法布设，但也采用了插点办法布设，或越级布网。即在二等网内直接插人四等全面网，而不通过三等网加密。 三等网平均边长为8km，四等网边长在26km范畴内变通。由三角形闭合差计算所得测角中误差，三等为士1.8，四等为士2.5。 三、四等插网图形构造如图2-4所示，图2-4（a）中三、四等插网，边长较长，与高档网接边图形大某些为直接相接，合用于测图比例尺较小，规定控制点密度不大状况。图2-4（b）中三、四等插网，边长较短，低档网只附合于高档点而不直接与高档边相接，合用于大比例尺测图，规定控制点密度较大状况。（a） （b）图2-4 三、四等三角点也可采用插点形式加密，其图形构造如图2-5所示。其中，插入点图形叫做三角形内插一点典型图形；插入、两点图形叫做三角形内外各插一点典型图形。插点典型图形诸多，这里不一一简介。图2-5 图2-6 用插点办法加密三角点时，每一插点至少应由三个方向测定，且各方向均双向观测。同步要注意待定点点位，由于点位对精度影响很大。规定插点点位在高档三角形内切圆心附近，不得位于以三角形各顶点为圆心，角顶至内切圆心距离一半为半径所作圆圆弧范畴之内（图2-6斜线某些）。 当测图区域或工程建设区域为一狭长地带时，可布设两端符合在高档网短边上附合锁，如图2-7上部图形构造；也可沿高档网某一边布设线形锁，如图2-7下部图形构造。 国家规范中规定采用插网法（或插点法）布设三、四等网时，因故未联测相邻点间距离（例如图2-5中边），三等应不不大于5km,四等应不不大于2km,否则必要联测。由于不联测边，当其边长较短时边长相对中误差较大，给进一步加密导致了困难。为克服上述缺陷，当边不大于上述限值时必要联测。4.国家三角锁、网布设规格及其精度 三角锁、网布设规格及其精度见表2-2。表中所列推算 图2-7元素精度，是在最不利状况下三角网应达到最低精度。表2-2 国家三角锁、网布设规格及其精度5.国内天文大地网基本状况简介1）运用常规测量技术建立国家大地测量控制网 国内统一国家大地控制网布设工作开始于20世纪50年代初，60年代末基本完毕，历时二十余年。先后共布设一等三角锁401条，一等三角点6182个，构成121个一等锁环，锁系长达7.3万km。一等导线点312个，构成10个导线环，总长约1万km。1982年完毕了全国天文大地网整体平差工作。网中涉及一等三角锁系，二等三角网，某些三等网，总共约有5万个大地控制点，500条起始边和近1000个正反起始方位角约30万个观测量天文大地网。平差成果表白：网中离大地点最远点点位中误差为0.9m，一等观测方向中误差为。为检查和研究大规模大地网计算精度，采用了两种方案独立进行，第一种方案为条件联系数法，第二种为附有条件间接观测平差法。两种方案平差后所得成果基本一致，坐标最大差值为4.8cm。这充分阐明，国内天文大地网精度较高，成果可靠。2）运用当代测量技术建立国家大地测量控制网 GPS技术具备精度高、速度快、费用省、全天候、操作简便等长处，因而，它广泛应用于大地测量领域。用GPS技术建立起来控制网叫GPS网。普通可把GPS网分为两大类：一类是全球或全国性高精度GPS网，另一类是区域性GPS网。后者是指国家C,D,E级GPS网或专为工程项目而建立工程GPS网，这种网特点是控制面积不大，边长较短，观测时间不长，当前全国用GPS技术布设区域性控制网诸多。2.2 工程水平控制网布设原则和方案2.2.1 布设原则 如1.1所述，工测控制网可分为两种：一种是在各项工程建设规划设计阶段，为测绘大比例尺地形图和房地产管理测量而建立控制网，叫做测图控制网；另一种是为工程建筑物施工放样或变形观测等专门用途而建立控制网，咱们称其为专用控制网。建立这两种控制网时亦应遵守下列布网原则。1.分级布网、逐级控制 对于工测控制网，普通先布设精度规定最高首级控制网，随后依照测图需要，测区面积大小再加密若干级较低精度控制网。用于工程建筑物放样专用控制网，往往分二级布设。第一级作总体控制，第二级直接为建筑物放样而布设；用于变形观测或其她专门用途控制网，普通不必分级。2.要有足够精度 以工测控制网为例，普通规定最低一级控制网（四等网）点位中误差能满足大比例尺1:500测图规定。按图上0.lmm绘制精度计算，这相称于地面上点位精度为0.1500=5（cm）。对于国家控制网而言，尽管观测精度很高，但由于边长比工测控制网长得多，待定点与起始点相距较远，因而点位中误差远不不大于工测控制网。3.要有足够密度 无论是工测控制网或专用控制网，都规定在测区内有足够多控制点。如前所述，控制点密度普通是用边长来表达。都市测量规范中对于都市三角网平均边长规定列于表2-3中。4.要有统一规格为了使不同工测部门施测控制网可以互相运用、互相协调，也应制定统一规范，如现行都市测量规范和工程测量规范。表2-3 三角网重要技术规定级别平均边长（km）测角中误差（）起算边相对中误差最弱边相对中误差二等91.01/300 0001/120 000三等51.81/200 000(首级）1/120 000(加密）1/80 000四等22.51/120 000（首级）1/80 000(加密）1/45 000一级小三角二级小三角10.55101/40 0001/20 0001/20 0001/10 0002.2.2 布设方案 现以都市测量规范为例，将其中三角网重要技术规定列于表2-3，电磁波测距导线重要技术规定列于表2-4。从这些表中可以看出，工测三角网具备如下特点：各级别三角网平均边长较相应级别国家网边长明显地缩短；三角网级别较多；各级别控制网均可作为测区首级控制。这是由于工程测量服务对象非常广泛，测区面积大可达几千平方公里（例如大都市控制网），小只有几公顷（例如工厂建厂测量），依照测区面积大小，各个级别控制网均可作为测区首级控制；三、四等三角网起算边相对中误差，按首级网和加密网分别对待。对独立首级三角网而言，起算边由电磁波测距求得，因而起算边精度以电磁波测距所能达到精度来考虑。对加密网而言，则规定上一级网最弱边精度应能作为下一级网起算边，这样有助于分级布网、逐级控制，并且也有助于采用测区内已有国家网或其她单位已建成控制网作为起算数据。以上这些特点重要是考虑到工测控制网应满足最大比例尺1:500测图规定而提出。表2-4 电磁波测距导线重要技术规定级别附合导线长度（km）平均边长（m）每边测距中误差（mm）测角中误差（）导线全长相对闭合差三等四等一级二级三级15103.62.41.53 0001 60030020012018181515151.52.558121/60 0001/40 0001/14 0001/10 0001/6 000 此外，在国内当前测距仪使用较普遍状况下，电磁波测距导线已上升为比较重要地位。表2-4中电磁波测距导线共分5个级别，其中三、四等导线与三、四等三角网属于同一种级别。这5个级别导线均可作为某个测区首级控制。 2.2.3 专用控制网布设特点 专用控制网是为工程建筑物施工放样或变形观测等专门用途而建立。由于专用控制网用途非常明确，因而建网时应依照特定规定进行控制网技术设计。例如：桥梁三角网对于桥轴线方向精度规定应高于其她方向精度，以利于提高桥墩放样精度；隧道三角网则对垂直于直线隧道轴线方向横向精度规定高于其她方向精度，以利于提高隧道贯通精度；用于建设环形粒子加速器专用控制网，其径向精度应高于其她方向精度，以利于精准安装位于环形轨道上磁块。以上这些问题将在工程测量中进一步简介。2.3 三角锁推算元素精度估算 在1.1.2小节中已经提到，控制测量工作第一阶段就是控制网设计阶段。阐述控制网精度与否能满足需要是技术设计报告重要内容之一。虽然对于评估控制网优劣、费用高低也是一项重要指标，但是，普通一方面考虑是精度，只有在精度指标满足规定状况下，才考虑选取费用较低廉布设方案。本节着重简介估算三角锁边长精度办法。 近来，随着电子计算机广泛应用，以近代平差理论为基本控制网优化设计理论获得了迅速地发展。例如，仅在表达控制网质量指标方面，无论在广度和深度上，均非过去所能比。2.3.1 精度估算目和办法 精度估算目是推求控制网中边长、方位角或点位坐标等中误差，它们都是观测量平差值函数，统称为推算元素。估算办法有两种。1.公式估算法 此法是针对某一类网形导出计算某种推算元素（例如最弱边长中误差）普遍公式。由于这种推算过程普通相称复杂，需通过许多简化才干得出有价值实用公式，因此得出成果都是近似。而对此外某些推算元素，则难以得出有实用意义公式。公式估算法好处是，不但能用于定量地估算精度值，并且能定性地表达出各重要因素对最后精度影响，从而为网设计提供有用参照。推导估算公式办法以最小二乘法中条件分组平差精度计算公式为根据，现列出公式如下。 设控制网满足下列两组条件方程式 （） （）推算元素是观测元素平差值函数，其普通形式为式中，为观测值，为其权，为其相应改正数。事实上数值很小，可将上式按台劳级数展开，并舍去二次以上各项，得到其线性式 （2-1）式中， 依照两组平差环节，一方面按第一组条件式进行平差，求得第一次改正后观测值，然后改化第二组条件方程式。设改化后第二组条件方程式为则权倒数为 （2-2）如果平差不是按克吕格分组平差法进行，即所有条件都是第一组，没有第二组条件，则在计算权倒数时应将上式后两项去掉。 中误差为 （2-3）式中，为观测值单位权中误差。 2.程序估算法 此法依照控制网略图，运用已有程序在计算机上进行计算。在计算过程中，使程序仅针对所需推算元素计算精度并输出供使用。 普通这些程序所用平差办法都是间接平差法。设待求推算元素中误差、权（或权系数）分别为、，后者与网形和边角观测值权比例关于（对边角网而言），不具备随机性。至于单位权中误差，对验后网平差来说，是由观测值改正数求出单位权原则差估值，具备随机性。但对于设计控制网来说，用于网精度估算，可取关于规范规定观测中误差或经验值。这时需要计算重要是或，所用程序最佳具备精度估算功能。否则，应加恰当修改，以使其自动跳过用观测值改正数计算程序段，而直接由顾客将指定值赋给。如此计算出即为所需成果。在这种状况下，运营程序开始时应输入由网图量取方向和边长作为观测值，各观测值精度也应按设计值给出。输入方式按程序规定进行。图2-82.3.2 三角锁推算边长精度估算1.单三角形中推算边长中误差 图2-8中，设为三角形起算边，为推算边，、为角度观测值，于是由推算函数式为 单三角形中有下列图形条件 按角度平差时，条件方程式系数为，对角度、偏导数（各角以弧度为单位）如下，设角、为等精度观测，中误差为，代入（2-2）式（去掉后两项）得于是将上式成果代入（2-3）式，并注意上式在求导数时角度是以弧度为单位，因而相应测角中误差也应化成以弧度为单位，即为，于是可得写成相对中误差形式为 （2-4）过去经常使用边长对数中误差，为此可运用微分式式中，=0.434 29为惯用对数模，将上式换成中误差形式有 （2-5）式中是以对数第6位为单位。于是（2-5）式又可改写为 （2-6）将上式右端乘以根号内和可得 （2-7）式中 （2-8）、含义可以这样理解，由于 （以秒为单位）当=1时左端为正弦对数每秒增量，在对数表上即为相应每1正弦对数表列值之差，简称为正弦对数每秒表差。若以对数第6位为单位，则上式可写为由此可见，等于角正弦对数每秒表差（以对数第6位为单位）。 若令 （2-9）则（2-7）式可写为 （2-10）表2-5 （以对数第六位为单位）如果已知不是测角中误差，而是方向中误差（关于方向和方向观测概念见第三章），则运用关系代入（2-10）式可得或 （2-11）由（2-9）和（2-8）式可知与三角形内角关于，亦即与三角形形状关于。普通将称为三角形图形权倒数，也就是以方向权为单位权，三角形推算边（普通是指精度最差边，即最弱边）边长对数权倒数称为三角形图形权倒数。关于图形权倒数这个定义不但合用于三角形，也合用于下面讲述大地四边形等其她图形。 为了便于计算图形权倒数，已将列成数表，以角度为引数查取（见表2-5）。2.三角形最有利形状 以上导出了三角形图形权倒数公式，并阐明了它同三角形形状关于。由此，咱们自然会提出什么样三角形图形权倒数最小，亦即推算出边长精度最高问题。图2-9 为了便于研究，选用（2-6）式进行分析。令。欲使最小，亦即最小，则应使最小。表面看来这是个多元极值问题，但应注意，三个角为三角形内角，此外由图2-8，从已知边推求任一边或应使它们精度相等，则应使。于是考虑这两个条件，可写出因而使最小变成了一元极值问题。一方面求出将上式代入表达式内，得到为了求极小值，将上式对取一阶导数，并令其为零，则经整顿得方程因而 ，这个成果阐明，觉得底边，角度等腰三角形，对推算边长精度最为有利。 然而上述成果只是从推算边长精度最高这一规定得出。如果用这种等腰三角形布设三角锁，则三角形边长将越来越短（见图2-9），因而将无法扩展下去。这阐明实际布网时不能只从精度考虑，而必要顾及各方面条件。若按正三角形布网，则不但点位密度均匀并且正三角形值（=4.4）与上述最有利图形（=4.0）也比较接近。因而从两个方面规定综合考虑，可以以为正三角形是布网抱负图形。3.三角形锁中推算边长中误差 图2-10代表一段三角形单锁，其中为起算边，为传距边。在每个三角形中与传距边相对角为传距角，用和表达。三角形中另一种角用表达，称为间隔角，与之相对边称为间隔边。 设三角形单锁是按角度观测和按角度平差，也就是所有等角都是等精度独立观测值并按此参加平差。当前导出计算边长对数中误差公式。图2-10 由图2-10可以看出是由依次通过第1，第2，第个三角形推算而得，由于在平差时只是将第个三角形角度闭合差平均分派在三个内角、上，因而平差后只有这三个内角是有关，而不同三角形之间各角是互不有关。于是每个三角形对推算边长，所产生误差可以以为是互相独立。因而依照协因数传播律可知，由起始边通过各三角形推算最末边权倒数将是各三角形图形权倒数之和，即 （2-12）4.大地四边形和中点多边形推算边长中误差图2-11 在两相邻三角形内加测一条对角线所构成图形，称为大地四边形，如图2-11、2-12所示。这种图形在工程控制网中应用颇广，例如桥梁三角网，普通就采用一种或几种大地四边形构成。图2-13所示图形为中点多边形。大地四边形和中 点多边形都是构成三角网重要图形。图2-11、2-12和2-13中是已知边，是推算边。图2-11和2-12两种图形中既具有若干图形条件（前者有3个）又具有一种极条件因而不易推出边长中误差普遍公式。图2-12 对于大地四边形，此处只给出两种典型状况图形权倒数公式。一种是图2-11 （a）所示矩形大地四边形和图2-12（a）所示菱形大地四边形（由两个等边三角形加测对角线所构成图形）。按方向平差时它们图形权倒数如下： 矩形大地四边形 （2-13） 菱形大地四边形 （2-14）式中（见图2-11（b）和图2-12（b）、（c）。 在图2-12（a）中，如果不加测长对角线-，而按图2-12（b）计算三角形单锁图形权倒数，则得（见（2-12）式）。与（2-14）式比较，可见加测长对角线后，前面系数仅由1.33减少为1.25，这阐明图形强度增强很少。但长对角线给观测带来困难，如在平地还须增长觇标高度。由此可见，在两个近似等边三角形内普通不适当加测长对角线。 虽然对于任意角度大地四边形计算图形权倒数普遍公式不易求得，但是在实际作业中所选出大地四边形普通总是介于矩形与菱形大地四边形之间，因而可近似地取（2-13）式和（2-14）式中系数平均值，作为计算任意角度大地四边形图形权倒数系数，即 （2-15） 按上式计算大地四边形权倒数时有两个不同推算路线（见图2-11（b）和图2-12 （c），应取其中较小。较小那条推算路线又称最佳推算路线。对于中点多边形，现给出三种图形最弱边边长对数权倒数如下：中点五边形 中点六边形 中点七边形 图2-13可见采用中点五边形或中点六边形较为有利。实际作业时所选定中点多边形普通不符合等边状况，因而计算权倒数时常采用近似公式 （2-16）用上式计算中点多边形图形权倒数，同样存在两条推算路线（见图2-13（b）和图2-13（c），应取其中较小。5.混合锁段图形权倒数计算 实际作业时，由于受地形条件限制等因素，所选定三角锁段经常是由几种图形混合构成三角锁（见图2-14）。估算这种锁段图形权倒数时，先按下列各式计算出每种图形图形权倒数：三角形 （2-17）大地四边形 （2-18）中点多边形 （2-19）式中依照传距角由表2-5查出。但应注意，对后两种图形应取最佳推算路线求。然后取锁段传算路线上各图形权倒数之和，即为推算边长图形权倒数 （2-20）对图2-14所示锁段，推算边长图形权倒数为图2-14应强调是（2-17）（2-19）各式单位权中误差应为方向中误差，于是最弱边边长对数中误